大题专项训练16：立体几何（二面角）-2022届高三数学二轮复习

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二轮大题专练16—立体几何（二面角）1．如图，在四棱柱中，底面是以，为底边的等腰梯形，且，，．（1）证明：．（2）若，求二面角的正弦值．（1）证明：在中，，，，由余弦定理得，则，即，又，，故平面．而平面，．（2）解：取的中点，，．由（1）可知平面平面，故平面．由是等腰梯形，且，，得，则，．以为原点，分别以，，的方向为，，的正方向建立空间直角坐标系，则，，，1，，，，0，，，，．设平面的法向量为，则，令，则，，有．又是平面的一个法向量．，二面角的正弦值为． 2．如图，已知三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：因为，点为的中点，所以，又，所以是等边三角形，所以，所以，所以，．又，得，又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：以为坐标原点，为轴，在平面内过点垂直于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系．则，0，，，0，，，，，，0，，所以，，0，，，，设，，为平面的法向量，由，令，得，，．而平面的一个法向量，1，，．设二面角的平面角为，则二面角的正弦值为．3．如图，在四棱锥中，，平面平面，，在上，且．（1）求证：平面平面；（2）设直线与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．解：（1）连接，．，，在上，且．，四边形为菱形，平面平面，面，且，面．平面，平面平面；（2）易得四边形，为菱形，、、均为正三角形．设，可得，由（1）得面，为直线与平面所成的角，．，．，过作直线，可得面平面．取中点，则，又，可得．平面与平面所成的锐二面角．在中，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．．4．在四棱锥中，底面四边形是一个菱形，且，，平面．（1）若是线段上的任意一点，证明：平面平面．（2）当平面与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求的长．解：（1）证明：四边形是一个菱形，，又平面，，又，则平面，在平面内，平面平面；（2）设，交于点，分别以，所在直线为轴，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，，则，设平面的一个法向量为，则，可取，同理可求平面的一个法向量为，，解得，．5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，CD⊥AD，BC∥AD，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．（1）E为PD的中点，证明AE与平面PCD垂直；（2）点F在PC上，且，求二面角F﹣AE﹣P的正弦值．（1）证明：∵AP＝AD＝2，E为PD的中点∴△APD为等腰三角形，∴AE⊥PD，又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∵CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，CD⊥AE，∵AE⊥PD，AE⊥CD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PDC，AD⊂平面PDC，∴AE⊥平面PCD．（2）解：因为PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，所以PA、AD、CD两两垂直，以A点为原点，AD为y轴，AP为z轴，过A做平面ABCD内CD的平行线，交BC于点H，AH为x轴，建立如图所示空间直角坐标系．因为PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，所以A（0，0，0），B（2，﹣1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因为E为PD的中点，点F在PC上，且，所以E（0，1，1），．设平面AEF的一个法向量为，则，即，取b＝1，则a＝1，c＝﹣1，得．又平面AEP的一个法向量为，所以．所以二面角F﹣AE﹣P的正弦值为．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，四边形BDD1B1是矩形．（1）求证：BD⊥A1C；（2）若，点E在棱BB1上，且B1B＝4B1E，求二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值．证明：（1）连结AC，交BD于点O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC的中点，∵四边形BDD1B1是矩形，∴BD⊥DD1，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥DD1，∴BD⊥AA1，∵AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C．解：（2）∵AA1＝A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，∵BD⊥平面ACC1A1，∴面ABCD⊥面ACC1A1，∵面ABCD∩面ACC1A1＝AC，∴A1O⊥面ABCD，∴A1O⊥OA，A1O⊥OB，∴OA，OB，OA1两两互相垂直，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1＝A1C＝2，BD＝2，AB＝，∴OB＝1，OA＝2，OA1＝2，∴A（2，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，2），C（﹣2，0，0），B1（﹣2，1，2），∴＝（﹣2，0，﹣2），＝（2，0，﹣2），＝（﹣），设平面A1CE的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），平面A1CC1的一个法向量为＝（0，1，0），平面A1CC1的一个法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∴二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值为．7．在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面ADE⊥平面ABCD，EF∥AB，DE＝EF＝1，DC＝2，∠EAD＝30°．（1）求证：CD⊥平面ADE；（2）在线段BD上是否存在点G，使得平面EAD与平面FAG所成的锐二面角的大小为30°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．证明：（1）∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，正方形ABCD中，CD⊥AD，∴CD⊥平面ADE．解：（2）由（1）知平面ABCD⊥平面AED．在平面DAE内，过D作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A（2，0，0），F（），＝（2，2，0），＝（﹣），设，λ∈[0，1]，则＝（2λ﹣2，2λ，0），设平面FAG的一个法向量＝（x，y，z），则，令x＝﹣，得＝（﹣），平面EAD的一个法向量＝（0，1，0），由已如得cos30°＝＝＝，化简可得：9λ2﹣6λ+1＝0，解得，∴＝．8.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AD＝CD＝PD＝2AB＝2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PD⊥AB．（2分）因为AB∥CD，AD⊥CD，所以AD⊥AB．（4分）因为PD∩AD＝D，（5分）所以AB⊥平面PAD．（6分）（Ⅱ）解：因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，（7分）所以以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），（8分）所以．设平面PBC的法向量为，，令x＝1，于是．（10分）因为PD⊥平面ABCD，所以平面ABC的法向量为，（11分）所以．（12分）由题知二面角P﹣BC﹣A为锐角，所以其余弦值是．（13分）