专题9.5 几何概型概率-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

这是一份专题9.5 几何概型概率-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘，文件包含专题95几何概型概率解析版doc、专题95几何概型概率原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
【考纲要求】
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2.了解几何概型的意义
【命题趋势】
几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件区域的长度、角度、面积、体积有关的实际问题，注重考查数形结合思想和逻辑思维能力
【核心素养】
本讲内容突出对数学建模，数学运算的考查.
【素养清单•基础知识】
几何概型
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等.
(3)计算公式：
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).
几何概型应用中的关注点
1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.
2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.
【真题体验】
1．在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数a，则这个实数满足17＜a＜20的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,10) D.eq \f(7,10)
【答案】C
【解析】 因为a∈(15,25]，所以P(17＜a＜20)＝eq \f(20－17,25－15)＝eq \f(3,10).
2．有一杯2 L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中取0.1 L水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( )
A．0.01 B．0.02
C．0.05 D．0.1
【答案】C
【解析】因为取水是随机的，而细菌在2 L水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P＝eq \f(0.1,2)＝0.05.
3．已知x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2＜0的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,8)
C.eq \f(5,8) D．0
【答案】B
【解析】 x2＋x－2＜0⇒－2＜x＜1，则P＝eq \f(1－－2,4－－4)＝eq \f(3,8).
4．某路公共汽车每5 min发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过3 min的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
【答案】A
【解析】 此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点，求点落入[2,5]内的概率．设A＝{某乘客候车时间不超过3 min}．
则P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度,试验的全部结果构成的区域长度)＝eq \f(3,5).
【考法拓展•题型解码】
考法一 与长度、角度有关的几何概型
归纳总结
(1)设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，点落在线段l上的概率P＝eq \f(l的长度,L的长度).
(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．
【例1】 (1)(2017·江苏卷)记函数f(x)＝eq \r(6＋x－x2)的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是__________．
(2)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
【答案】 (1)eq \f(5,9) (2)B
【解析】 (1)由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为eq \f(3－（－2）,5－（－4）)＝eq \f(5,9).
(2)由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为eq \f(1,2).
考法二 与面积有关的几何概型
归纳总结
与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合．
【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(π,8)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(π,4)
【答案】 (1)A (2)B
【解析】 (1)设△ABC的三边BC，AC，AB的长分别为a，b，c，
则a2＝b2＋c2.则区域Ⅰ的面积SⅠ＝eq \f(1,2)bc，
区域Ⅱ的面积SⅡ＝eq \f(1,2)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))2＋eq \f(1,2)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))2＋eq \f(1,2)bc－eq \f(1,2)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2＝eq \f(1,8)π(b2＋c2－a2)＋eq \f(1,2)bc＝eq \f(1,2)bc，
区域Ⅲ的面积SⅢ＝eq \f(1,2)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2－eq \f(1,2)bc＝eq \f(πa2,8)－eq \f(1,2)bc.
由几何概型的概率公式可知p1＝p2，故选A.
(2)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为eq \f(π,2)，故此点取自黑色部分的概率为eq \f(\f(π,2), 4 )＝eq \f(π,8)，故选B.
考法三 与体积有关的几何概型
归纳总结
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
【例3】 (1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为__________．
(2)在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于eq \f(V,3)的概率是__________．
【答案】 (1)1－eq \f(π,12) (2)eq \f(2,3)
【解析】(1)正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为eq \f(1,2)×eq \f(4,3)πr3＝eq \f(1,2)×eq \f(4π,3)×13＝eq \f(2π,3)，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－eq \f(\f(2π,3), 8 )＝1－eq \f(π,12).
(2)由题意知eq \f(VS－APC,VS－ABC)＞eq \f(1,3)，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于点M，BN⊥AC于点N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所以eq \f(VS－APC,VS－ABC)＝eq \f(S△APC,S△ABC)＝eq \f(PM,BN)>eq \f(1,3)，又eq \f(PM,BN)＝eq \f(AP,AB)，所以eq \f(AP,AB)＞eq \f(1,3)，故所求的概率为eq \f(2,3)(即为长度之比)．
【易错警示】
易错点 几何度量错误
【典例】 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.则AM