大题专练训练33：导数（零点个数问题1）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练33—导数（零点个数问题1）

1．设函数，．

（1）讨论在定义域上的单调性；

（2）当时，判断在，上的零点个数．

解：（1）函数的定义域为，

，

①当时，，则在上是减函数；

②当时，，

则当时，，

当，时，，

则在上单调递增，在，上单调递减；

（2）①当时，，

令解得，，

故在，上有一个零点；

②当时，

，

，，，

即在，上单调递减，

又，

，

故在，上没有零点．

20．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

解：（1）由，求导，

当时，，

当，单调递减，

当时，，

令，解得：，

当，解得：，

当，解得：，

时，单调递减，，单调递增；

当时，，恒成立，

当，单调递减，

综上可知：当时，在单调减函数，

当时，在是减函数，在，是增函数；

（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，

当时，，

当时，，，

当时，，

当，，且远远大于和，

当，，

函数有两个零点，的最小值小于0即可，

由在是减函数，在，是增函数，

，

，即，

设，则，，

求导，由（1），

，解得：，

的取值范围．

方法二：（1）由，求导，

当时，，

当，单调递减，

当时，，

令，解得：，

当，解得：，

当，解得：，

时，单调递减，单调递增；

当时，，恒成立，

当，单调递减，

综上可知：当时，在单调减函数，

当时，在是减函数，在是增函数；

（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，

②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，

当，时，，故只有一个零点，

当时，由，即，

故没有零点，

当时，，，

由，

故在有一个零点，

假设存在正整数，满足，则，

由，

因此在有一个零点．

的取值范围．

3．已知函数．

（1）当时，求的极大值和极小值；

（2）当时判断在区间内零点的个数，并说明理由．

解：（1）当时，，

则，

由，得，由得或，

所以在和上是增函数，在上是减函数，

所以是的极大值点，是的极小值点，

所以的极大值为，的极小值为．

（2），

①当时，恒正，于是当时，；当时，，

所以在上是减函数，在上是增函数，

所以是的极小值点，且，

又，，

所以在和内各有一个零点，

即当时，在内有两个零点

②当时，，，的变化如下：

考虑到，，

当，即时，因为，所以在内有两个零点，

当，即时，在内有一个零点，

当，即时，在内没有零点；

③当时，，则在上为增函数，

所以，故在内没有零点；

④当时，，，的变化如下：

考虑到，的极大值，的极小值，

所以在内没有零点；

综上，当时，在内有两个零点；

当时，在内有一个零点；

当时，在内没有零点．

4．已知函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

解：（1）由，

可得，

①当时，由，可得；由，可得，

即有在递减；在递增；

②当时，由，解得或，

若，则恒成立，即有在上递增；

若时，由，可得或；

由，可得；

即有在，，递增，

在，递减；

若，由，可得或；

由，可得

即有在，，递增；在，递减；

综上：当时，在递减；在递增；

当时，时，在上递增；

时，在，，递增，在，递减；

时，在，，递增；在，递减．

（2）①由（1）可得，当时，在递减；在递增，

且（1），（2），故在上存在1个零点，

取满足，且，

则（b），

故在是也存在1个零点，

故时，有2个零点；

②当时，，所以只有一个零点，不合题意；

③当时，若时，在递增，不存在2个零点，不合题意；

若，在递增，又当时，，不存在2个零点，不合题意，

当时，在单调增，在，递减，在，递增，

极大值（1），故不存在2个零点，不合题意；

综上，有两个零点时，的取值范围为．

5．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．

解：（1）函数．定义域为，

，

①时，，

当．，单调递增；

当．，单调递减；

②时，，解得或，

当，，单调递减；

当，，单调递增，

当，，单调递减；

③时，，在单调递减；

④时，，解得或，

当，，单调递减；

，，单调递增；

，．单调递减；

（2）由（1）得当时，在定义域上只有一个零点，

，由（1）可得，

要使有两个零点，则（2），即（2），所以，

下证有两个零点，

取，，满足（2），

故在有且只有一个零点；

因为（4），满足（2）（4），故在有且只有一个零点；

当时，由（1）可得，（a），

故在无零点，又因为在单调递减，在至多一个零点，不满足条件；

当时，，（2），故在上无零点，

又因为在单调递减，

在至多一个零点，不满足条件；

满足条件的取值范围，

6．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个大于1的零点，求的取值范围．

解：（1）的定义域是，

，

当时，，在递减，

当时，令，解得：，

令，解得：，

故在递减，在，递增；

当时，令，解得：，

令，解得：，

故在递减，在，递增；

（2）由（1）可得若函数有2个大于1的零点，则，

当时，需，无解，

当时，需，解得：，

且当时，在递减，（1），

故在有1个零点，

，

下面证明，

令，，

当时，，函数递减，

当时，，函数递增，

故（1），即，

故，，

又在，递增，

故在，有1个零点，

综上，的范围是，．