大题专练训练39：导数（双变量与极值点偏移问题2）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练39—导数（双变量与极值点偏移问题2）

1．已知函数，为的导函数．

（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间和极值；

（3）当时，求证：对任意的，，，且，有．

解：（1）当时，，，可得（1），（1），

所以曲线在点，（1）处的切线方程为，

即．

（2）依题意，，

从而可得，整理可得：，

令，解得，

当变化时，，的变化情况如下表：

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

的极小值为（1），无极大值．

（3）证明：由，得．

对任意的，，，且，令，

则

①，

令，，，

当时，，

由此可得在，单调递增，

所以当时，（1），即，

因为，，，

所以②，

由（1）、（2）可知，当时，（1），即，

故③，

由①②③可得，

故当时，任意的，，，且，有．

2．已知函数．

（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）若函数有两个不同的零点，．

①求实数的取值范围；

②证明：．

解：（1）当时，，，，

（1），又，

曲线在点，（1）处的切线方程是；

（2）函数有两个不同的零点，，

等价于方程有两个不同实根，．

①令，则，

在上单调递增，在上单调递减，

则当时，取得最大值，

由于（1），当时，；

当，，的大致图象如图所示．

当，即时，

函数有两个不同的零点，，

故实数的取值范围是；

②证明：不妨设，，，

两式相加得，

两式相减得，

．

要证，只需证，

即证，

设，令，

则，

函数在上单调递增，且（1），

，即．

3．已知函数在定义域内有两个不同的极值点．

（1）求的取值范围；

（2）设两个极值点分别为，，证明：．

解：（1）由题意得，的定义域是，

，

令，

函数在定义域内有两个不同的极值点

等价于在上2个零点，

，

当时，在上，，递减，不满足题意，

当时，在上，，递增，

在，上，，递减，

要使在上2个零点，

只需，即，解得：，

故的范围是；

（2）由（1）可知，，，

两式相减可得①，

，

要证明，

只需证明，

即证明，②，

把①代入②整理得：，

令，即证明，

令，则，

当时，，函数在递减，

故（1），

故，命题得证．

4．已知函数．

（1）若，求曲线在，（1）处的切线方程；

（2）设存在两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）时，，

故（1），又（1），

故切线过，

切线方程是：；

（2），

，

令，得，

存在两个极值点，，

△，故，，

故，

故，，

由恒成立，

得，

令，

，

，，

故，故在递减，

故，

故，

即实数的范围是，．

5．已知函数．

（1）若是函数的一个极值点，求的值；

（2）当时，，，，恒成立，求的取值范围．

解：（1）由函数解析式知：，

由题意，得（3），故．经检验，满足题意．

（2）由已知，当时，只需，，．．

①当时，在，单调递减，在，单调递增．

所以，而，，故．

所以，解得（舍去）．

②当时，在，单增，在，单调递减，在，单调递增．

由于，所以只需，即，

所以．

③当时，，在，单调递增，

所以，满足题意．

④当时，在，单调递增，在，单调递减，在，单调递增．

由于，所以只需，即，所以．

综上，可得．

6．已知函数与有相同的定义域．

（1）解关于的不等式；

（2）若方程有两个相异实数根，，且在区间，上单调递减，证明：．

（参考结论：，

（1）解：已知函数与有相同的定义域，

所以与的定义域都是，

方程的判别式△，

①当△，即时，在上恒成立；

②当△，即时，的根为，

所以的解集为，且；

③当△，即时，的两根为，，

若，则，

所以的解集为，或；

若，则，所以的解集为．

综上所述：当时，的解集为；

当时，的解集为或；

当时，的解集为，且；

当时，的解集为．

（2）证明：由（1）知，若方程有两个相异实数根，，

则，且，，

因为在，上是减函数，

所以，

所以

．

因为时，，

又，所以．

因为，

且，

所以，

所以，

所以．

7．已知函数．

（1）若函数在点，（1）处的切线方程为，求，的值及的极值；

（2）若，对，，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）由题意可知函数的定义域为，

，．

函数在点，（1）处的切线方程为，

（1），，，，

．

令，得或．

当变化时，，的变化情况如下表：

的极小值为（1），

极大值为．

（2）当时，．

不等式，可化为为．

令．

由题可得，对，，，当时，不等式恒成立，

即在，上单调递减．

在，上恒成立，即在，上恒成立．

令，则在，上恒成立．

在，上单调递增，（2），

，实数的取值范围为，．

8．已知函数，其中．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若函数有两个极值点，且证明：．

解：（1）由，得，

①当时，，在上单调递增；

②当时，令，则，解得，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）证明：当时，，

，则的定义域为，

由有两个极值点，，且，

可知方程的判别式△，且，，

，且，

设，

则在上恒成立，

在上单调递减，（1），

．

9．已知函数在和时取极值，且．

（1）已知，求的值；

（2）已知，求的取值范围．

解：（1），

，

在和时取极值，

，

，是的两个不等实根，

，，解得，

经检验，符合题意．（4分）

（2）由（1）知，，

，是的两个不等实根，

，，

，，

（8分）

设（a），

，，①

又，是的两个不等实根，

△，得，②

由①②知，（10分）

而（a），设（a），则，（2），

由二次函数的性质可知（a）在上恒成立，

则（a）在上恒成立，

则（a）在上单调递减，

而，（2），故的取值范围为．（12分）