人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用随堂练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练习一、选择题若直线l的方向向量2，，平面的一个法向量，若，则实数    A. 2 B.  C.  D. 10设的方向向量为2，，的方向向量为3，，若，则m等于    A. 1 B. 2 C.  D. 3若直线l的方向向量为1，，平面的法向量为，且，则A. 2 B. 3 C. 4 D. 5已知5，，1，，若，y，，且平面ABC，则实数x、y、z分别为（ ）A. ，，4 B. ，，4 C. ，，4 D. 4，，已知O为坐标原点，向量，点，若点E在直线AB上，且，则点E的坐标为    A.  B.  C.  D. 如图，在正方体中，分别是的中点，则下列判断错误的是   

 A.  B. 平面
C. 平面ABCD D. 平面的法向量，平面的法向量，则下列命题正确的是（ ）A. ，平行 B. ，垂直 C. ，重合 D. ，不垂直若直线l的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（ ）A. 0，，0，
B. 3，，0，
C. 2，，1，
D. ，3，若平面的一个法向量为2，，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（ ）A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是     

 A. 点P的坐标为0， B.
C. 可能为 D. 平面的法向量1，，平面的法向量y，，已知，则等于    A.  B.  C. 3 D. 若平面，的法向量分别为，，则A.  B.
C. ，相交但不垂直 D. 以上均不正确二、填空题已知点4，，3，，2，，若直线平面ABC，直线l的方向向量为m，，则________．已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则______．设，分别是平面，的法向量，，若，则实数___________．在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点3，若y，是平面上任意一点，则点P的坐标满足的方程是__________________．三、解答题如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，在四边形ABCD中，，，，点M在PB上，，PB与平面ABCD成的角．用空间向量知识证明：

平面PAD；        
平面平面PAD．



 如图，在正方体中，E，F分别为底面和侧面的中心．

求证：；
平面；平面平面 



 如图，在长方体中，，E为CD的中点．
Ⅰ求证：；Ⅱ在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．


 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是棱PB的中点．
 求直线AD与平面PBC的距离；若，求二面角的平面角的余弦值．


答案和解析1.【答案】A
【解析】
解：直线l的方向向量，
平面的一个法向量，，
，
，解得．
故选A．
2.【答案】B
【解答】
解：，
解得，
故选B．
3.【答案】C
【解答】
解：因为直线l的方向向量为1，，平面的法向量为，且，
所以存在实数，使得1，，
所以
解得，．
故选C．
4.【答案】B
【解答】
解：，
，解得．
．
平面ABC，平面ABC，平面ABC，
，，
，．
，
解得．
，，．
故选：B．
5.【答案】A
【解答】
解：点E在直线AB上，故，
且，，
故点E的坐标为，
故选A．
6.【答案】D
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系：

设正方体棱长为2，
则0，，2，，，
2，，，2，，1，，
则，，
，，
，，故A正确；
，，
，平面，
平面，故B正确；
根据，，
可知，MN和AB不平行，故MN和不平行，故D错误；
易求得平面ABCD的一个法向量为，
则，又平面ABCD，
平面ABCD，故C正确．
故选D．
7.【答案】B【解析】解：平面的法向量，平面的法向量，
因为，
所以两个平面垂直．
8.【答案】D【解答】解：若，则，经验证只有选项D中，故选D．
9.【答案】C
【解答】
解：由题意可得2，，，
，
故两个平面的法向量垂直，故平面和平面的位置关系为垂直，
故选C．
10.【答案】C
【解答】
解：由题意可得0，，2，，0，，2，，

所以，2，．
设则
取，可得．
因为，，所以平面PAB，
所以平面平面PAB，所以，
所以．
综上所述，A，B，D错，C正确．
故选C．
11.【答案】A
【解答】
解：由题意知，，，
即解得，，，．
故选A．
12.【答案】C
【解答】
解：因为，，
所以与不平行且与不垂直，
故选C．
13.【答案】2
【解答】
解：由题意知是平面ABC的一个法向量，，，解得．故答案为2．
14.【答案】
【解答】
解：因为直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，，则有和平行，故有，解之得，，则故答案为．
15.【答案】4
【解答】
解：因为，所以，
即，
解得．
故答案为4．
16.【答案】
【解答】
解：由题意知，
所以，
因为，，
所以，
即．
故答案为．
17.【答案】证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz．平面ABCD，为PB与平面ABCD所成的角，．，，，1，，0，，4，，0，，M，，3，，0，方法一令y，为平面PAD的法向量，则即令，得2，．，．又平面PAD， 平面PAD．方法二1，，4，．令，则解方程组得．由共面向量定理知与，共面，又平面PAD， 平面PAD．取AP的中点E，连接BE，则2，，2，．，．又2，，3，，，，又，PA，平面PAD，平面PAD，又平面PAB，平面平面PAD．18.【答案】证明：以点D为原点，DA，DC，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则0，，0，，2，，2，，1，，2，，，因为，所以，所以；设平面的一个法向量为，则，即，，令，则，因为，所以平面；由，同理求出平面的一个法向量，所以平面平面．
19.【答案】解：以A为原点，，， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设．

Ⅰ证明：0，，1，，1，，，0，，
故1，，，
因为，所以．
Ⅱ假设在棱上存在一点0，，使得平面，
此时，
再设平面的一个法向量为y，，
0，，．
因为平面，
所以，，即
取，得，，得平面的一个法向量．
要使平面，只要，有，解得．
又平面，所以存在点P，满足平面，此时．
20.【答案】解：如图，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系．
设a，，则0，，a，，0，，0，
因此，0，，a，，a，
则，，
所以，又，所以平面PBC．
由，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为．

设平面AEC的法向量为
因为0，，．
所以，令，得，，所以．
设平面EDC的法向量为，
因为，0，，
所以，令，得，所以．
由图可知二面角的平面角为一锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为：．