大题专项训练6：三角函数与解三角形（综合练习二）-2022届高三数学二轮复习

二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）若a，b，c成等差数列，求cosB的值；

（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sinA的值；若不存在，请说明理由．

2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC﹣csinA＝b．

（1）求A；

（2）若c＝2，且BC边上的中线长为，求b．

3．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）最小正周期为2π，且f（x）的图象过坐标原点．

（1）求ω、φ的值；

（2）在△ABC中，若2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），且三边a、b、c所对的角依次为A、B、C，试求的值．

4．已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2．

（1）求角C的大小；

（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．

5．已知f（x）＝cos2x﹣1+sinxcosx，x∈R．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosB+bcosC＝1且f（A）＝0，求△ABC的面积的最大值．

6.已知函数的最小值为﹣2，其图象经过点（0，﹣1），且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求出x1+x2的值．

7．已知函数．

（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；

（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，求的取值范围．

8．已知函数f（x）＝4cosωxsin（ωx+φ）﹣1（0＜φ＜π，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．

（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，求b的取值范围及x1+x2的值．

二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）答案

1.解：（1）若a，b，c成等差数列，

所以a+c＝2b，

由于．

所以cosB＝＝，

由于，

所以．

（2）假设B为直角，

则sinB＝1，

sinC＝cosA，

由于，

根据正弦定理（sinA+sinC）sinB＝，

即sinA+cosA＝，

上式两边平方得：，

所以（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0，

由于0＜sin2A≤1，

所以9sin2A+5＞0，4sin2A﹣5＜0，

与（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0矛盾，

故不存在△ABC满足B为直角．

2.解：（1）因为acosC﹣csinA＝b，由正弦定理可得sinAcosC﹣sinCsinA＝sinB，

因为B＝π﹣A﹣C，

所以sinAcosC﹣sinCsinA＝sinAcosC+cosAsinC，

可得﹣sinCsinA＝cosAsinC，因为sinC≠0，所以sinA＝﹣cosA，可得tanA＝﹣，

又因为A∈（0，π），可得A＝．

（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+4+2b，①

又在△ABC中，cosB＝＝，设BC的中点为D，

在△ABD中，cosB＝＝，可得＝，可得a2+4﹣2b2＝0，②

由①②可得b2﹣2b﹣8＝0，解得b＝4．

3.解：（1）依题意，得，ω＝1．

故f（x）＝sin（x+φ）．

因为f（x）的图象过坐标原点，所以f（0）＝0，

即sinφ＝0，∵﹣＜φ＜，∴φ＝0．

（2）由（1）知f（x）＝sinx，

因为2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），

所以2sin2B+3sin2C＝2sinAsinBsinC+sin2A，

由正弦定理可得：2b2+3c2＝2sinA•bc+a2，

又a2＝b2+c2﹣2bccosA，

∴＝，

又，

∴sinA﹣cosA＝，且b＝，∴A＝．

∴＝＝．

4.解：（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，

∴sinC＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即sinC+cosC＝2，

∴2sin（C+）＝2．

∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．

（2）∵△ABC的外接圆半径为2，

∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，

∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，

∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，

∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，

设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，

在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，

∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，

∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ

＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，

∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，

∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，为4+2，

故△ABI的周长的最大值为4+2．

5.解：（1）f（x）＝cos2x﹣1+sinxcosx＝cos2x﹣+sin2x＝sin（2x+）﹣，

令2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，则x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，

∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．

（2）∵f（A）＝sin（2A+）﹣＝0，∴sin（2A+）＝，

∵A∈（0，π），∴A＝，

∵ccosB+bcosC＝1，

∴c•+b•＝1，即a2＝a，

∵a≠0，∴a＝1，

由正弦定理知，＝＝＝＝，

∴b＝sinB，c＝sinC，

∴bc＝sinBsinC＝sinBsin（+B）＝sinB（cosB+sinB）

＝sin2B﹣cos2B+＝sin（2B﹣）+，

∵B∈（0，），∴2B﹣∈（﹣，），sin（2B﹣）∈（，1]，

∴bc≤1，

∴△ABC的面积S＝bcsinA≤×1×sin＝，

故△ABC的面积的最大值为．

6.解：（Ⅰ）由题意，得A＝2，．

∴T＝π，．

∴f（x）＝2sin（2x+φ）．

又函数f（x）的图象经过点（0，﹣1），则2sinφ＝﹣1．

由，得．

∴．

（Ⅱ）由题意，关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，

即函数y＝f（x）与y＝k的图象在上有且仅有两个交点．

由（Ⅰ）知．令，则y＝2sint．

∵，

∴．

则y∈[﹣2，2]．其函数图象如图所示．由图可知，实数k的取值范围为．

①当k∈[1，2）时，t1，t2，关于对称，则．

解得．

②当时，t1，t2关于对称，则．

解得．

综上，实数k的取值范围为，x1+x2的值为或．

7.解：（1）由题意可得

，

所以函数的最小正周期，

令，，解得，，

故函数的单调递减区间为，，．

（2）由（1）知，解得，

因为，所以，

由正弦定理可知，则，，

所以，

在锐角中，可得可得，

因此，则，，

故的取值范围为，．

8.解：（Ⅰ）f（x）＝4cosωxsin（ωx+φ）﹣1

＝4cosωx（sinωxcosφ+cosωxsinφ）﹣1

＝4sinωxcosωxcosφ+4cos2ωxsinφ﹣1

＝2sin2ωxcosφ+2（1+cos2ωx）sinφ﹣1

＝2sin2ωxcosφ+2cos2ωxsinφ+2sinφ﹣1

＝2sin（2ωx+φ）+2sinφ﹣1，

因为两相邻对称中心之间的距离为，

所以函数f（x）的周期为π，则，

所以ω＝1，则f（x）＝2sin（2x+φ）+2sinφ﹣1，

又f（x）的图象关于直线对称，

所以有φ＝，

解得φ＝，

因为0＜φ＜π，

所以φ＝，

故，

令，解得，

所以函数y＝f（x）的单调递增区间为；

（Ⅱ）当x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，

即当x∈[0，π]时，方程＝有两个不同的根x1，x2，

令t＝，则t∈，

所以方程sint＝在上有两个不同的根t1，t2，

作出函数的图象如图所示，

①当，即1＜b＜2时，y＝与y＝sint有两个交点，

则t1+t2＝，即，解得；

②当，即﹣2＜b＜0时，y＝与y＝sint有两个交点，

则t1+t2＝，即，解得；

综上可得，当﹣2＜b＜0时，；当1＜b＜2时，．