大题专练训练27：圆锥曲线（求直线方程）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练27—圆锥曲线（求直线方程）

1．已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，为椭圆上一点，的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．

解：（1）由的面积为，则，得，所以，

又点在椭圆上，①

因为是椭圆的焦点，所以②

由①②解得：，，

所以椭圆的方程为：；

（2）假设存在直线满足题意，

因为的斜率，设的方程为，

联立方程组，整理得，

△，解得，

设，两点的坐标为，，，，则，，

以为直径的圆的方程为，

该圆经过原点，所以，

又，

所以，

解得，经检验满足题意，

所以存在直线满足题意，此时直线的方程为．

2．抛物线上任取两点，，，．已知的垂直平分线分别交轴、轴于点，．

（Ⅰ）若的中点坐标为，求直线的斜率；

（Ⅱ）若的中点恰好在抛物线上，且，求直线的斜率．

解：（Ⅰ）设直线，，，，，的中点坐标为，

代入，得，，

则直线的斜率．

（Ⅱ）由（1）得，中点坐标为，显然，

则，

从而，，，

中点坐标为，

则，

又，故，

而，

故，

设，得，

，即，

又，得或，

又，，故或符合，

即，．

3．已知椭圆的离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点．若的面积为为坐标原点），求直线的方程．

解：（1）由题意可得，解得，．

故椭圆的标准方程为．

（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为，，，，．

联立，整理得，

△，

则，．

故．

因为的面积为，

所以，

设，则，整理得，解得，即．

故直线的方程为，即．

4．已知椭圆左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，△的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交椭圆于、两点，当面积最大时，求直线的方程．

解：（1），且，

解得，，，所以椭圆的方程为：（4分）

（2），，设，，，，

直线的斜率不为0，设直线，

联立，得，

故，（7分）

，（9分）

因为，当且仅当，

即时等号成立，

所以直线的方程为或（12分）

5．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点为椭圆的右顶点，直线与轴交于点，过点作直线与椭圆交于，两点，若，求直线的斜率．

解：（1）由题意知离心率满足，

所以，

又因为点在椭圆上，

所以，解得，

所以，

故椭圆的标准方程为．（2）由（1）得，

所以直线的方程为，与轴的交点为．

由得，

而，，

因此．

当与轴垂直时，不合题意．

当与轴不垂直时，

设其方程为，

联立方程得，消去可得，

设，，，，

则，

由得，

所以，

显然不为0，两式相除得，

所以，

解得．

6．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程．

解：（1）根据椭圆的左焦点为，知，

又点在椭圆上，故，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）因为直线与椭圆和抛物线都相切，

所以斜率存在且不为0，

设直线的方程为，，

代入椭圆方程整理得，

由题可知此方程有唯一的解，

此时△，即①，

把代入抛物线的方程得，

由题知此方程有唯一解，此时△，即②，

联立①②得，解得，

所以或，

所以直线的方程为或．

7．已知椭圆的离心率，轴被曲线截得的线段长为的长半轴长．

（1）求、的方程；

（2）设与轴的交点为，过原点的直线与相交于点，，直线、分别与相交于、两点．

①证明：；

②记、的面积分别为，，问：是否存在直线，使得？请说明理由．

解：（1）令，则，解得，，

由题意得，，，解方程组得，，，

所以，．

（2）①证明：设直线方程：，，，

由得，

，，

点坐标为，所以，，

；

；

则，即，

②设直线，直线且；

设，、，，

由，得，同理，

由，得，

得，同理得，

又，

则，

（由已知、同号、也同号，上式中的绝对值可以去掉），

又，整理得

得，，

不妨取，，或，

此时点坐标为或；

所以直线方程为：，

即存在直线，使得成立．

8．已知椭圆的离心率为，，为上的一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，，点关于原点的对称点分别为，点，当四边形的面积最大时，求的方程．

解：（1）根据题意得：，

解得，，．

所以椭圆的方程为：．

（2）由题意，设直线的方程为，代入得，

当△，即时，直线与椭圆相交，

设，，，，则，，

所以△，

，

设，当且仅当，即时等号成立．

此时，四边形的面积最大，

直线的方程为：．

9．已知点是椭圆的右顶点，为的对称中心，点，分别是轴，轴上的动点，且．记满足的点的轨迹为曲线．

（1）求的方程；

（2）直线交于，两点，射线，分别交于，两点．设，的纵坐标分别为，当取得最小值时，求的斜率．

解：（1）设点，，，由题意知，

则，

由，得，

设点的坐标为，由，得，

则，代入，得．

，，故的方程为；

（2）联立，得，

设，，，，则，，

直线的斜率为，直线的方程为，

由，得，则，

同理可得，

，整理得，

则，

由均值不等式可得，

当且仅当，即时，取得最小值，此时的斜率为．

10．已知椭圆，右焦点为，短轴长为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线与椭圆交于，两点，线段中点为，线段中点为，且为坐标原点），求所有满足条件的直线方程．

解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为：

（2）因为直线过点，若轴，则、是的短轴端点，显然不满足条件，

所以设直线方程为：，设，，，，，

则有，，

先把的方程化为，再联立方程得，

，

由，和中点坐标公式得，，

所以，

所以，解得，，，

所以方程为：、和．

故答案为：（1）椭圆的方程为：，

（2）直线方程为：、和．