大题专练训练31：导数（恒成立问题1）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练31—导数（恒成立问题1）

1．已知函数．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sinx恒成立，求a的取值范围．

解：（1）函数，故，

当a≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在R上单调递增，

当a＞0时，令，

当时，f'（x）＞0，所以f（x）单调递增，

当时，f'（x）＜0，所以f（x）单调递减，

当时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增；

（2）对任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sinx恒成立，即在[0，+∞）上恒成立，

令，又F（x）≥F（0），所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，

由F'（x）＝，所以F'（0）≥0，即1﹣a≥0，所以a≤1（必要性），

下证充分性，

当a≤1时，，令，则，

令，则h′（x）＝x﹣sinx≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴h（x）≥h（0）＝0，所以g′（x）≥0，故g（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴g（x）≥g（0）＝0，所以F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，符合题意．

综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．

2．已知函数，（其中为参数）．

（1）若，且直线与的图象相切，求实数的值；

（2）若对任意，不等式成立，求正实数的取值范围．

解：（1）若，则，则，

直线恒过定点，则直线的斜率为，

设切点，由导数几何意义可得，即，

令，观察得（1），

又，所以在上递增，

所以方程的根仅有，

所以；

（2）令，则，

令，则在，上递增，且，（a），

所以存在唯一，使得，

所以当时，，故函数单调递减，

当，时，，故函数单调递增，

所以

由对恒成立，可得，即，

令，则，所以在上递减，

由（1），所以的解为，所以，

令，，则在上递增，

所以，

所以．

3．已知函数．

（1）证明：当时，无零点；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）证明：函数的定义域为，

当时，，

，

令，则，

在，上单调递增，又，，

存在，使得，即，

当时，，单调递减，

当，时，，单调递增，

，

当时，函数无零点．

（2）恒成立，即恒成立，

恒成立，令，则，

令，则，

函数在上单调递增，

又，，

存在，使得，

当时，，单调递减，

当，时，，单调递增，

，

，，，

，，

，

令，则，

函数在上单调递增，

，，

，

，

实数的取值范围为，．

4．函数．

（1）求的单调区间；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）由题意得，

令，解得：，

故，

的递增区间是，，

令，解得：，

的递减区间是，，

综上：的递增区间是，，

递减区间是，；

（2）由恒成立，

得，

构造函数，

则，

设，则，

当，时，，，所以，

所以即在，上单调递增，则，

若，则，所以在，上单调递增，

所以恒成立，符合题意，

若，则，必存在正实数，

满足：当时，，单调递减，

此时，不符合题意，

综上所述，的取值范围是，．

5．已知函数．

（Ⅰ）若，试求在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，试求函数的单调增区间；

（Ⅲ）若在定义域上恒有成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）当时，，则，

在点处的切线斜率（2），

在点处的切线方程为．

（Ⅱ）由，得，

由，知，当时，的单调增区间为，

当，即时，的单调递增区间为，

（Ⅲ）由恒成立，可得恒成立，

恒成立，

令，

则，

令，则或，

当或时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减，

又

，

，实数的取值范围为，．

6．已知函数．

（1）求曲线在点，处的切线方程；

（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

解：（1），所以．又，

所以曲线在点，处的切线方程为．

（2）解法，

令，则，

令，则，所以是增函数，

又，（1），由零点存在定理及是增函数，

知存在唯一的，使得，

当时，，，单调递减，

当，时，，，单调递增，

所以．

法1（同构法）：由，得，即，

令，则，是增函数，

又，，所以①，

①两边取自然对数，得，即，所以②，

由①②，得，

于是，即．所以实数的取值范围是，．

法2（换元法）：由，得，

令则两式左右分别相加，得，

又是增函数，所以，所以．由，得②，

由①②，得，

于是，即．所以实数的取值范围是，．

解法，

先证明：，当且仅当时取等号，

令，则．所以；，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，，所以．所以，当且仅当时取等号，

因此，

当且仅当时取等号，

令，则，（1），

又为增函数，由零点存在定理，

知存在唯一的，使得，

所以的最小值为，

由题意，，又，所以，即，

所以实数的取值范围是，．

7．已知函数．

（1）当时，求在上的单调区间；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）时，，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

故当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）由，得对恒成立，

设函数，则，

设函数，则，

所以在上单调递增．

因为，又（1），

所以有唯一零点，，

且，故，

两边同时取对数得，

易证明函数是增函数，所以得，所以，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

所以，

则，故的取值范围是，．

8．已知函数，其中

（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）若对于恒成立，求的最大值．

解：（1）由，得，

所以，．

所以曲线在点，处的切线方程为．

（2）由，得．

因为，且在上单调递增，所以

由得，，

所以函数在上单调递增，

由得，

所以函数在上单调递减．

综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（3）由，得在上恒成立．

设，

则．

由，得，．

随着变化，与的变化情况如下表所示：

所以在，上单调递减，在，上单调递增．

所以函数的最小值为．

由题意，得，即．

设，则．

因为当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

所以当时，．

所以当，，即，时，有最大值为．