专题2.2 函数的单调性与最值-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

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【考纲要求】
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义
【命题趋势】
函数的单调性和最值是高考中的热点问题，考查内容经常是利用单调性求最值或者求参数的取值范围
【核心素养】
本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养
【素养清单•基础知识】
1．增函数、减函数
定义：设函数f(x)的定义域为I：
(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1b，则（ ）
A．ln(a−b)>0 B．3a0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，但，则A错，排除A；
由，知B错，排除B；
取，满足，但，则D错，排除D；
因为幂函数是增函数，，所以，即a3−b3>0，C正确.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
4．【2021年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足，
令，
则
从而.
故选A.
【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.
5．【2021年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）

【答案】D
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.
综上，选D.
【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
6．【2021年高考全国Ⅱ卷理数】2021年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
因为，
所以，
即，
解得，
所以
故选D.
【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形易出错．
7．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
【答案】B
【解析】 由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B．
8．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
【答案】C
【解析】 当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，则a＝2；当a