还剩50页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册 PPT课件
成套系列资料，整套一键下载
- 5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共36张PPT) 课件 0 次下载
- 5.2.3 简单复合函数的导数-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共27张PPT) 课件 0 次下载
- 5.3.1 函数的单调性-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共46张PPT) 课件 0 次下载
- 5.3.2 第1课时 函数的极值-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共41张PPT) 课件 0 次下载
- 第五章 章末整合-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共39张PPT) 课件 2 次下载
2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用备课课件ppt
展开
这是一份2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用备课课件ppt，共58页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，答案C，探究一，探究二，探究三，素养形成，当堂检测，答案A，答案B等内容，欢迎下载使用。
费马(1601—1665)是一位17世纪的法国律师,也是一位业余数学家.之所以称费马为“业余数学家之王”,是由于他具有律师的全职工作.17世纪是杰出数学家活跃的世纪,而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就,是17世纪数学家中最多产的明星.他将无穷小的思想运用到求积问题上,已具今日微积分的雏形,这也是费马的卓越成就之一.他在牛顿出生前的13年,提出了有关微积分的主体概念.大约在1637年,他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧.
一、函数在闭区间上的最值一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.名师点析1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)= 在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数
3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.
微思考在开区间或无穷区间上,最值与极值的联系有哪些?提示:当连续函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个导数为零的点时,若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值),这里(a,b)也可以换成无穷区间.
微练习设在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内可导,有以下三个命题:①若f(x)在[a,b]上有最大值,则这个最大值必是[a,b]上的极大值;②若f(x)在[a,b]上有最小值,则这个最小值必是[a,b]上的极小值;③若f(x)在[a,b]上有最值,则最值必在x=a或 x=b处取得.其中真命题共有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:由于函数的最值可能在区间[a,b]的端点处取得,也可能在区间[a,b]内取得,而当最值在区间端点处取得时,其最值必不是极值,因此命题①②③都不是真命题.答案:A
二、函数在闭区间[a,b]上最值的求法一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:1.求函数y=f(x)在(a,b)上的极值;2.将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.名师点析如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
微练习函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值的和是 . 答案:-10
三、生活中的优化问题在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.名师点析解决优化问题的一般步骤(1)认真阅读理解关于实际问题的材料.一般地,实际问题的材料都非常多,信息量较大,涉及的量也比较多,因此需要仔细地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质.(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.(4)根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题.
微思考在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?提示:根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.
微练习已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
解析:∵y=- x3+81x-234,∴y'=-x2+81(x>0).令y'<0,得x>9;令y'>0得0
分析:求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最值.
解:(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
反思感悟求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法1.求函数f(x)的导函数f'(x);2.解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;3.计算函数f(x)在区间[a,b]内使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;4.比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.
角度2 求函数在开区间或无穷区间上的最值例2求下列函数的最值:
分析:没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最值.
(2)函数的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3
与最值有关的参数问题角度1 求含参数函数的最值例3a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
解:f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a≤0,则f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,所以当x=0时,有最大值f(0)=0.
反思感悟求解函数在区间上的最值,需注意以下几点(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.注意由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.(3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最值.
变式训练3已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
角度2 与函数最值和参数有关的综合问题例4设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)利用配方法,即可求出二次函数f(x)的最小值h(t);(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围.
解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴当x=-t时,f(x)取最小值,即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在(0,2)内有极大值g(1)=1-m.h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,即等价于1-m<0.∴m的取值范围为(1,+∞).
反思感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
延伸探究1若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?
解:令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)=-3-m,存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立,等价于g(t)的最小值g(2)<0.∴-3-m<0,∴m>-3,所以实数m的取值范围为(-3,+∞).
延伸探究2若将本例(2)的条件改为“对任意的t1,t2∈[0,2],都有h(t1)<-2t2+m”,求实数m的取值范围.
生活中常见的几种优化问题角度1 利润(收益)最大问题例5(2019河北高二期中)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3
=2+10(x-3)(x-6)2(3
反思感悟利润最大问题的求解策略利用导数解决利润(收益)最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润(收益)的函数解析式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润(收益).常见的基本等量关系如下:(1)利润(收益)=收入-成本;(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.解此类问题需注意两点:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利.
(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;(2)若该商品的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获利润f(x)最大.
解:(1)由题意,当x=2时,y=800,∴a+b=800.又∵x=3时,y=150,∴b=300,可得a=500.
∴x=5.3时有最大值1 840.∵1 800<1 840,∴当x=5.3时,f(x)有最大值1 840,即当销售价格为5.3元时,商场所获利润最大.
角度2 用料最省、成本(费用)最低问题例6(2019普陀区高三期中)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.
分析:(1)由C(0)=8可求k的值从而求出f(x)的表达式.(2)用导数方法研究f(x)的最小值.
反思感悟费用最省问题的求解策略(1)用料最省、造价最低问题是日常生活中常见的问题之一,此类问题的求解思路是明确自变量的意义及最值问题所研究的对象,找到变量之间的关系,借助关系建立函数关系式,然后借助导数予以求解.(2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.
变式训练4甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.
令Q'=0,则v=0(舍去)或v=80,当00,∴当v=80千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且
角度3 面积、体积的最值问题例7请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
分析:用变量x表示出包装盒的底边长和高,再求侧面积与容积的最大值.
反思感悟面积与体积最值问题的求解策略求面积与体积的最值问题是实际生产生活中的常见问题,解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式,能够依据题意确定出自变量的取值范围,建立准确的函数关系式,然后利用导数的方法加以解决,必要时,可选择建立坐标系,通过点的坐标建立函数关系式或曲线方程.
变式训练5有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?
解:设截下的小正方形边长为x,容器容积为V(x),则做成的长方体形无盖容器底面边长为a-2x,高为x,
V'(x)=12x2-8ax+a2.令V'(x)=0,得12x2-8ax+a2=0,
分类讨论思想在求函数最值中的应用
(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)求函数f(x)在区间[a,2a]上的最小值.
分析:(1)可利用导数通过解不等式求得单调区间;(2)中因为函数的最值只能在极值点和端点处取得,因此需比较极值点和端点处的函数值的大小,最后再将讨论的情况进行合并整理.
方法点睛1.解答含参数的问题,往往需要对参数进行分类讨论进行求解.2.本题因极值点e与所给闭区间的两个端点的大小不确定,从而展开讨论,要做到不重不漏.3.分类讨论时,若在所讨论的范围内,问题无法解决,还需要针对参数展开第二层讨论.4.针对参数的所有情况讨论完成后,应将结论进行整合.
变式训练已知函数f(x)=ax-ln x,是否存在实数a,使得函数在(0,e]上的最小值等于2?若存在,求出实数a的值;若不存在,说明理由.
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在(0,e]上单调递减.所以f(x)在(0,e]上的最小值为f(e)=ae-1,
1.若函数f(x)=-x4+2x2+3,则f(x)( )A.最大值为4,最小值为-4B.最大值为4,无最小值C.最小值为-4,无最大值D.既无最大值,也无最小值解析:f'(x)=-4x3+4x.由f'(x)=0得x=±1或x=0,易知f(-1)=f(1)=4为极大值也是最大值,故选B.答案:B
3.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x h,原油温度(单位:℃)为f(x)= x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 ℃/h.
解析:原油温度的瞬时变化率为f'(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.答案:-1
4.设函数f(x)=x3- -2x+5,若对任意x∈[-1,2],有f(x)>m恒成立,则实数m的取值范围是 .
费马(1601—1665)是一位17世纪的法国律师,也是一位业余数学家.之所以称费马为“业余数学家之王”,是由于他具有律师的全职工作.17世纪是杰出数学家活跃的世纪,而费马比他同时代的大多数专业数学家更有成就,是17世纪数学家中最多产的明星.他将无穷小的思想运用到求积问题上,已具今日微积分的雏形,这也是费马的卓越成就之一.他在牛顿出生前的13年,提出了有关微积分的主体概念.大约在1637年,他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大(小)值问题吧.
一、函数在闭区间上的最值一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.名师点析1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)= 在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数
3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.
微思考在开区间或无穷区间上,最值与极值的联系有哪些?提示:当连续函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个导数为零的点时,若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值),这里(a,b)也可以换成无穷区间.
微练习设在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内可导,有以下三个命题:①若f(x)在[a,b]上有最大值,则这个最大值必是[a,b]上的极大值;②若f(x)在[a,b]上有最小值,则这个最小值必是[a,b]上的极小值;③若f(x)在[a,b]上有最值,则最值必在x=a或 x=b处取得.其中真命题共有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:由于函数的最值可能在区间[a,b]的端点处取得,也可能在区间[a,b]内取得,而当最值在区间端点处取得时,其最值必不是极值,因此命题①②③都不是真命题.答案:A
二、函数在闭区间[a,b]上最值的求法一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:1.求函数y=f(x)在(a,b)上的极值;2.将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.名师点析如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
微练习函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值的和是 . 答案:-10
三、生活中的优化问题在实际生产生活中,求利润最大、用料最省、效率最高等问题,通常称为优化问题.名师点析解决优化问题的一般步骤(1)认真阅读理解关于实际问题的材料.一般地,实际问题的材料都非常多,信息量较大,涉及的量也比较多,因此需要仔细地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质.(2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式.(3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.(4)根据数学问题的答案去回答实际问题中的优化问题.
微思考在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗?提示:根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数.
微练习已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
解析:∵y=- x3+81x-234,∴y'=-x2+81(x>0).令y'<0,得x>9;令y'>0得0
分析:求函数的导数,得到函数的极值点,先求出极值,再结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最值.
解:(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
反思感悟求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法1.求函数f(x)的导函数f'(x);2.解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;3.计算函数f(x)在区间[a,b]内使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;4.比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.
角度2 求函数在开区间或无穷区间上的最值例2求下列函数的最值:
分析:没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最值.
(2)函数的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3
与最值有关的参数问题角度1 求含参数函数的最值例3a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
解:f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a≤0,则f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,所以当x=0时,有最大值f(0)=0.
反思感悟求解函数在区间上的最值,需注意以下几点(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.注意由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.(3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最值.
变式训练3已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
角度2 与函数最值和参数有关的综合问题例4设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)利用配方法,即可求出二次函数f(x)的最小值h(t);(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围.
解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴当x=-t时,f(x)取最小值,即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在(0,2)内有极大值g(1)=1-m.h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,即等价于1-m<0.∴m的取值范围为(1,+∞).
反思感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
延伸探究1若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?
解:令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)=-3-m,存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立,等价于g(t)的最小值g(2)<0.∴-3-m<0,∴m>-3,所以实数m的取值范围为(-3,+∞).
延伸探究2若将本例(2)的条件改为“对任意的t1,t2∈[0,2],都有h(t1)<-2t2+m”,求实数m的取值范围.
生活中常见的几种优化问题角度1 利润(收益)最大问题例5(2019河北高二期中)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3
=2+10(x-3)(x-6)2(3
反思感悟利润最大问题的求解策略利用导数解决利润(收益)最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润(收益)的函数解析式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润(收益).常见的基本等量关系如下:(1)利润(收益)=收入-成本;(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.解此类问题需注意两点:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利.
(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;(2)若该商品的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获利润f(x)最大.
解:(1)由题意,当x=2时,y=800,∴a+b=800.又∵x=3时,y=150,∴b=300,可得a=500.
∴x=5.3时有最大值1 840.∵1 800<1 840,∴当x=5.3时,f(x)有最大值1 840,即当销售价格为5.3元时,商场所获利润最大.
角度2 用料最省、成本(费用)最低问题例6(2019普陀区高三期中)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.
分析:(1)由C(0)=8可求k的值从而求出f(x)的表达式.(2)用导数方法研究f(x)的最小值.
反思感悟费用最省问题的求解策略(1)用料最省、造价最低问题是日常生活中常见的问题之一,此类问题的求解思路是明确自变量的意义及最值问题所研究的对象,找到变量之间的关系,借助关系建立函数关系式,然后借助导数予以求解.(2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.
变式训练4甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.
令Q'=0,则v=0(舍去)或v=80,当0
角度3 面积、体积的最值问题例7请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
分析:用变量x表示出包装盒的底边长和高,再求侧面积与容积的最大值.
反思感悟面积与体积最值问题的求解策略求面积与体积的最值问题是实际生产生活中的常见问题,解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式,能够依据题意确定出自变量的取值范围,建立准确的函数关系式,然后利用导数的方法加以解决,必要时,可选择建立坐标系,通过点的坐标建立函数关系式或曲线方程.
变式训练5有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?
解:设截下的小正方形边长为x,容器容积为V(x),则做成的长方体形无盖容器底面边长为a-2x,高为x,
V'(x)=12x2-8ax+a2.令V'(x)=0,得12x2-8ax+a2=0,
分类讨论思想在求函数最值中的应用
(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)求函数f(x)在区间[a,2a]上的最小值.
分析:(1)可利用导数通过解不等式求得单调区间;(2)中因为函数的最值只能在极值点和端点处取得,因此需比较极值点和端点处的函数值的大小,最后再将讨论的情况进行合并整理.
方法点睛1.解答含参数的问题,往往需要对参数进行分类讨论进行求解.2.本题因极值点e与所给闭区间的两个端点的大小不确定,从而展开讨论,要做到不重不漏.3.分类讨论时,若在所讨论的范围内,问题无法解决,还需要针对参数展开第二层讨论.4.针对参数的所有情况讨论完成后,应将结论进行整合.
变式训练已知函数f(x)=ax-ln x,是否存在实数a,使得函数在(0,e]上的最小值等于2?若存在,求出实数a的值;若不存在,说明理由.
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在(0,e]上单调递减.所以f(x)在(0,e]上的最小值为f(e)=ae-1,
1.若函数f(x)=-x4+2x2+3,则f(x)( )A.最大值为4,最小值为-4B.最大值为4,无最小值C.最小值为-4,无最大值D.既无最大值,也无最小值解析:f'(x)=-4x3+4x.由f'(x)=0得x=±1或x=0,易知f(-1)=f(1)=4为极大值也是最大值,故选B.答案:B
3.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x h,原油温度(单位:℃)为f(x)= x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 ℃/h.
解析:原油温度的瞬时变化率为f'(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.答案:-1
4.设函数f(x)=x3- -2x+5,若对任意x∈[-1,2],有f(x)>m恒成立,则实数m的取值范围是 .
相关课件
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用授课课件ppt： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用授课课件ppt，共13页。PPT课件主要包含了学习目标，复习回顾，典例解析，方法归纳，课本P97，巩固练习等内容，欢迎下载使用。
人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用课堂教学课件ppt： 这是一份人教A版 (2019)第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用课堂教学课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了学习目标，单调性与导数的关系，复习回顾，新课导入，新知探究，f′a0，f′b0，概念生成，极值点与极值的定义，跟踪练习等内容，欢迎下载使用。
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课文配套ppt课件： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课文配套ppt课件，共20页。PPT课件主要包含了学习目标，单元结构，函数的单调性，函数的极值，函数的最大小值，复习回顾，新课导入，新知探究，怎么找到的呢，典例分析等内容，欢迎下载使用。
