人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课后作业题
展开一、选择题
直线l:y=ax−a+1与圆:x2+y2=8的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 与a的大小有关
若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x−y−3=0的距离为( )
A. 55B. 255C. 355D. 455
点(0,−1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
在一个平面上,机器人到与点C(3,−3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(−10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为( )
A. 82−8B. 82+8C. 82D. 122
直线y=−33x+1与x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC,如果在第一象限内有一点P(m,12),使得△ABP和△ABC面积相等,则m的值( )
A. 532B. 332C. 32D. 3
若圆C:(x−1)2+y2=4上恰有两个点到直线x−3y+b=0的距离为1,则实数b的取值范围( )
A. (−7,−3)B. (1,5)
C. (−3,5)D. (−7,−3)∪(1,5)
圆(x−2)2+(y−2)2=18上的点到直线x+y−14=0的最大距离与最小距离的差是
A. 36B. 18C. 62D. 52
圆x2+y2+2y=0与曲线y=2(x-1)的公共点个数为
A. 4B. 3C. 2D. 1
已知A(−1,0),B(1,1),若曲线C:x2−y2=0上的点P满足:|PA|=2|PB|,则符合条件的点P的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
“k=3”是“直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
两圆C1:(x−1)2+(y−2)2=1和C2:(x−2)2+(y−5)2=9的公共弦的弦长为( )
A. 1010B. 21010C. 31010D. 3105
抛物线y2=2px(p>0)的焦点到双曲线x2−y2=1的渐近线的距离为22,则p=
A. 4B. 3C. 2D. 1
已知直线l1:x−y+1=0与l2:x+ay+3=0平行,则l1与l2之间的距离为 ( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2−6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的离心率为
A. 355B. 32C. 3D. 22
二、填空题
已知x,y满足x+y+3=0,求(x+1)2+(y−2)2的最小值______.
圆(x+3)2+y2=1的圆心到直线x+3y+1=0的距离为______.
已知直线l过点(1,2),且原点到直线l的距离为1,则直线l方程为______.
点P(1,a)到直x−2y+2=0的距离为355,且P在3x+y−3>0表示的区域内,则a= .
三、解答题
已知圆C经过点A(2,−1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=−2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过(2,0)点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
已知点△ABC三顶点坐标分别是A(1,3),B(3,1),C(−1,0),
(1)求BC边上的高AD所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积.
已知圆C:(x-2)2+(y−3)2=4外有一点(4,−1),过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时,求直线l的方程;
(2)当直线l的倾斜角为135度时,求直线l被圆C所截得的弦长.
求满足下列条件的直线方程
(1)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程。
(2)过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程。
已知圆:x2+(y−4)2=4,直线l:.
(1)证明直线l总与圆C相交;
(2)当直线l被圆C所截得的弦长为23时,求直线l的方程.
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解:∵圆:x2+y2=8的圆心(0,0),半径r=22,
圆心(0,0)到直线l:y=ax−a+1的距离
d=|1−a|1+a2=a2+1−2aa2+1=1−2aa2+1,
(1)当a=0时,d=1
∴直线l:y=ax−a+1与圆:x2+y2=8相交.
故选:A.
2.【答案】B
【解析】解:由题意可得所求的圆在第一象限,设圆心为(a,a),则半径为a,a>0.
故圆的方程为(x−a)2+(y−a)2=a2,再把点(2,1)代入,求得a=5或1,
故所求的圆的方程为(x−5)2+(y−5)2=25或(x−1)2+(y−1)2=1.
故所求圆的圆心为(5,5)或(1,1);
故圆心到直线2x−y−3=0的距离d=|2×5−5−3|22+12=255或d=|2×1−1−3|22+12=255;
3.【答案】B
【解答】
解:因为点(0,−1)到直线y=k(x+1)距离d=|1+k|k2+1=k2+2k+1k2+1=1+2kk2+1;
∵要求距离的最大值,故需k>0;
可得d≤1+2k2k=2;当k=1时等号成立;
故选B.
4.【答案】A
【解析】解:机器人到与点C (3,−3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,
在行进过程中保持与点C的距离不变,
∴机器人的运行轨迹方程为(x−3)2+(y+3)2=64,如图所示;
∵A(−10,0)与B(0,10),
∴直线AB的方程为x−10+y10=1,即为x−y+10=0,
则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=82>8,
∴最近距离为82−8.
5.【答案】A
【解析】解:根据题意画出图形,如图所示:
由直线y=−33x+1,令x=0,解得y=1,故点B(0,1),
令y=0,解得x=3,故点A(3,0),
∵△ABC为等边三角形,且OA=3,OB=1,
根据勾股定理得:AB=2,故点C到直线AB的距离为3,
由题意△ABP和△ABC的面积相等,
则P到直线AB的距离d=32|−33m+12|=3,即−33m+12=2或−33m+12=−2,
解得:m=−332(舍去)或m=532.
则m的值为532.
6.【答案】D
【解析】解:由圆C:(x−1)2+y2=4可得圆C的圆心C(1,0),半径为2,
若圆C:(x−1)2+y2=4上恰有2个点到直线l的距离等于1,
则满足C到直线l:x−3y+b=0的距离1
∴1<|1+b|1+3<3,
解得−7
【解答】
解:圆(x−2)2+(y−2)2=18的圆心为(2,2),半径为32.
圆心(2,2)到直线x+y−14=0的距离为|2+2-14|2=52>32,
所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r=62.
故选C.
8.【答案】B
【解答】
解:圆x2+y2+2y=0,可得x2+(y+1)2=1,圆心为(0,−1),半径为1,
圆心(0,−1)到直线y=2x−2的距离d=|0+1−2|5=55<1,
圆心(0,−1)到直线y=−2x−2的距离d=|0−1+2|5=55<1,
又直线y=2x−2和直线y=−2x−2与圆x2+y2+2y=0有公共的交点点(0,−2),
如图
∴圆x2+y2−2y=0与曲线y=2(x-1)的公共点个数为3,
故选B.
9.【答案】B
【解答】
解:设P(x,y),则|AP|=(x+1)2+y2,
|PB|=(x−1)2+y−12,
由|PA|=2|PB|,得
(x+1)2+y2=2⋅(x−1)2+y−12,
两边平方得:(x−3)2+y−22=10,
∴点P的轨迹是以(3,2)为圆心,以10为半径的圆,
∵曲线C:x2−y2=0表示两条直线x−y=0和x+y=0,
圆(x−3)2+y−22=10的圆心(3,2)到直线x−y=0的距离d=12,
由于d<10,
所以(x−3)2+y2=10与直线x−y=0相交,有两个交点;
圆(x−3)2+y−22=10的圆心(3,2)到直线x+y=0的距离d1=52,
由于d1>10,
所以(x−3)2+y2=10与直线x+y=0相离,无交点,
故符合条件的点P的个数为2个.
故选B.
10.【答案】A
【解答】
解:若直线y=kx+2即kx−y+2=0与圆x2+y2=1相切,
则圆心(0,0)到直线的距离d=2k2+1=1,
解得k2=3,即k=±3,
∴“k=3”是“直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件.
故选A.
11.【答案】D
【解答】
解:两圆相减可得公共弦的方程为x+3y−8=0,
∵圆C1:(x−1)2+(y−2)2=1的圆心坐标为(1,2),半径为1,
∴圆心(1,2)到公共弦的距离为d=|1+6−8|1+9=1010,
∴弦长=21−10100=3105.
故选D.
12.【答案】C
【解答】
解:由抛物线的方程得焦点坐标为(p2,0),由双曲线的方程得到其渐近线方程为y=x或y=−x,
由点到直线的距离公式得p2±01+±12=22,∴p=2(∵p>0负值舍去)
故选C.
13.【答案】B
【解答】
解:由两直线平行,得a=−1,
在直线l1:x−y+1=0上任取一点(0,1),
到直线l2:x−y+3=0的距离为d=|0−1+3|2=2.
故选B.
14.【答案】A
【解答】
解:双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,即bx±ay=0
圆C:x2+y2−6x+5=0化为标准方程(x−3)2+y2=4
∴C(3,0),半径为2
∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2−6x+5=0相切
∴|3b|b2+a2=2
∴9b2=4b2+4a2
∴5b2=4a2
∵b2=c2−a2
∴5(c2−a2)=4a2
∴9a2=5c2
∴e=ca=355
∴双曲线离心率等于355
故选A.
15.【答案】8
【解析】解:由于(x+1)2+(y−2)2表示点(−1,2)与直线上的点的距离的平方,
可知(x+1)2+(y−2)2的最小值为点(−1,2)到直线x+y+3=0距离的平方,
所以最小值为(|−1+2+3|12+12)2=8.
故答案为:8.
由于(x+1)2+(y−2)2表示点(−1,2)与直线上的点的距离的平方,可知(x+1)2+(y−2)2的最小值为点(−1,2)到直线x+y+3=0距离的平方,由点到直线的距离公式可得结果.
16.【答案】1
【解答】
解:圆(x+3)2+y2=1的圆心(−3,0)到直线x+3y+1=0的距离d=|−3+3×0+1|2=1.
故答案为:1.
17.【答案】x=1或3x−4y+5=0
【解析】解:直线l的斜率不存在时,可得直线l的方程为:x=1,满足题意;
直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为:y−2=k(x−1),化为:kx−y+2−k=0.
由题意可得:|2−k|1+k2=1,解得:k=34,
∴直线l的方程为:y−2=34(x−1),化为:3x−4y+5=0,
综上可得:直线l的方程为:x=1或3x−4y+5=0,
18.【答案】3
【解答】
解:∵点P到直线x−2y+2=0的距离:d=1−2a+212+−22=355,
∴解得a=0或3,
∵P点在不等式3x+y−3>0所表示的平面区域内,
∴a=3.
故答案为3.
19.【答案】解:(1)设圆心的坐标为C(a,−2a),
则(a−2)2+(−2a+1)2=|a−2a−1|2.
化简,得a2−2a+1=0,解得a=1.
所以C点坐标为(1,−2),
半径r=|AC|=(1−2)2+(−2+1)2=2.
故圆C的方程为(x−1)2+(y+2)2=2.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时直线l被圆C截得的弦长为2,
满足条件.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x−2),即kx−y−2k=0
由题意得|2−k|1+k2=1,解得k=34,
则直线l的方程为y=34(x−2).
综上所述,直线l的方程为x=2或3x−4y−6=0.
20.【答案】解:(1)∵直线BC的斜率为k1=1−03−(−1)=14------------(2分)
∴直线AD的斜率为k2=−4---------------------------(3分)
∴BC边上的高AD所在直线的方程为y−3=−4(x−1)
即4x+y−7=0-----------------------------------(5分)
(2)∵|BC|=(3+1)2+(1−0)2=17----------------(7分)
直线BC的方程为y=14(x+1),即x−4y+1=0----------(8分)
点A到直线BC的距离为d=|1−12+1|17=1017--------------(10分)
∴△ABC的面积=12|BC|⋅d=12×17×1017=5--------(12分)
21.【答案】解:(1)当斜率不存在时,直线l的方程为x=4,
当斜率存在时,设直线l的方程为kx−y−4k−1=0,
则2k−3−4k−11+k2=2,解得k=−34,∴直线l的方程为3x+4y−8=0,
∴直线l的方程为x=4或3x+4y−8=0;
(2)当直线l的倾斜角为135°时,直线l的方程为x+y−3=0,
圆心C到直线l的距离为2+3−32=2,
∴弦长为222−(2)2=22.
22.【答案】解:(1)当截距为0时,直线方程为3x−2y=0,
当截距不为0时,设直线方程为xa+ya=1,
则2a+3a=1,解得a=5,所以直线方程为x+y−5=0,
故直线方程为:3x−2y=0或x+y−5=0.
(2)当斜率不存在时,所求直线方程为x−5=0,满足条件;
当斜率存在时,设其为k,则所求直线方程为y−10=k(x−5),即kx−y+10−5k=0,
由点到直线的距离公式,得|10−5k|k2+1=5,解得k=34.故所求直线方程为3x−4y+25=0
综上可知,所求直线方程为x−5=0或3x−4y+25=0,
故直线方程为:x−5=0或3x−4y+25=0.
23.【答案】解:(1)证明:∵圆C:x2+(y−4)2=4,∴圆心C(0,4),半径r=2,
∵直线l:(3m+1)x+(1−m)y−4=0,整理得:(3x−y)m+(x+y−4)=0,
令3x−y=0x+y−4=0,解得:x=1y=3,∴直线l过定点M(1,3),
∴CM=(1−0)2+(3−4)2=2<2=r,
∴定点M(1,3)在圆内,∴直线l总与圆C相交.
(2)∵直线l被圆C所截得的弦长为23,
∴圆心C(0,4)到直线l的距离d=r2−(232)2=22−3=1,
∵直线l:(3m+1)x+(1−m)y−4=0,
∴d=(3m+1)×0+(1−m)×4−4(3m+1)2+(1−m)2=−4m(3m+1)2+(1−m)2,
∴−4m(3m+1)2+(1−m)2=1,解得m=−13或m=1,
将m=−13或m=1,代入直线l:(3m+1)x+(1−m)y−4=0,
∴直线l的方程:x=1或y=3.
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