人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算备课ppt课件

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我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算得到新的函数,还有一种构造新函数的方法,那就是把两个或几个函数“复合”起来,怎样“复合”呢,复合后的函数怎样求导呢?本节课就让我们来解决这些问题.
1.复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).2.复合函数的求导法则一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
名师点析求复合函数的导数需处理好以下环节:(1)中间变量的选择应是基本函数结构;(2)关键是正确分析函数的复合层次;(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;(4)善于把一部分表达式作为一个整体;(5)最后要把中间变量换成关于自变量的函数.
微思考函数y=lg2(x+1)是复合函数吗?是由哪些函数复合而成的?提示:是,函数y=lg2(x+1)是由y=lg2u及u=x+1这两个函数复合而成的.
微练习(1)函数y=sin 4x的导数为　　　　　　; (2)函数y= 的导数为　　　　. 
求复合函数的导数例1求下列函数的导数:
分析:先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
解:(1)设y=u2,u=4-3x,则yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即y'=18x-24.
反思感悟1.解答此类问题常犯两个错误:(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数;(2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.2.复合函数求导的步骤:
变式训练1求下列函数的导数.
复合函数求导与导数的运算法则的综合应用例2求下列函数的导数.
反思感悟此类问题出错的主要因素一般有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆有误;二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性.
变式训练2求下列函数的导数:(1)y=(2x-1)3;(2)y=sin 2x+cs 2x;(3)y=ln2x.
解:(1)设y=u3,u=2x-1,则yu'=3u2,ux'=2,于是yx'=yu'·ux'=6(2x-1)2,即y'=6(2x-1)2;(2)y'=(sin 2x)'+(cs 2x)'=2cs 2x-2sin 2x;
导数运算法则的综合应用例3(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　)
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　　. 
求P(x0,y0)→由点到直线的距离求最小值(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
答案:(1)A　(2)2
反思感悟导数综合应用的解题策略本题正确地求出复合函数的导数是前提,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键.
延伸探究1本例(1)的条件变为“曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+m=0的最小距离为2 ”,求m的值.
即实数m的值为8或-12.
延伸探究2求本例(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积.
解:由题意可知,切线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0.
等价转化思想在导数几何意义中的应用典例已知点P是曲线y=f(x)=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的距离的最小值.审题视角所求点P应为与直线y=x-2平行的曲线y=x2-ln x的切线的切点,此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离,即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线y=x2-ln x的斜率等于1的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解.
解:由已知,可得当点P是曲线y=f(x)的平行于直线y=x-2的切线的切点时,点P到直线y=x-2的距离最小.
方法点睛这类“求某曲线上任意一点到某已知直线的最小距离”问题,可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线的平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解.其基本步骤与方法如下:(1)根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率.(2)根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标.(3)由切点在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标.(4)利用点到直线的距离公式求得最小距离.
变式训练点P是曲线y=-x2上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为(　　)
解析:依题意知,点P就是曲线y=-x2上与直线y=x+2平行的切线的切点.设点P坐标为(x0,y0),因为y'=-2x,所以曲线在点P处的切线的斜率为k=-2x0.因为该切线与直线y=x+2平行,所以有-2x0=1,得
1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是(　　)A.y=un,u=x2-1B.y=(u-1)n,u=x2C.y=tn,t=(x2-1)nD.y=(t-1)n,t=x2-1答案:A
2.(2020黑龙江大庆实验中学高二期末)已知f(x)=sin 2x+e2x,则f'(x)=(　　)A.2cs 2x+2e2xB.cs 2x+e2xC.2sin 2x+2e2xD.sin 2x+e2x解析:因为f(x)=sin 2x+e2x,所以f'(x)=2cs 2x+2e2x.故选A.答案:A
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=(　　)