专题12.1 绝对值不等式-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘

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【考纲要求】
1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)).
(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－c))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c－b)).
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ax＋b))≤c，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ax＋b))≥c，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－b))≥c..
【命题趋势】
解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主.
【核心素养】
本讲内容突出对数学运算，数学抽象，逻辑推理的考查。
【素养清单•基础知识】
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． ↓
|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.
2．绝对值不等式的解法
(1)|x|a型不等式的解法
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
【真题体验】
1.【2021年高考全国Ⅱ卷理数】已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当a=1时，．
当时，；当时，．
所以，不等式的解集为．
（2）因为，所以．
当，时，．
所以，的取值范围是．
【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型
2.【2021年高考江苏卷数学】设，解不等式．
【答案】．
【解析】当x2，解得x>1．
综上，原不等式的解集为．
【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．
3.(2018·福州质检)设函数f(x)＝|x－1|，x∈R.
(1)求不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集；
(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集为M，若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))⊆M，求实数a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)因为f(x)≤3－f(x－1)，
所以|x－1|≤3－|x－2|⇔|x－1|＋|x－2|≤3⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，,2x－3≤3，))解得0≤x0可化为|x－2|＋x>|x＋1|，
当x－(x＋1)，解得x>－3，即－33，即x>3，
综上所述，不等式f(x)＋x>0的解集为{x|－3