大题专练训练43：随机变量的分布列（超几何分布2）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练43：随机变量的分布列（超几何分布2）-2022届高三数学二轮复习，共18页。试卷主要包含了7．，841，635，879，07，024等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练43—随机变量的分布列（超几何分布2）
1.受新冠疫情影响，高三学子按照停课不停学的模式在家进行网络学习．现有两款不同的网络教学APP，钉钉和希沃．需要了解两款APP实施网络教学的效果，针对某校老师对两款APP的满意程度进行了问卷调查．现从老师对两款APP的评价（单位：分）中各随机抽取20个样本，根据评价作出如图茎叶图：

从低到高设置“不满意”“满意”和“很满意”三个等级，在[0，80）内为“不满意”，在[80，90）为“满意”，在[90，100]内为“很满意”．
（Ⅰ）根据茎叶图判断哪款APP更有利于老师开展网络教学工作？并说明理由；
（Ⅱ）从对钉钉评价为“很满意”或“满意”的样本中随机抽取3个样本，记这3个样本中评价为“很满意”的样本数量为X，求X的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）设钉钉样本的平均数为，希沃样本的平均数为，
则＝（68+72+76+77+79+82+83+83+84+85+86+87+87+88+89+90+90+91+91+92）＝84．
＝（65+65+66+68+69+70+71+72+72+73+74+75+76+76+78+81+84+84+85+90）＝74.7．
∵＞，∴钉钉更令老师满意．
（Ⅱ）由茎叶图可知钉钉评价为“很满意”或“满意”的样本数量为15个，“很满意”的样本数量为5个，
则从中随机抽取3个样本，X的所有可能取值为X＝0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




E（X）＝＝1．
2．某高中学校为帮助学生充分认识自己的学习优势和兴趣，做好个人职业规划，组织学生参加政治、历史、地理、物理、化学、生物六门学科的测试并在其中选出一门最感兴趣学科．学校在分析学生物理学科测试成绩及兴趣选择时得到如表统计表：
物理成绩（分数）
（0，60）
（60，80）
（80，100）
感兴趣人数
4
66
170
不感兴趣人数
57
463
140
学校在分析各学科被选择为最感兴趣学科的人数时发现选择了政治、地理、历史、生物的学生人数所占频率为，为了了解学生职业规划与学习兴趣之间的关系，从各学科最感兴趣人数中用分层抽样的方法抽取15人进行分析．
（Ⅰ）一学生物理成绩低于80分，估计他对物理感兴趣的概率是多少？
（Ⅱ）在抽取的15名学生中将选择物理、化学学科的学生分为一类，从此类学生中随机抽取4人，其中选择物理的学生人数记为X，试求随机变量X的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）物理学科成绩低于80分的人数为4+66+57+463＝590（人），
其中感兴趣得人数为4+66＝70（人）．
估计他对物理感兴趣的概率为P＝；
（Ⅱ）所有参加考试的人数为4+66+170+57+463+140＝900（人），
由题意知分层抽取15人的抽样比为，
对物理感兴趣的学生数为4+66+170＝240（人），
∴抽取的15名学生中选择物理的人数为240×（人）．
对化学感兴趣的学生数为900×（1﹣）﹣240＝180（人），
∴抽取的15名学生中选择化学的人数为180×＝3（人）．
∴随机抽取4人中选择物理的学生人数X的所有可能取值为：1，2，3，4．
则P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝，
P（X＝3）＝，
P（X＝4）＝．
∴X的分布列为：
X
1
2
3
4
P




E（X）＝．
3．复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力．而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强．复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取12名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不低于80的为优良．
（Ⅰ）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记X表示成绩“优良”的人数，求X的分布列和期望．
解：（1）抽取的12人中成绩是优良的频率为，
故从该校全体高二学生中任选1人，成绩是“优良”的概率是，
设“在该校全体高二学生中任选3人，至少有1人成绩优良”为事件A，
则．
（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，，，，，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




．
4．近年，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分．另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每门科目满分均为100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45人．
（1）求n的值；
（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一个不完整的2×2列联表，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

选择“物理”
选择“地理”
总计
男生

10

女生
25


总计



（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X，求X的分布列及期望．
附：，n＝a+b+c+d
P（K2≥k0）
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
解：（1）由题意得，
解得n＝100．
（2）2×2列联表为：

选择“物理”
选择“地理”
总计
男生
45
10
55
女生
25
20
45
总计
70
30
100

故有99%的把握认为选择科目与性别有关．
（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9女生中有5人选择“物理”，4人选择“地理”．9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择“物理”的人数X可为0，1，2，3，4．
设事件X发生的概率为P（X），则，
，
，
，

所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





数学期望．
5．某地举行一场游戏，每个项目成功率的计算公式为Pi＝，其中Pi为第i个项目的成功率，Ri为该项目成功的人数，N为参加游戏的总人数．现对300人进行一次测试，共5个游戏项目．测试前根据实际情况，预估了每个项目的难度，如表所示：
项目号
1
2
3
4
5
游戏前预估成功率Pi
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，随机抽取了20人的数据进行统计，结果如表：
项目号
1
2
3
4
5
实测成功人数
16
16
14
14
4
（1）根据题中数据，估计这300人中第5个项目的实测成功的人数；
（2）从抽样的20人中随机抽取2人，记这2人中第5个项目成功的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）游戏项目的预估难度和实测难度之间会有偏差，设P′i为第i个项目的实测成功率，并定义统计量S＝[（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣Pn）2]，若S＜0.05，则本次游戏项目的成功率预估合理，否则不合理，试检验本次测试对成功率的预估是否合理．
解：（1）因为20人中答对第5题的人数为4，
因此第5题的实测难度为＝0.2，
所以，估计240人中有240×0.2＝48（人）实测答对第5题．
（2）X的所有可能取值是0，1，2．
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝．
X的分布列为
X
0
1
2
P



E（X）＝0×+1×+2×＝＝．
（3）将抽样的20名学生测试中第i题的实测难度作为240名学生测试中第i题的实测难度．列表如下：
题号
1
2
3
4
5
实测难度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.2
S＝×[（0.8﹣0.9）2+（0.8﹣0.8）2+（0.7﹣0.7）2+（0.7﹣0.6）2+（0.2﹣0.4）2]＝0.012．
因为S＝0.012＜0.05，
所以，该次测试的难度预估是合理的．
6．某P2P平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布，发现其投资者年龄大多集中在区间[20，50]岁之间，对区间[20，50]岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数
分组
人数
第一组
[20，25）
2
第二组
[25，30）
a
第三组
[30，35）
5
第四组
[35，40）
4
第五组
[40，45）
3
第六组
[45，50]
2
（1）求a的值并画出频率分布直方图；
（2）从被调查的20人且年龄在[20，30）岁中的投资者中随机抽取3人调查对其P2P理财观念的看法活动，记这3人中来自于区间[25，30）岁年龄段的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

解：（1）a＝20﹣2﹣5﹣4﹣3﹣2＝4，
直方图中小矩形的高度依次为＝0.02，
＝0.04，＝0.05，＝0.04，＝0.03，＝0.02，
频率直方图如图

（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，
所以P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
P



数学期望E（X）＝1×+2×+3×＝2．
7．《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某高中200名学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：

喜欢《最强大脑》
不喜欢《最强大脑》
合计
男生
70


女生

30

合计



已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢《最强大脑》的概率为0.6．
（1）判断是否有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关？
（2）从上述不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的节目类型，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：．
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
解：（1）由200×0.6＝120及已知数据知满足题意的2×2列联表如下表所示：

喜欢《最强大脑》
不喜欢《最强大脑》
合计
男生
70
50
120
女生
50
30
80
合计
120
80
200
………………………（2分）
由列联表中数据，得到． ………………（5分）
因此没有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关；………………………（6分）
（2）由题意知，从不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，
其中女生有3人，男生有5人，随机变量X的取值可能为0，1，2，3，……………………（7分）
，
，
，
． …………………………（11分）
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P




．…………………………（12分）
8．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图：
分组
频数
频率
[10，15）
15
0.30
[15，20）
30
n
[20，25）
m
p
[25，30）
2
t
合计
M
1
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高三学生人数有500人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求其中参加社区服务次数在区间[25，30）内的人数X的分布列及数学期望．

解：（1）由频率统计表得：
[10，15）内的频数为15，频率为0.30，
∴M＝＝50，
∴m＝50﹣15﹣30﹣2＝3，
p＝＝0.06，a＝＝0.12；
（2）由频数分布表得区间[10，15）内的频率为0.3，
∴估计该校高三学生参加社区服务的数在区间[10，15）内的人数为：
500×0.30＝150人；
（3）由（1）知，参加社区服务的次数不少于20次的学生共5人，其中参加社区服务次数在区间[25，30）内的人数为2人，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，其中参加社区服务次数在区间[25，30）内的人数X可能取值为0，1，2．
则P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，
则X的分布列为：
x
0
1
2
P



∴期望为E（X）＝．
9．2020年新春伊始，“新型冠状病毒”肆虐神州大地，中共中央政治局常务委员会召开会议，研究新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全．因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表：

未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40
p
x
注射疫苗
60
q
y
总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）求2×2列联表中的数据p，q，x，y的值；
（2）能否在犯错误概率不超过0.005的情况下，认为注射此种疫苗有效？
（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，记其中未注射疫苗的小白鼠有X只，求X的分布列和数学期望．
附：，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
解：（1）所以，所以x＝100，
则y＝200﹣100＝100，p＝100﹣40＝60，q＝100﹣40＝60．
（2）由，
得，
所以能在犯错误概率不超过0.005的情况下，认为注射此种疫苗有效．
（3）由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为3：2，
故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，2只已注射疫苗．
从中抽取3只，则X的取值为1，2，3，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P



所以．
10．在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．
（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．

良
优
合计
男


40
女

40

合计



（2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为[50，60）和[90，100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，60）的顾客获得纪念品数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
附表及公式：．
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解：（1）列联表下：

良
优
合计
男
20
20
40
女
20
40
60
合计
40
60
100
由题得，，
所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．
（2）由已知得体验度评分为[50，60）和[90，100]的顾客分别有10人，20人，
则在随机抽取的6人中评分为[50，60）有2人，评分为[90，100]有4人．
则X可能的取值有0，1，2，
，
，
，
则X的分布列为：
X
0
1
2
P



所以．