大题专练训练22：圆锥曲线（椭圆：定值定点问题2）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练22—圆锥曲线（椭圆：定值定点问题2）

1．已知椭圆的离心率为，右焦点到左顶点的距离是．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．

解：（1）由已知可得，

解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）因为椭圆的方程为，

所以，，

设，，，

则，即，

则直线的方程为，

令，得，

同理可得直线的方程为，

令，得，

所以

，

所以四边形的面积为定值2．

2．如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点在的上方），．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点、是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．

解：（1）根据题意可得，

解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）依据题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，

，，，，

代入椭圆的方程得：，

所以，，

由，得，

因为，

所以，

所以，

所以，

整理得，

所以或，

当时，直线过定点，不合题意，

所以，，

所以直线的斜率是定值．

3．在圆内有一点，动点为圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，设点的轨迹为．

（1）求轨迹的方程；

（2）若直线与轨迹交于不同两点，，轨迹上存在点，使得以，为邻边的四边形为平行四边形为坐标原点）．求证：的面积为定值．

（1）解：根据题意可得，，

所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

所以，，

故，，

所以，

故椭圆的标准方程为；

（2）证明：由，消去可得，，

设，，，，

则，

所以，

因为四边形为平行四边形，

所以，

故点的坐标为，

因为点在椭圆上，

所以，整理可得，

因为直线与椭圆交于不同的两点，，

所以△，所以，

因为

，

由点到直线的距离为，

所以

，

故的面积为定值，且定值为．

4．已知椭圆，，，，是椭圆上的两个不同的点．

（1）若点满足，求直线的方程；

（2）若，，，的坐标满足，动点满足（其中为坐标原点），求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

（3）若，在直线上，是否存在与无关的定点，，使得直线，的斜率之和为一个定值？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知可得，是线段中点，

所以，

由已知，，

两式相减化简整理得，

所以，

直线的方程是．

（2）设，，，，，，

由，可得，

由②，

结合①②可得，，

又，是椭圆上的点，故，

所以，即．

根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆．

（3）假设存在定点，满足题意，

联立方程组消去得，，

所以△，即且，

所以

，

要使为与无关的常数，只能，

解之得或．

此时为与无关的常数，

综上所述，存在定点或，

使得直线，的斜率之和为一个定值0．

5．已知为椭圆上的一点，焦距长为2．、为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为，，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）探究直线是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

解：（1）由题意知，，，且，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）①当直线斜率不存在时，设为，

设点坐标为，，点坐标为，，

由于，，

，

所以，

所以，

所以直线斜率不存在，不符合题意．，

②当直线斜率存在时，设方程为，

点的坐标为，，点坐标为，，

联立，得，

△，，，

因为，，

，

所以，

所以，

所以，

所以，

由题意得直线，不经过点，即，．

故有，

化简得，

所以直线为，所以，

显然当时，上式成立，直线过定点，

综上，直线过定点．

6．已知椭圆经过点，，为的左、右顶点，且直线，的斜率之积为．

（1）求的方程；

（2）直线与交于，两点，当为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．

解：（1）依题意知，经过点，则，

因为，所以，

所以的方程为．

（2）设，，，，

则，，

联立得，

所以△，即，

所以，，

所以

，

所以，则时，对任意都有为定值，

此时，

点到的距离，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以面积的最大值为1．

7．已知椭圆的左顶点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过橢圆的右焦点作斜率为的直线，交椭圆于，两点，直线，分别与直线交于点，，则是否为定值？请说明理由．

解：（1），点在椭圆上，，．

椭圆的方程为：．

（2）设，，，，直线的方程为，

由整理得，

，．

设，，则，

，

同理可得．

，，

，

为定值．

8．已知椭圆的左、右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的右焦点，且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上．

解：（Ⅰ）因为，椭圆离心率为，

所以解得，．

所以椭圆的方程是．

（Ⅱ）①若直线的斜率不存在时，如图，

因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是．

所以点的坐标是，点的坐标是．

所以直线的方程是，

直线的方程是．

所以直线，的交点的坐标是．

所以点在直线上．

②若直线的斜率存在时，如图．设斜率为．

所以直线的方程为．

联立方程组

消去，整理得，

显然△．不妨设，，，，

所以，．

所以直线的方程是．令，得．

直线的方程是．令，得．

所以

．

所以点在直线上．