大题专练训练19：圆锥曲线（椭圆：最值范围问题1）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练19—圆锥曲线（椭圆：最值范围问题1）

1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，，，是椭圆上互异的四点（点在第一象限），其中，关于原点对称，，关于轴对称，且，求四边形面积的最大值．

解：（1）由已知条件可得，

解得，，，所以椭圆的方程为．

（2）设，，，则点，，，，，，

直线的斜率为，

因为，则直线的方程为，

联立，得，

由韦达定理可得，

因为，

所以四边形的面积为，

所以

令，

，

则，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，

所以，

所以四边形的面积的最大值为．

2．已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，为上一点，△面积的最大值为．

（1）求的标准方程；

（2）已知点，为坐标原点，不与轴垂直的直线与交于，两点，且．试问：△的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．

解：（1）设椭圆的半焦距为，

由题，△面积最大值为，则，解得

所以椭圆方程为．

（2）设直线的方程为，，，，，

将代入，得，△，

由△得，，，

由，得，即，，

整理得，

即，

所以，，

所以直线经过，且△恒成立，

，

令，则，

所以，

当且仅当时取等号，即，时，△的面积取最大值为6．

3．已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点，点的轨迹为曲线．曲线与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，作交于点．

（1）求曲线的方程；

（2）求的取值范围．

解：（1）由圆，可得圆心，半径，

因为，所以点在圆内，

又由点在线段的垂直平分线上，所以，

所以，

由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

其中，，，

所以曲线的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时：设的方程为：，

则易得，即，

点的坐标为：；

当直线的斜率存在时，设的方程为：，，，，，

联立，可得．

由△得，且，，

又因为，所以，即，

即，

代入解得，

，

综上：点的轨迹方程为．

记线段的中点为，，

直线与圆相切，

则，

，，

的取值范围为．

4．已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点到原点的距离为，过点的直线，与椭圆均仅有一个公共点，分别记为，，求面积的最大值．

解：（1）依题意，得，解得，，

故椭圆的方程为．

（2）设点，，，，点，在圆上运动，

设直线，的斜率分别为，，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由，消去得，

则，

令△，整理得，，

又，所以，．

代入上式得，即，

所以，

故直线的方程为，化简可得，，

经检验，当直线的斜率不存在时，

直线的方程为或也满足；

同理，直线的方程为；

因为，在直线、上，

故，，

故直线的方程为；

当，直线的方程为或，

代入椭圆方程解得，

此时三角形面积，

当，联立，消去，

得，

故，，

故；

又点到直线的距离，

故，

令，，，则，

当且仅当时等号成立．

则的面积的最大值为1．

5．如图，已知椭圆的离心率为，点，，分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与圆相切，若直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．

解：（1）根据题意可得解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）圆的圆心为坐标系原点，半径，

由直线与圆相切，得，即③，

由，得，

设，，，，

则，④，

所以，

所以

令，则，，

所以，

，

所以方，则，解得时，取得最大值为1．

6．已知椭圆的离心率是，两条准线间的距离为4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆的长轴上（不包含端点）的动点，过作互相垂直的两条直线分别交椭圆于、和、，求四边形的面积的最大值．

解：（1）由题意知，解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）当斜率不存在或斜率为0时，此时，一个长度为，一个长度为，

此时，

当的斜率存在且不为0时，设直线方程为，

不妨设，

联立，得，

所以△，

所以，

同理可得，

所以

，

令，，所以，

综上，四边形面积的最大值为．