大题专练训练36：导数（构造函数证明不等式1）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练36—导数（构造函数证明不等式1）

1．已知a是常数，函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若0＜a＜1，证明：f（ea）＞﹣1．

（1）解：函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x的定义域为（0，+∞），又，

①当a≤0时，令f'（x）＝0，解得x＝1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；

②当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝1或x＝2a，

（i）当2a＜1，即时，当2a＜x＜1时，f'（x）＜0，当0＜x＜2a或x＞1时，f'（x）＞0，故f（x）在（2a，1）上单调递减，在（0，2a），（1，+∞）上单调递增；

（ii）当2a＝1，即时，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；

（iii）当2a＞1，即时，当1＜x＜2a时，f'（x）＜0，当0＜x＜1或x＞2a时，f'（x）＞0，故函数在（1，2a），上单调递减，在（0，1），（2a，+∞）上单调递增．

（2）证明：f（ea）＝a（ea﹣a2）﹣ea，要证f（ea）＞﹣1，即证a（ea﹣a2）﹣ea＞﹣1，即证（a﹣1）ea＞a3﹣1，因为0＜a＜1，也就是证明ea＜a2+a+1，即证，

下面证明成立，

令g（a）＝（0＜a＜1），则，当0＜a＜1时，g'（a）＞0，故g（a）在（0，1）上单调递增，所以g（a）＞g（0）＝1，即成立．

故f（ea）＞﹣1．

2．已知函数为常数）．

（1）若曲线在处的切线方程为，求，的值；

（2）讨论函数函数的单调性；

（3）当，时，求证：．

解：（1），（1），（1），

曲线在处的切线方程为：

，

即：，

由题意：，，

，；

（2），

，

当时，在上恒成立；

当时，令，即，解得，

令，即，解得．

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．

（3）证明：令，

则，令，

则，令得：   令得：，

在上单调递减，在上单调递增

，（1）（1），，

，

存在使，

且当或时，，

当，时，，

在上递增，在，上递减，在上递增，

又（1），所以有：，即，

．

3．已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当且时，求证：．

解：（1）由题意，得分

①若，令，得，令，得

故函数在上单调递减，在上单调递增；分

②若，令，得，令，得

故函数在上单调递增，在上单调递减；分

③若，令，为常量函数，不存在单调性分

（2）证明：当时，，则证，即证，

不等式两端同时除以，即证，得，分

记函数，则．

设，

当时，，所以函数在上单调递增．

所以当时，（1）分

所以，

所以函数在上单调递增．

所以（1），

即成立，

故得证分

4．已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）设函数，当时，若函数的极大值点为，证明：．

解：（1）的定义域为，

，

①当时，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

②当时，由，解得，，

此时，

当，，时，，函数单调递减，

当，，，函数单调递增，

综上所述，当时，在上单调递减，在，上单调递增，

当时，在，，时，单调递减，

在，，单调递增．

证明：（2），

，

当时，即或时，令，

则的两个根为，，

函数的极大值点为，

，

又，，

，，

由，可得，则，

，，

令，，

，

，，

当时，，当时，，

在上单调递增，在，上单调递减，

，

在上单调递减，

（1），

故．

5．已知函数，．

（1）证明：当时，；

（2）若，求．

解：（1）证明：，

，

，

考虑到，，

所以①当，时，，此时，

②当，时，，所以单调递增，

所以，

所以函数单调递减，，

③当，时，，所以单调递增，

所以，

所以函数单调递增，，

当，时，，

综上所述，当时，．

（2）构造函数，

考虑到，，

，

，

由（1）可知：在时恒成立，

所以在，上单调递增，

①若，则在，为负，为正，

在，单调递减，递增，

所以，

而当时，，

故满足题意．

②若，，

因为，

所以，

由零点存在定理，必存在，，使得，

此时满足时，，单调递减，

所以，矛盾，舍去，

③若，，

因为当时，，

所以当时，，

此时必存在，使得，

此时满足，时，，单调递增，

所以，矛盾，舍去，

而当时，当，

所以在，时，成立，单调递增，，矛盾，舍去．

综上所述，．

6．已知函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：．

（Ⅰ）解：因为，

所以，

当时，恒成立，则在上单调递增；

当时，令，则，所以，

令，则，所以，

所以的增区间为，减区间为．

综上：当时，的增区间为；

当时，的增区间为，减区间为．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，，，

令，则，

令，则，令，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故（1），

所以

又因为，

所以

则，

从而，所以．