第五章 三角函数专练7—三角函数大题专练（2）-2022届高三数学一轮复习

第五章  三角函数专练7—三角函数大题专练（2）

1．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标扩大为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）若，，且，，，，求的值．

解：（Ⅰ）函数，

函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标扩大为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象．

所以函数的最小正周期为．

（Ⅱ）由于，，

所以，，

由于，，，，

所以，

所以，，

则：，

，

则．

2．已知函数，，的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，，分别为图象的最高点和最低点，中，角，，所对的边分别为，，，的面积．

（1）求的角的大小；

（2）若，点的坐标为，，求的最小正周期及的值．

解：（1），

的面积，

又，

，即．

，

；

（2）由题意得，，，，

由余弦定理，得，即．

设边与轴的交点为，则为正三角形，且，

函数的最小正周期为2，则，

，

又点，在函数的图象上，

，，即，

，，即，，

又，

．

3．已知函数．

（Ⅰ）求的对称轴方程；

（Ⅱ）求的取值范围，使得对任意，均有成立．

解：（Ⅰ）由题意，．

由正弦函数的性质得，，

解得，，

即的对称轴方程为．

（Ⅱ）由于，

作换元，则，

展开并整理得，

因此，

解得，

再由得，

所以的取值范围是．

4．已知是的内角，函数的最大值为．

（1）求的大小；

（2）若，关于的方程在，内有两个不同的解，求实数的取值范围．

解：（1）

，

的最大值为，，

，，．

（2）由（1）得，，

，，，，，

在，内有两个不同的解，且

在，内有两个不同的解，

设，则，，，，

设，，

则在，，上单调递减，在，，上单调递增，

且，（1），，，

则的大致图象如下，

由图知，的取值范围为，，．

5．已知函数，的最小值为0．

（1）求常数的值；

（2）若把图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（其中，得到的图象．若在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围．

解：（1），

当时，可得，

可得，

由，

可得．

（2）因为，

则把图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍（其中，得到，

令，令，则，

由于，可得，

则问题转化为在区间上有且仅有2个，使得，求的取值范围．

作出和的图象，如图2，观察交点个数，由题意列不等式：，解得．

6．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．

（1）若，，求的值；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．

解：（1）函数

，

因为为偶函数，所以，，

即，．又因为，所以．

所以．

由题意得，所以，故，

，，，

．

（2）将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象．

再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．

所以，．

令，求得，，

因此的单调递减区间为，．