大题专练训练26：圆锥曲线（抛物线：定值定点问题）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练26—圆锥曲线（抛物线：定值定点问题）

1．已知点，，抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点．

（1）求；

（2）证明：直线恒过定点．

解：（1）设点，，，，由题意，设直线，

由得，

△，，又，

．

（2）证明：设，，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，

，，三点共线，，，即，

，即，

，，，

即，

，

直线的方程是，即，

，

由式可知，代入上式，得，

令，解得，直线恒过定点．

2．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．

解：（1）设，，，，

联立，整理可得：，

所以可得，，

进而可得，

由，可得：，

即，可得，

所以抛物线的方程为：；

（2）证明：设，，，，，，

由，，三点共线可得，，即，

整理可得：，

所以，

同理可得，，三点共线，，

所以直线的方程：，

整理可得：，

将，的值代入直线方程可得：，

所以解得：，所以直线过定点．

3．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离小1．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点．

解：（Ⅰ）因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离小1，

所以曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，

所以曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即，

所以曲线的方程为．

（Ⅱ）证明：根据题意设直线方程为，，，，，

联立，可得，

所以，，

，

因为以线段为直径的圆过点，

所以，

所以，，，即（舍去）或，

所以直线的方程为，即，

所以直线经过定点．

4．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且．求证：直线过定点．

（Ⅰ）解：因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，

根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，

故曲线的方程为；

（Ⅱ）证明：设直线，，，，，

联立方程组，可得，

所以，，

所以，，，

因为线段为直线的圆过点，

所以为直角三角形，

故有，

所以，

化简可得，

又因为，，

所以，

所以，

因为，，

所以，

所以，解得或，

因为直线不过原点，所以，

故，

所以直线，

令，则，

所以直线恒过定点．

5．已知抛物线上的点到焦点的距离为4．

（1）求，的值；

（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

（1）解：由抛物线定义得，，

所以抛物线方程为，代入点，可解得，

故；；

（2）解：设直线的方程为，，，

联立，消得：，则，，

由得：，所以：或（舍去），

即，所以直线的方程为，

所以直线过定点．

6．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，是抛物线上异于点的两个不同的动点，当直线过点时，的最小值为8．

（1）求抛物线的方程；

（2）若，证明：直线恒过定点．

（1）解：抛物线的焦点坐标为，，

若直线过点，则直线的斜率一定不为0，

不妨设直线的方程为，

对于抛物线方程，可得，

设，，，，

则，，

所以，

所以当时，取得最小值为，所以，

所以抛物线的方程为．

（2）证明：设直线的方程为，，，，，

联立，得，

由题意△，

所以，，

因为，所以，

所以不符合题意，舍去），

所以直线的方程为，

所以直线恒过定点．

7．已知抛物线的焦点与圆的圆心重合．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）与抛物线的交点为，点，为上两点，且，分别为直线，的斜率），过点作，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

解：（Ⅰ）即，可得圆心的坐标为，

即有抛物线的焦点坐标为，即，可得，

则抛物线的方程为；

（Ⅱ）证明：由题意可得，当直线的斜率存在时，由题意可得的斜率不为0，

设直线的方程为，，，，，

联立，消去可得，

△，故，

则，，

消去可得，△，故，

则，，

因为，所以，

整理可得，

即，

即，

即，

整理可得，即，

由题意可得不过点，故，所以，

则直线的方程为，

所以直线过定点；

当直线的斜率不存在，设方程为，

则，，，由可得，

即，解得，也过定点，

综上可得，直线过定点．

取的中点，则，

此时始终有为定值．

8．已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）已知直线的方程为，过直线上一点作（Ⅰ）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，证明：直线经过定点，并求出定点坐标．

解：（Ⅰ）设点的坐标，

则点到直线的距离，

过点做圆的切线，则切线长，

由题意可得，

整理可得，

所以点的轨迹方程：；

（Ⅱ）证明：设直线的方程为：，设，，，，

联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，

则，

由可得，所以，

所以在点的切线方程为：，

即，

同理可得在点切线方程为，

，解得，

由题意可得两条切线的交点在上，

所以，即，

代入直线的方程：，

所以直线恒过定点，且定点的坐标为．