专题5.3 等比数列及其前n项和-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

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【考纲要求】
1.理解等比数列的概念．
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
4.了解等比数列与指数函数的关系.
【命题趋势】
1.利用公式求等比数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明数列为等比数列．
2.利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n项和.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q.
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
eq \a\vs4\al(只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个.)
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比数列与指数型函数的关系
当q>0且q≠1时，an＝eq \f(a1,q)·qn可以看成函数y＝cqx，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上；
对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝－eq \f(a1,1－q)qn＋eq \f(a1,1－q)，若设a＝eq \f(a1,1－q)，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点．
对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点．
【素养清单•常用结论】
设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝aeq \\al(2,s)，其中m，n，p，q，s，r∈N*.
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(4)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(pan,qbn)))也是等比数列．
(5)若数列{an}的项数为2n，则eq \f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q.
【真题体验】
1.【2021年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16 B．8
C．4 D．2
2.【2021年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=___________．
3.【2018年高考浙江卷】已知成等比数列，且．若，则（ ）
A．B．
C．D．
4.【2017年高考全国II卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
5．【2017年高考全国III卷理数】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）
A． B．
C．3 D．8
6.【2018年高考全国I卷理数】记为数列的前项和，若，则___________．
【考法拓展•题型解码】
考法一 等比数列基本量的求解
归纳总结：解决等比数列有关问题的常用思想方法
(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求出关键量a1和q，问题便可迎刃而解．
(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，将q分为q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
【例1】 (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
考法二 等比数列的性质及应用
归纳总结
(1)等比数列性质的应用可以分为三类：通项公式的变形、等比中项的变形、前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
【例2】 (1)已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1
C. eq \f(1,2) D. eq \f(1,8)
(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝( )
A. eq \f(1,8) B．－eq \f(1,8)
C. eq \f(57,8) D. eq \f(55,8)
(3)已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．－9
考法三 等比数列的判定与证明
解题技巧:等比数列的四种常用判定方法
(1)定义法：若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
【例3】 (2018·全国卷Ⅰ改编)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝eq \f(an,n).
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{bn}的前10项和S10.
【易错警示】
易错点 忽视等比数列的一些基本条件
【典例】 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n＝1,2,3，…)，求q的取值范围．
【错解】：因为a1＝S1＞0，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＞0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－q＞0，,1－qn＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－q＜0，,1－qn＜0，))所以－1＜q＜1或q＞1，故所求q的取值范围为(－1,1)∪(1，＋∞)．
【错因分析】本题中出现两个基本错误：一是q≠0这一隐含条件被忽视，二是对于前n项和没有分q＝1和q≠1两种情况进行讨论，故而解答出现错误．
【正解】：因为数列{an}为等比数列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＞0，即eq \f(1－qn,1－q)＞0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－q＞0，,1－qn＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－q＜0，,1－qn＜0，))所以－1＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．
【误区防范】：等比数列中的三个易误点
(1)特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．
(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
【跟踪训练】 等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝( )
A．2n＋1－2 B．3n
C．2n D．3n－1
【递进题组】
1．在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则eq \f(a2a16,a9)＝( )
A．－eq \f(2＋\r(2),2) B．－eq \r(2)
C.eq \r(2) D．－eq \r(2)或eq \r(2)
2．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝( )
A．40 B．60
C．32 D．50
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
4．(2021·西安一中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝eq \f(Sn＋n,2)(n∈N*)．
(1)若数列{an＋t}是等比数列，求t的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
【考卷送检】
一、选择题
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
2．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例．为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于eq \r(12,2).若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )
A.eq \r(3,2)f B.eq \r(3,22)f
C.eq \r(12,25)f D.eq \r(12,27)f
3．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是( )
A．－2 B．－eq \r(2)
C．±eq \r(2) D.eq \r(2)
4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝eq \f(5,2)，a2＋a4＝eq \f(5,4)，则eq \f(Sn,an)＝( )
A．4n－1 B．4n－1
C．2n－1 D．2n－1
5．(2021·潍坊重点高中联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(S6,S3)＝3，则eq \f(S9,S6)＝( )
A．2 B.eq \f(7,3)
C. eq \f(8,3) D．3
6．(2021·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－aeq \\al(2,7)＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2·b8·b11＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
二、填空题
7．等比数列的各项均为正数，且a1a5＝4，则lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＋lg2a4＋lg2a5＝________.
8．(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝eq \f(7,4)，S6＝eq \f(63,4)，则a8＝________.
9．(2021·杭州期中)设数列{an}满足a1＝eq \f(2,3)，且对任意的n∈N*，满足an＋2－an≤2n，an＋4－an≥5×2n，则a2 017＝________.
三、解答题
10．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
11．(2021·河南实验中学质检)数列{bn}满足bn＋1＝2bn＋2，bn＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝4.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
12．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(eq \r(an)，eq \r(an＋1))在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－eq \f(1,2)x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
13．(2021·焦作一中月考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝eq \r(|x|)；④f(x)＝ln |x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为________．