大题专练训练21：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题1）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练21—圆锥曲线（椭圆：定值定点问题1）

1．已知椭圆短轴长为2，是的左焦点，，是上关于轴对称的两点，周长的最大值为8．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）斜率为且不经过原点的直线与椭圆交于，两点，若直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率，并判断的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由．

解：（1）设与轴的交点为，右交点为．

由题意，则，

当过右焦点时，周长取最大值，，

且，

椭圆的标准方程为．

（2）设直线的方程为，，，，，

由，得，

，，

由题知，

，，

（舍去）或，

此时，，

则，

故直线的斜率为，．

2．已知椭圆的一个焦点为，且该椭圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点、，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由．

解：（1）由题意可得①，

由点在椭圆上可得②，

联立①②解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）当直线为非轴时，可设直线的方程为，

与椭圆的方程联立，得，

△，

设，，，定点，，，

则，，

直线与直线关于轴对称，等价于直线，的斜率互为相反数，

所以，即，

因为，，

所以，，

所以，

从而可得，即，

所以当，即，时，直线与直线关于轴对称，

当直线为轴时，，也符合题意，

综上，存在轴上的定点，，使得直线与直线关于轴对称．

3．已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点，点的轨迹为曲线．动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，作交于点．

（1）求曲线的方程；

（2）证明：为定值．

解：（1）由圆，可得圆心，半径，

因为，所以点在圆内，

又由点在线段的垂直平分线上，所以，

所以，

由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

其中，，，

所以曲线的方程为．

（2）证明：①当直线的斜率不存在时：设的方程为：，

动直线交曲线于，两点，且始终满足，为坐标原点，所以，

代入椭圆方程可得：，

得，即

点的坐标为：，．

②当直线的斜率存在时，设的方程为：，，，，，

联立，

可得．

由△得，且，，

又因为，所以，即，

即，

代入解得，

，从而．

综上，为定值．

4．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上、下项点分别为，，四边形的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别交直线于，两点，判断是否为定值，并说明理由．

解：（1）由题意得，

解得，所以椭圆的方程为．

（2）方法1：若直线的斜率不存在，则直线方程为，

此时可得，，，所以．

若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，

整理得，易得△恒成立．

设，，，，，，则，

由直线的方程可得点，

由直线的方程可得点，

所以

所以

综上，为定值．

方法2：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入，

整理得，易得△恒成立．

设，，，，，，则，

由直线的方程可得点，

由直线的方程可得点，

所以

所以

．

为定值．

5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上运动，△面积的最大值为，且当时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆的两个交点分别为、，且，都不在轴上，过点作轴的垂线，若横坐标为的点在直线上，求证：直线过．

解：（1）依题意，①，②；

由①可得，，即③；

由②可得，④

将④代入③中，整理可得，，即，

即；

因为，故，则，

故椭圆的方程为；

（2）证明：设，，，；

①当直线与轴垂直时，，，且，

故，，，

这时直线的方程为，即．

令，得，所以直线过；

②当直线不与轴垂直时，可设其方程为，代入．

整理得，

所以，，

因为，，，，，

所以直线的方程为．

因为，，

所以

，

这说明直线过点．

综上所述，直线过．

6．如图，抛物线与椭圆相交于两点、，线段交轴于点，椭圆短轴的两个端点分别是、，且．

（1）求抛物线与椭圆的标准方程；

（2）设是线段上不同于点的任意一点，直线、分别交椭圆于点、，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

解：（1）设抛物线与椭圆的方程分别为和，

由点在抛物线上，得，所以，

故抛物线的标准方程为．

因为，，又，且

所以，得．

由点在椭圆上，所以，得．

故椭圆的标准方程为．

（2）证明：设，其中，且，

则直线、的方程分别为，．

将代入，整理得，得或．

当时，，所以

同理可得，

所以直线的斜率，

故直线的方程为．

所以当时，，这说明直线恒过定点．

7．已知椭圆的离心率为，且其右顶点到左焦点的距离为5．

（1）求的方程；

（2）点，在上，且为原点），证明：存在定点，使得到直线的距离为定值．

（1）解：由题意得，解得，，

故椭圆的方程是．

（2）证明：①若直线与轴垂直，由对称性可知，

将点，代入椭圆方程中，解得，

②若直线不与轴垂直，设直线的方程是，，，，，

由，消去整理得，

故，，

又，则，即，

故，整理得，

即，

因为点到直线的距离为，

故存在定点，到直线的距离为定值．

综上，存在定点，使得到直线的距离为定值．

8．已知椭圆的离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点，斜率为的直线不过点，且与椭圆交于，两点，；为坐标原点）．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．

解：（1）由题意可得，

解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为，，，，，

联立，整理得，

则，，

因为，所以，

所以，

所以，

即，

整理得，即，

则直线的方程为，故直线过定点．