大题专练训练30：圆锥曲线（探索性问题2）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练30—圆锥曲线（探索性问题2）

1．已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于、两点，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点是椭圆上的动点，且直线，与直线分别交于、两点，是否存在点，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）由题意可得，，即，

又，解得，，

即有椭圆的方程为；

（Ⅱ）设，可得，

即有，

由题意可得，，设，，

由，，共线可得，，即为，

可得，

由，，共线可得，，即为，

可得．

假设存在点，使得以为直径的圆经过点．

可得，即有，即．

即有，

化为，

解得或8，

由，，不重合，以及，可得不存在．

2．已知椭圆，短轴端点到其右焦点的距离为，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，，是椭圆上的三个点，判断四边形能否为矩形？并说明理由．

解：（1）椭圆，短轴端点到其右焦点的距离为，

由题意，得，，

椭圆的方程为．

（2）设直线，，，，，的中点，，，，

直线代入抛物线方程可得，

△，

，．①由条件，得，

即，

整理得，

将（1）式代入得，②

又，，

且同时也是的中点，，，

在椭圆上，，

即，代入整理可得，③

由②③解得，，

验证知△，

四边形可以为矩形．

3．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．

（Ⅰ）若，，求；

（Ⅱ）曲线在点，处的切线相交于点，，分别交轴于点，两点．是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）若，则，

设，，，，

所以，，

联立，得，

所以，，

所以

，

因为，所以，

解得．

（Ⅱ）由，得，所以，

所以直线的方程为，即，

又，代入上式，得，

同理可得直线的方程为，

设，，则，且，

所以，在直线上，即，

又因为直线方程为，即，

所以，，即点在直线上，

由切线，方程得，，，，

所以，

，

所以，所以．

4．已知椭圆的左右焦点分别为，点．为椭圆上的一动点，△面积的最大值为．过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆上任取两点，，以，为邻边作平行四边形．若，则是否为定值？若是，求出定值；如不是，请说明理由．

解：（1）由题意：△的最大面积，．

又，联立方程可解得，，

所以椭圆的方程为：．

（2）设，，，，

由平行四边形法则，所以，．

所以．

又因为，即，即．

又因为点，在椭圆上，则，，

可得①，②，

①②可得即，

又，所以，即．

又①②可得，可得．

所以．

5．已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．

（1）解：椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，

，

又椭圆经过点，

，解得，

椭圆的方程为：．

（2）解：设直线的方程为：，，

代入，得：

，

△恒成立．

设，，，，线段的中点为，，

则，，

由，得：，

直线为直线的垂直平分线，

直线的方程为：，

令得：点的横坐标，

，，．

线段上存在点，使得，其中．

（3）证明：设直线的方程为：，，

代入，得：

，

过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，

由△，得：，

设，，，，，，

则，，

则直线的方程为，

令得：

．

直线过定点．

6．已知抛物线的焦点是椭圆的右焦点，且两曲线有公共点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆的左、右顶点分别为，，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．

解：（1）由题意可得，

解得，

可得抛物线的焦点为，即椭圆的右焦点为，

则，，

解得，，

可得椭圆的方程为；

（2）由题意知与轴不垂直，

设的方程为，，，，．

由得，

可得△，

设，，，，，，，，两两不等，

则，，

，

由，，三点共线，有①

由，，三点共线，有②

①与②两式相除得

．

解得（舍去）或，

所以点在定直线上．

7．已知椭圆的离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点，斜率为的直线不过点，且与椭圆交于，两点，；为坐标原点）．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．

解：（1）由题意可得，

解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为，，，，，

联立，整理得，

则，，

因为，所以，

所以，

所以，

即，

整理得，即，

则直线的方程为，故直线过定点．

8．在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为．过定点作直线与抛物线相交于，两点．

求抛物线的方程；

若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（Ⅲ）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

解：抛物线的焦点，

圆心在线段的垂直平分线上．

因为抛物线的准线方程为，

所以，即．

因此抛物线的方程为．

依题意得：点的坐标为，可设，，，，

设直线的方程为，

直线方程与联立，消去得，

所以由韦达定理得，．

由图可得：，

当，；

（Ⅲ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入得，

则．

设直线与以为直径的圆的交点为，，，，

则有．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．