专题5.1 数列的概念与简单表示法-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

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第五篇 数列及其应用
专题5.1 数列的概念与简单表示法
【考纲要求】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
【命题趋势】
数列的概念和简单表示法在高考中主要考查利用an和Sn的关系求通项an，或者利用递推数列构造等差或等比数列求通项an.
【核心素养】
本讲内容主要考查逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
2．数列的分类
(1)按照项数有限和无限分：
(2)按单调性来分：
3．数列的两种常用的表示方法
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
注意：1、并不是所有的数列都有通项公式；2、同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

通项公式和递推公式的异同点

不同点
相同点
通项公式
可根据某项的序号n的值，直接代入求出an
都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项
递推公式
可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an
【素养清单•常用结论】
(1)若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
(2)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则

【真题体验】
1.【2021年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则（ ）
A． 当 B． 当
C． 当 D． 当
【答案】A
【解析】①当b=0时，取a=0，则.
②当时，令，即.
则该方程，即必存在，使得，
则一定存在，使得对任意成立，
解方程，得，
当时，即时，总存在，使得，
故C、D两项均不正确.
③当时，，
则，
.
（ⅰ）当时，，
则，
，
，
则，
，
故A项正确.
（ⅱ）当时，令，则，
所以，以此类推，
所以，
故B项不正确.
故本题正确答案为A.
【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.
2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
【答案】D　
【解析】 令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．故选D.
3．数列{an}中，a1＝1，当n≥2且n∈N*时，an＝，则a3＋a5＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D　
【解析】 因为an＝(n≥2)，所以a3＝，a5＝，所以a3＋a5＝＋＝＋＝.
4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝__________.
【答案】
【解析】 由题意知a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是__________．
【答案】 an＝
【解析】 当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.
故an＝

【考法拓展•题型解码】
考法一　　由数列的前几项求数列的通项公式
归纳总结：由数列的前几项求通项公式的思路方法
(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．
(3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
【例1】 写出下面各数列的一个通项公式．
(1)3，5，7，9，…；
(2)，，，，，…；
(3)－1，，－，，－，，…；
(4)3，33，333，3 333，….
【答案】见解析
【解析】 (1)各项式减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an＝.
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，5，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·.也可写为an＝
(4)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1，102－1，103－1，104－1，…，所以an＝(10n－1)．
考法二　　由递推关系求通项公式
解题技巧：由递推关系式求通项公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
(5)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得
an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．
【例2】 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；
(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
【答案】见解析
【解析】 (1)因为an＝an－1(n≥2)，所以an－1＝an－2，…，a2＝a1，由以上(n－1)个式子得an＝×××…×××a1＝＝.又a1＝1满足上式，所以an＝.
(2)因为an＋1－an＝3n＋2，所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－1)＋(3n－4)＋(3n－7)＋…＋5＋2＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合上式，所以an＝n2＋.
(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.
所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，首项为a1＋1＝2，
所以an＋1＝2×3n－1，所以an＝2×3n－1－1.
考法三　　an与Sn的关系及其应用
归纳总结
(1)Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化：一是利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；二是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
(2)已知Sn求an的三个步骤
①先利用a1＝S1求出a1；
②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
【例3】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)
A．2n－1 B.n－1
C.n－1 D.
【答案】B
【解析】由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，所以Sn＝n－1.故选B.

(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．
①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b.
【答案】见解析
【解析】①当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.
由于a1也适合此等式，所以an＝4n－5.
②a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．
所以当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝
考法四　　数列的性质
解题技巧：数列的单调性和周期性的应用
(1)解决数列单调性问题的三种方法
①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；
②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断；
③结合相应函数的图象直观判断．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
【例4】 (1)数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}中的最大项是(　　)
A．3 B．19
C. D.
【答案】C
【解析】令f(x)＝x＋(x＞0)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时，等号成立．因为an＝，所以≤，由于n∈N*，故当n＝9或n＝10时，an＝最大．
(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 022项的乘积
a1·a2·a3·…·a2 022＝__________.
【答案】-6
【解析】)由题意可得a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，所以数列{an}是以4为周期的数列，而2 022＝4×505＋2，且a1a2a3a4＝2×(－3)××
＝1.故该数列前2 022项的乘积为a1a2＝－6.
【易错警示】
易错点　忽视数列是特殊的函数
【典例】 已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)n(n∈N*)，试问该数列有没有最大项？
【错解】：an＋1－an＝n＋1(n＋2)－n(n＋1)＝n·＝n·，
所以当n＜9时，an＋1＞an；当n＞9时，an＋1＜an，所以n＝9，即{an}有最大项为a9.
【错因分析】：本题利用作差法比较an＋1与an的大小，其方法可行，但在讨论最大项时忽视了数列是特殊的函数这一特点，导致判断单调性出现错误．
【正解】：an＋1－an＝n·，
所以n≤8时，an＋1－an＞0；n＝9时，a10＝a9；n≥10时，an＋1－an＜0.故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，
所以{an}有最大项为a9和a10.
【跟踪训练】 已知数列{an}中，an＝n2＋λn，且{an}为递增数列，求实数λ的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 方法一　因为an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋λ＋1，所以由{an}为递增数列可得2n＋λ＋1＞0，即λ＞－2n－1对一切n∈N*恒成立．因为n＝1时，－2n－1取得最大值－3，所以λ＞－3，即λ∈(－3，＋∞)．
方法二　函数f(n)＝n2＋λn的图象的对称轴是n＝－，如图，只需有－＜，则λ＞－3，即λ∈(－3，＋∞)．


【递进题组】
1．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝.其中能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
【答案】A　
【解析】 检验知①②③都是所给数列的通项公式．
2．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝__________.
【答案】 n(n∈N*)
【解析】 因为an＝an－1(n≥2)，
所以an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝2a1.
以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝na1＝n.
当n＝1时，a1＝1，上式也成立．所以an＝n(n∈N*)．
3．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝__________.
【答案】
【解析】 当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1.
当n＝1时，a1不满足上式，故an＝
4．设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.
【答案】 －(n∈N*)
【解析】 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
因为Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.
又＝－1，所以是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－.
5．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 023＝__________.
【答案】 m
【解析】 因为an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n，所以a3＝n－m，a4＝－m，a5＝－n，a6＝m－n，a7＝m，a8＝n，…，所以an＋6＝an(n∈N*)．
则S2 023＝S337×6＋1＝337×(a1＋a2＋…＋a6)＋a1＝337×0＋m＝m.
【考卷送检】
一、选择题
1．已知数列{an}的通项公式an＝2n－4，n∈N*，若它的第k项满足2