专题5.4 数列求和-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

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【考纲要求】
1. 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.
【命题趋势】
利用公式求数列的前n项和，利用常见求和模型求数列的前n项和.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．公式法与分组法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
①等差数列的前n项和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d .
②等比数列的前n项和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝ na1＋\f(nn－1,2)d ，q≠1.))
(2)分组法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组法分别求和后相加减．
2．倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项的和，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
(2)并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)常见的裂项技巧
①eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)；
②eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))；
③eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；
④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的
【真题体验】
1．数列{an}的通项公式是an＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，前n项和为9，则n＝( )
A．9 B．99
C．10 D．100
2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
3．已知正项数列{an}满足aeq \\al(2,n＋1)－6aeq \\al(2,n)＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝__________.
【考法拓展•题型解码】
考法一 分组法求和
归纳总结：分组法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比或等差数列，可采用分组法求和．
【例1】 已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求数列{bn}的前n项和Sn.
考法二 错位相减法求和
归纳总结
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．同时要注意等比数列的项数是多少．
【例2】 已知等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a2＋a3＝24，Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an·lg3(Sn＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
考法三 裂项相消法求和
归纳总结
常见的裂项方法
【例3】 (2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)·an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n＋1)))的前n项和．
【规范答题】
关键点 数列求和的综合问题
【典例】 已知数列{an}的各项均为正数，且aeq \\al(2,n)－2nan－(2n＋1)＝0，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.
规范解答：(1)由aeq \\al(2,n)－2nan－(2n＋1)＝0得[an－(2n＋1)]·(an＋1)＝0，所以an＝2n＋1或an＝－1，又数列{an}的各项均为正数，负值应舍去，所以an＝2n＋1，n∈N*.
(2)因为bn＝2n·an＝2n·(2n＋1)，
所以Tn＝2×3＋22×5＋23×7＋…＋2n×(2n＋1)，①
2Tn＝22×3＋23×5＋…＋2n×(2n－1)＋2n＋1×(2n＋1)，②
由①－②得－Tn＝6＋2×(22＋23＋…＋2n)－2n＋1×(2n＋1)＝6＋2×eq \f(221－2n－1,1－2)－2n＋1×(2n＋1)＝－2＋2n＋1(1－2n)．
所以Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2.
答题模板：解决数列通项与求和问题的模板
第一步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项．
第二步：根据和的表达式或通项的特征，选择适当的方法求和．
第三步：明确规范地表述结论．
【跟踪训练】 已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝eq \f(an,2an＋1).
(1)证明数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝eq \f(1,2n·an)，求数列{bn}的前n项和Sn.
【递进题组】
1．在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为( )
A．990 B．1 000
C．1 100 D．99
2．Sn＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,8)＋…＋eq \f(n,2n)＝( )
A.eq \f(2n－n,2n) B.eq \f(2n＋1－n－2,2n)
C.eq \f(2n－n＋1,2n＋1) D.eq \f(2n＋1－n＋2,2n)
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,anan＋1)))的前9项和为__________．
4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1·an＝an－an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝lgeq \f(an＋2,an)，求数列{bn}的前n项和Sn.
5．(2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*)．
【考卷送检】
一、选择题
1．(2021·张掖月考)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))))的前2 019项的和为( )
A.eq \r(2 020)＋1 B.eq \r(2 020)－1
C.eq \r(2 019)＋1 D.eq \r(2 019)－1
2．数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋a1＋n，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a2 021)＝( )
A.eq \f(2 020,2 021) B.eq \f(4 040,2 021)
C.eq \f(2 021,2 022) D.eq \f(2 021,1 011)
3．(2021·西安一中月考)在公差大于0的等差数列{an}中，2a7－a13＝1，且a1，a3－1，a6＋5成等比数列，则数列(－1)n－1an的前21项和为( )
A．21 B．－21
C．441 D．－441
4．(2021·信阳一中期中)已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))n，则其前20项和为( )
A．380－eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,519))) B．400－eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,520)))
C．420－eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,520))) D．440－eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,520)))
5．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是( )
A．2n＋1＋n－2 B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2 D．2n＋1－n－2
6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则S2 020＝( )
A．22 020－1 B．3×21 010－3
C．3×21 010－1 D．3×22 020－2
二、填空题
7．在数列{an}中，an＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(2,n＋1)＋…＋eq \f(n,n＋1)，又bn＝eq \f(2,anan＋1)，则数列{bn}的前n项和为________．
8．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
9．若数列{an}是正项数列，且eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an)＝n2＋3n(n∈N*)，则eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,3)＋…＋eq \f(an,n＋1)＝________.
三、解答题
10．(2021·泰安一模)设数列{an}的前n项的和Sn＝eq \f(4,3)an－eq \f(1,3)×2n＋1＋eq \f(2,3)(n＝1,2，…)．
(1)求首项a1与通项an；
(2)设Tn＝eq \f(2n,Sn)(n＝1,2，…)，证明：eq \i\su(i＝1,n,T)i＜eq \f(3,2).
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2S2＋4，a5＝36.
(1)求an，Sn；
(2)设bn＝Sn－1(n∈N*)，Tn＝eq \f(1,b1)＋eq \f(1,b2)＋eq \f(1,b3)＋…＋eq \f(1,bn)，求Tn.
12．(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(bn,an)))的前n项和Tn.
13．(2021·巴蜀中学月考)数列{an}不是常数列，满足a1＝eq \f(1,4)，a5＝eq \f(1,8)，且a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1对任何的正整数n都成立，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a50)的值为( )
A．1 475 B．1 425
C．1 325 D．1 275
数列(n∈N*)
裂项方法(n∈N*)
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋k)))
(k为非零常数)
eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1n＋2)))
eq \f(1,nn＋1n＋2)＝
eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2)))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))))
eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(lga\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))))
其中a＞0，且a≠1
lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))＝lga(n＋1)－lgan
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2n,2n－12n＋1－1)))
eq \f(2n,2n－12n＋1－1)＝eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n＋1－1)