大题专练训练46：随机变量的分布列（摸球类）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练46—随机变量的分布列（摸球类）1．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望．解：（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件，因为球的总分为16，即事件指的是甲的得分大于等于8，则，（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分、7分、8分、9分、10分、11分，，，，，，，所以的分布列为：67891011所以的数学期望．2．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同．（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为，求的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）．解：（1）设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件，则从4个球中摸出2个，有种取法，都是红球的取法有种，则（A）．（2）可能取0，1，2，3，4，，，，，．所以的分布列为01234（3）根据题意，纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，每次从纸箱中摸出一个小球，取出红球的概率为，若连续摸取20次，摸到红球次数的期望为，则摸到15次红球的概率最大． 3．袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求：（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（Ⅲ）第二次摸到红球的概率．解：根据题意，设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，则事件：第一次摸到白球．（Ⅰ）袋中有10个球，第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，，前两次都摸到红球的概率，则；（Ⅲ），则（A），，则（B）；所以第二次摸到红球的概率．4．某大型商场国庆期间举行抽奖活动，活动规定：凡是一次性购物满200元的顾客就可以从装有3个红球，5个白球（除颜色外，其他完全相同）的抽奖箱中无放回地摸出3个小球，摸到红球才能中奖，摸到1个红球奖励1元，摸到2个红球奖励4元，摸到3个红球奖励10元．活动第一天有700人次购物满200元，其中有140人次没有参与抽奖活动．（1）求活动第一天购物满200元的700人次中参与抽奖的频率；（2）设每次参与抽奖活动所得奖金的金额为元，求的分布列，并求活动第一天该商场投入奖金总金额的数学期望．解：（1）活动第一天购物满200元的700人次中参与抽奖的频率为．（2）的可能取值为0，1，4，10，，，，，则的分布列为：01410所以，故活动第一天该商场投入奖金总金额的数学期望为元．5．有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙箱中有3只红球，5只白球．（1）随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；（2）从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率．解：（1）根据题意，记事件：从甲箱中取一球为红球，事件：从乙箱中取一球为红球，事件：从丙箱中取一球为红球，记事件：取得的三球都为红球，且事件，，相互独立，所以，所以三球都为红球的概率为．（2）记事件：该球为红球，事件：取甲箱，事件：取乙箱，事件：取丙箱因为，所以（C），所以该球为红球的概率为．6．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．（1）记事件为“一次摸出2个球，摸出的球为一个红球，一个白球”．求（A）；（2）记事件为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，记事件为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证：（C）（B）（A）．解：（1）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．记事件为“一次摸出2个球，摸出的球为一个红球，一个白球”．一次摸出2个球基本事件总数，其中摸出的球为一个红球，一个白球包含的基本事件个数，（A）．（2）证明：记事件为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，（B），记事件为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，（C），（C）（B）（A）．7．袋中有大小形状均相同的1白球、2黑球，现进行摸球游戏，约定摸出白球得2分，摸出黑球得1分．（Ⅰ）现约定有放回地摸球4次，得分为X，求变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）当游戏得分为n（n∈N*）时，游戏停止，记得n分的概率为pn，pn的和为Qn，Q1＝．（ⅰ）求Q2；（ⅱ）若Tn＝Qn+1﹣Qn，求数列{Tn}的通项公式．解：（Ⅰ）X的所有可能取值为4，5，6，7，8，得1分的概率为，得2分的概率为，则P（X＝4）＝（）4＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，P（X＝7）＝＝，P（X＝8）＝＝，∴X的分布列为： X 4 5 67 8 P     ∴E（X）＝＝．（Ⅱ）（i）由题意得Q2＝＝．（ii）得n分分为两种情形，第一种在得（n﹣2）分之后再摸出白球，得2分，第二种在得（n﹣1）分之后再摸出黑球得1分，∴当n≥3时，Qn＝，则Tn+1＝Qn+2﹣Qn+1＝＝﹣（Qn+1﹣Qn）＝﹣，∴数列{Tn}是以为首项，﹣为公比的等比数列，∴Tn＝（﹣）n﹣1＝（﹣）n+1．