大题专练训练32：导数（恒成立问题2）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练32：导数（恒成立问题2）-2022届高三数学二轮复习，共10页。试卷主要包含了已知函数，，已知函数等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练32—导数（恒成立问题2）1．已知函数，．（1）求的单调性；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．解：（1）定义域为，，①当时，恒成立，所以在上是增函数；②当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在，上单调递减．（2）由恒成立，可知恒成立，令，则，令，因为，（1），且为增函数，故存在，，使，即，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，而，，所以，所以，所以整数的最小值为2．2．已知函数．（1）求函数在点，（1）处的切线方程，并讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式在，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）依题意，，因为（1），且（1），所以函数在点处的切线方程为，又，若，，函数在上单调递增，若，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，若，当时，，当时，，故函数在上单调递增，在单调递减．综上，若，函数在上单调递增，若，函数在上单调递减，在上单调递增，若，函数在上单调递增，在单调递减．（2）令，则，（1）．因为，①当时，因为，所以，所以，此时在，上单调递增，（1），符合．②当时，，因为，，所以由，得，此时在上单调递减，所以当时，（1），不合要求，舍去③当时，，，在，上单调递减，所以当，时，（1），不合要求，舍去综上所述，实数的取值范围是．3．已知函数．（Ⅰ）若，求函数单调区间；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）定义域为，由，得，，令，得，令，得或函数的单调增区间为，单调减区间为，．（Ⅱ），，即，，原问题等价于恒成立．令，则，令，则，当时，，当，时，，在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又（1），，当时，，，函数在区间上是增函数，，，即实数的取值范围为．4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．解：（1），若，，此时在上单调递减；若，由，得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由题意，可得在恒成立，记，，其中，则，其中，，记，，，在上单调递增，，，在上单调递增；若，，不合题意；若，，，又，在在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，不合题意；若，因为在上单调递增，，在上单调递增，，符合题意；综上，实数的取值范围是，．解法二：，记，，则，在上单调递增，，恒成立；若，（1），不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，，不合题意；若，记，，则，记，则，在上单调递增，，，符合题意；综上，实数的取值范围是，．5．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，若对于任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意得，，①当时，令，则，在上单调递减；令，则，在上单调递增；②当时，则，令，则或，在和上单调递减；令，则，在上单调递增；③当时，则，在上单调递减；④当时，则，令，则或，在和上单调递减；令，则，在上单调递增．（2）当时，在，恒成立，在，上单调递增，（1），恒成立，即恒成立，令，，则，在上递增，，，且，实数的取值范围为，，．6．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对，恒成立，求的取值范围．解：（1）函数的定义域为，且．若，则当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，若，，函数在上单调递减，综上：当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递减．（2）不等式在，上恒成立，即恒成立，设，，令，则．①当时，恒成立，所以单调递增，所以（1），即符合题意，②当时，恒成立，所以单调递增，又因为（1），，所以存在，，使得，且当时，，即在上单调递减，所以（1），即不符合题意．综上，的取值范围为，．7.已知函数f（x）＝+alnx（a＞0）．（1）若函数y＝f（x）图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f（x）的极值；（2）若不等式f（x）＜2有解，求a的取值范围．解：（1）由于y＝f（x）图象上各点切线斜率的最大值为2，即f′（x）取得最大值为2，由题可知的定义域为（0，+∞），则，即f′（x）是关于的二次函数，∵a＞0，∴当时，f′（x）取得最大值为，∴，而a＞0，∴a＝4，∴此时，在上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在上f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极小值为，无极大值．（2）∵，其中x＞0且a＞0，在上，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，在上，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，∴，∵关于x的不等式f（x）＜2有解，∴，∵a＞0，∴，设g（x）＝lnx+1﹣x，则，在（0，1）上，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，在（1，+∞）上，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，∴g（x）≤g（1）＝0，即g（x）＝lnx+1﹣x≤0在（0，+∞）内恒成立，∴要求，即，则只需即可，即，解得：a＞0且a≠2，∴a的取值范围是：a＞0且a≠2．8．已知函数，．（1）当时，若在点，切线垂直于轴，求证：；（2）若，求的取值范围．（1）证明：由题意可知，则，设切点为，，则由，解得，则，即，故等式得证；（2）解：因为，其中，所以对恒成立，令，则，即，令，则，其中，则为上的增函数，又因为（1），，所以存在，使得，即，即，又因为在上单调递增，故，即，又当时，，所以为减函数，当时，，所以为增函数，所以，所以的取值范围为，．