2022六安一中高二上学期期末数学试题含答案

六安一中2021～2022学年第一学期高二年级期末考试

数学试卷

时间：120分钟      满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小圈给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（    ）

A.  B. 13 C. 45 D. 117

2. 已知函数，则（    ）

A. 3 B.

C.  D.

3. 已知函数图象在点处的切线与直线垂直，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 函数的部分图像为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 若存在过点直线与曲线和曲线都相切，则实数a的值是（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

7. 已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知，若是函数的一个零点，则的值为(    )

A. 0 B.

C. 1 D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 公差为d的等差数列，其前n项和为，，下列说法正确的有（    ）

A  B.

C. 中最大 D.

10. 已知函数，则下列关于函数说法正确的是（    ）

A. 函数有一个极大值点

B. 函数有一个极小值点

C. 若当时，函数值域是，则

D. 当时，函数恰有6个不同的零点

11. 已知等比数列的前n项和为，且是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（    ）

A. 数列的通项公式为 B.

C.  D. 的取值范围是

12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（    ）

A. 函数有3个不动点

B. 函数至多有两个不动点

C. 若函数没有不动点，则方程无实根

D. 设函数(，e为自然对数的底数)，若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数在区间上的最小值为__________.

14. 已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________．

15. 设数列的前n项和为，若，且是等差数列．则的值为__________．

16. 中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为的峡谷拐入宽为的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点，的连线恰好经过拐角内侧顶点(点，，在同一水平面内)，设与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角为，则的长为______(用表示).要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知等差数列满足，前7项和为

（Ⅰ）求的通项公式

（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.

18. 已知函数.

（1）当时，求函数在时的最大值和最小值；

（2）若函数在区间存在极小值，求a的取值范围.

19. 己知数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前n项和为，求的值．

20. 已知函数，.

（1）若在单调递增，求的取值范围；

（2）若，求证：.

21 已知．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在上有1个零点，求实数a的取值范围．

22. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．

（1）求a的取值范围；

（2）设的两个极值点分别为，证明：．

1【答案】C

2【答案】B

3【答案】C

4【答案】D

5【答案】A

6【答案】D

7【答案】B

8【答案】A

9【答案】AC

10【答案】ACD

11【答案】BCD

12【答案】BCD

13【答案】

14【答案】  （9.5）

15【答案】52

16【答案】    ①.     ②.

17【答案】(1)

(2) .

解析：

（Ⅰ）由，得

因为所以

（Ⅱ）

18【答案】（1）最大值为9，最小值为；

（2）.

【小问1详解】

由题，时，，则，

令，得或1，则时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增.

∴在时取极大值，在时取极小值，又，，

综上，在区间上取得的最大值为9，最小值为.

【小问2详解】

，且，

当时，单调递增，函数没有极值；

当时，时，单调递增；时，单调递减；时，，单调递增.

∴在取得极大值，在取得极小值，则；

当时，时，单调递增；时，单调递减；时，，单调递增.

∴在取得极大值，在取得极小值，由得：.

综上，函数在区间存在极小值时a的取值范围是.

19【答案】（1）；

（2）.

【小问1详解】

依题意，，，则当时，，

于是得：，即，

而当时，，即有，因此，，，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，

所以数列的通项公式是.

【小问2详解】

由(1)知，，

从而有，

所以.

20（1）因为函数在上单调递增，

所以上恒成立，

则有上恒成立，即.

令函数，，

所以时，，在上单调递增，

所以，

所以有，即，因此.

（2）由（1）可知当时，为增函数，

不妨取，则有在上单调递增，

所以，即有在上恒成立，

令，则有，

所以，

所以，

因此.

21【小问1详解】

函数的定义域为R，求导得：

当时，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，

当时，令，得，

若，即时，，则有在R上单调递增，

若，即时，当或时，，当时，，

则有在，上都单调递增，在上单调递减，

若，即时，当或时，，当时，，

则有在，上都单调递增，在上单调递减，

所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，

当时，在，上都单调递增，在上单调递减，

当时，R上单调递增，

当时，在，上都单调递增，在上单调递减.

小问2详解】

依题意，，，当时，，

当时，，，则函数在上单调递增，有，无零点，

当时，，，函数在上单调递减，，无零点，

当时，，使得，而在上单调递增，当时，，当时，，

因此，在上单调递增，在上单调递减，又，

若，即时，无零点，

若，即时，有一个零点，

综上可知，当时，在有1个零点，

所以实数a的取值范围.

22【小问1详解】

函数的定义域为，求导得：，

依题意，函数在上有两个不同极值点，于是得有两个不等的正根，

令，，则，当时，，当时，，

于是得在上单调递增，在上单调递减，，

因，恒成立，即当时，的值从递减到0(不能取0)，又，

有两个不等的正根等价于直线与函数的图象有两个不同的公共点，如图，

因此有，

所以a的取值范围是.

【小问2详解】

由(1)知分别是方程的两个不等的正根，，

即，作差得，则有，

原不等式，

令，则，于是得，

设，则，

因此，在单调递增，则有，即成立，

所以.