大题好拿分期中考前必做30题（压轴版）-2021-2022学年高一数学下册期中考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

这是一份大题好拿分期中考前必做30题（压轴版）-2021-2022学年高一数学下册期中考试高分直通车（沪教版2020必修第二册），文件包含大题好拿分期中考前必做30题压轴版解析版docx、大题好拿分期中考前必做30题压轴版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
大题好拿分期中考前必做30题（压轴版）
1．（2021·上海高一单元测试）用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.
（1），求的长；
（2）在中，若是钝角，求证：；
（3）给定三个正实数，其中，问满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示.
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）先根据正弦定理得，再根据余弦定理求的长；
（2）先根据余弦定理得，再根据正弦定理放缩证明结果；
（3）先根据正弦定理讨论三角形解的个数，再根据余弦定理求.
【详解】（1） 由正弦定理得
所以（负舍）；
（2） 因为，是钝角，
所以
因此；
（3）当时, 不存在，
当时，不存在，
当时，存在一个，此时
当时，存在一个，
此时，
当时，存在两个，

当A为锐角时，


当A为钝角时，



【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.
2．（2021·浙江高一期末）已知函数.
（1）求证：是奇函数；
（2）若对任意，恒有，求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）计算化简，得出即可证明；
（2）根据奇函数得出，再根据单调性得出，进而得出恒成立，令，可得，利用单调性求出的最大值即可.
【详解】（1）证明：的定义城是R，又，
且，
所以，是奇函数.
（2）解：由，
得，
因为是奇函数，
所以，
即.
又因为在R上单调递增，
所以，
即，
所以，对任意，恒成立，
设，.
则.
因为函数在上单调递减，
所以，即，则，
所以，实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用函数是奇函数和单调递增得出恒成立，换元得出，再利用单调性求出最大值.
3．（2021·云南昆明一中高一期末）函数在上的最大值为.
（1）求常数的值；
（2）当时，求使不等式成立的的取值集合.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）本题首先可根据二倍角公式将函数解析式转化为，然后根据得出，再然后结合正弦函数性质得出当时函数在上取最大值，最后根据即可得出结果；
（2）本题首先可将不等式转化为，然后结合正弦函数性质得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】（1）

，
当时，，
结合正弦函数性质易知，
当，即时，函数在上取最大值，
因为函数在上的最大值为，
所以，解得，.
（2），即，，
结合正弦函数性质易知，
即，
解得，
故的取值集合为.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数最值求参数以及与三角函数相关的不等式问题的解法，考查正弦函数的性质的应用，考查应用二倍角公式进行转化，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
4．（2021·安徽六安市·六安一中高一期末）六安一中新校区有一块形状为平面四边形的土地准备种一些花圃，其中A，B为定点，（百米），（百米）.

（1）若，（百米），求平面四边形的面积；
（2）若（百米）.
（i）证明：；
（ii）若，面积依次为，，求的最大值.
【答案】（1）（平方百米）；（2）（i）证明见解析；（ii）最大值为（平方百米）.
【分析】（1）在中，由余弦定理可求得的长，再分别计算，的面积，即可求解；
（2）（i）在和中，分别利用余弦定理两式相减即可求证；
（ii）用三角形的面积公式将表示，
再将代入转化为关于的二次函数，利用三角函数的性质求出的范围，再结合二次函数的性质即可求最值.
【详解】
（1）令，在中，由余弦定理可得：
即，解得：或（舍）
在中，，，
所以，
在中，，，
所以边上的高为，
所以，
所以（平方百米）.
（2）在中，
在中
所以，
所以.
（ii）

所以

因为，
所以，可得
∴
所以时，，
即时取得最大值，且最大值为（平方百米）.
【点睛】关键点点睛：求用三角形的面积公式表示出来，结合已经证明的即可将面积平方和转化为关于只含一个变量的函数，利用二次函数的性质可求最值.
5．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.

（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值.
【答案】（1）①.②；（2）选择②时，函数取得最大值.
【分析】（1）①根据PN＝QM=x，结合半径为，圆心角为60°，分别求得，，进而得到MN求解；②根据∠POB＝θ，结合半径为，圆心角为60°，求得，再由，进而得到MN求解.
（2）选择②利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化，利用直线函数的性质求解.
【详解】（1）①因为PN＝QM=x，
所以，
而，
所以，
所以.
因为点P在扇形的弧上，
所以，
所以
②因为∠POB＝θ，
所以，
而，
所以，
所以.
因为点P在扇形的弧上，
所以，
所以.
（2）选择②，
，
，
因为，
所以，
当时，函数取得最大值.
【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
6．（2021·江苏省锡山高级中学高一期末）在①，②③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知， ，.
（1）求的值；
（2）求.
【答案】（1）（2）
【分析】选条件①由，根据同角基本关系可求sinα，cosα，由两角和的正弦公式求解，计算，求出；
选条件②由，求出sinα，cosα，同①即可求解；
选条件③由，结合余弦二倍角公式、同角基本关系可求sinα，cosα，以下同①．
【详解】选条件①：
因为，所以．
由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得或
因为，所以．
(1)
.
(2)因为，
所以由sin2（α-β）+cos2（α-β）＝1，解得．
因为，所以，所以，
所以
,
由，
.
选条件②：
因为，所以14sinαcosα＝，
因为，所以cosα≠0，所以．
由平方关系sin2α+cos2α＝1，解得．
因为，所以．
以下同①的解法．
选条件③：
因为，
所以．
由平方关系sin2α+cos2α＝1，得．
因为，所以．
以下同①的解法．
【点睛】关键点点睛：本题主要选择不同的条件，利用三角恒等变换及同角三角函数的基本关系，求出，然后利用角的变换，求出，结合求解，属于难题.
7．（2020·江阴市山观高级中学高一月考）从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设，五个正方形的面积和为.

（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；
（2）求面积最小值，并求出此时的值.
【答案】（1）；的取值范围为，；（2）；.
【分析】（1）由题意可知小正方形的边长为，
大正方形的边长为，
所以五个正方形的面积和为，
又，所以，
所以的取值范围为，，；
(2)其中，，所以，此时，所以，则，因为，解得，即可求出面积最小值
【详解】解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点，
所以小正方形的边长为，
大正方形的边长为.
所以五个正方形的面积和为，
.
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以，，，
所以的取值范围为，.
（2），
，
，
，其中，.
所以，此时.
因为，所以，
所以，
所以，
则，化简得：，
由此解得：，
因为，所以.
【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，以及三角恒等变换的应用，涉及降幂公式、二倍角正弦公式和正切公式，是中档题．
8．（2019·安徽省舒城中学高一月考）已知函数.
（1）若，恒成立，求的取值范围；
（2）若，是否存在实数，使得，都成立？请说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据的奇偶性和单调性，将函数值的比较变为自变量的比较，得到恒成立，利用参变分离，得到的取值范围；（2）假设存在，整理和，设，，
得到，按照和进行分类讨论，从而证明不存在所需的.
【详解】（1），为上的奇函数，单调递减，
所以恒成立，
可得
所以恒成立
即恒成立，
当时，该不等式恒成立，
当时，，
设，则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以.
（2）
所以，

假设存在实数，使得和都成立，
设，，
则，
，
若，则，解得，或，，均不是有理数，
若，则，其中，而，所以不成立，
综上所述，故不存在实数，使得，都成立.
【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，诱导公式，同角三角函数关系，研究是否为有理数的问题，涉及分类讨论的思想，属于难题.
9．（2020·重庆高一月考）已知向量，，函数，，.
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可；
（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；
（3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.
【详解】解：（1），
当时，，
则；
（2）∵，
∴，
则，
令，则，
则，对称轴，
① 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，
② 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得，
③ 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，
综上若的最小值为，则实数；
（3）令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，
则，得，则，
即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.
10．（2019·江苏南京市·南京师大附中高一期中）在中，.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求周长的最小值.
【答案】（1）；（2）12.
【分析】（1）由题意，，，由余弦定理、基本不等式，即可求的最大值；
（2）当时，求出，利用余弦定理、基本不等式，即可求出周长的最小值.
【详解】解：（1）由题意，，，
由余弦定理可得，
，
，
的最大值为；
（2）， ，
又，
，
，
周长为
当且仅当时，周长的最小值为12.
【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式，考查三角形面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题.
11．（2020·江西高一期末（理））将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作.
（1）在中，三个内角且，若C角满足，求的取值范围；
（2）已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数 与的值.
【答案】（1）；（2），..
【分析】（1）首先利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的取值范围.
（2）利用函数的图象和函数的零点的关系进一步进行分类讨论，最后求出参数的值和n的值.
【详解】解：（1）函数的图象向右平移个单位，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象.
可知.
因为，所以，
∴，∴，
∴.
因为，所以，
所以，∴，
所以的取值范围为.
（2）依题意，，
当时，，
则在内的零点个数为偶数个，故，
令，，
得，，
二次方程必有两不等实根、，
由于，则、异号，
（i）当且时，
方程在根的个数为偶数个，不合乎题意；
（ii）当，则，当时，
关于的方程在上有三个根，
由于，则为奇数
则，
解得：，由于不是整数，故舍去.
（iii）当时，则，当时，
关于的方程在上有三个根，且为奇数，
，解得.
此时，，得.
综上所述：，.
【点睛】本题考查三角函数的平移变换，恒等变换，三角函数性质等，考查分类讨论思想和数学运算能力，是难题.
12．（2020·全国高一课时练习）如图，在中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.

【答案】
【分析】设，由于是的角平分线，.设，则.在与中，分别利用余弦定理可得：，解得.再利用同角三角函数基本关系式和倍角公式可得，利用三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】解：设，
是的角平分线，.
设，则.
在与中，分别利用余弦定理可得：
，
.
，解得：.
，
.
此三角形的面积为：.
【点睛】本题综合考查了角平分线的性质、余弦定理、同角三角函数基本关系式和倍角公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中等题型.
13．（2020·福建厦门市·高一期末）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某市的一条健康步道，，为线段，是以为直径的半圆，，，.

（1）求的长度；
（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道（，在两侧），，为线段.若，到健康步道的最短距离为，求到直线距离的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用余弦定理求出半径，利用圆的周长公式可得结果；
（2）先求出点的大致轨迹，再结合正弦定理、圆的几何性质求最点到直线距离的最值即可求解．
【详解】（1）在 中，由余弦定理可得，
，
．
（2） 的轨迹为 外接圆的一部分，设 外接圆的半径为，
由正弦定理，且满足，
由（1）得：，所以为直角，
过作于，设所求距离为，
①当通过圆心时， 达到最大，由几何关系得，四边形为矩形，
所以，此时满足，
②当无限接近时，此时，
综上：所求 到直线 距离 的取值范围为．

【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，动点到定直线距离的最值问题，同时对学生推理分析，数形结合，运算求解的能力有一定的要求，属于中档题．
14．（2020·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）如图，某青年租用了一块边长为2百米的正方形田地来种植水果、蔬菜与花草，他在正方形的边，上分别取点，（不与正方形的顶点重合），用栅栏连接，，，使得，将正方形分成四个部分，现拟将图中阴影部分规划为水果种植区，部分规划为蔬菜种植区，部分规划为花草种植区，若水果种植区的投入约为元/百米2，蔬菜与花草种植区的投入约为103元/百米2.

（1）若使得，那么栅栏的总长度为多少？
（2）若从总投入的角度考虑，则这三个区域的总投入最少需要多少元？
【答案】（1）百米；（2）元
【分析】（1）利用锐角三角函数求出、，再由余弦定理求出，即可得解；
（2）设阴影部分面积为，三个区域的总投入为．设，，由解三角形可得，运用两角和的正切公式和基本不等式，即可得到所求最小值．
【详解】解：（1）因为，，所以，，所以
又因为，所以，
因为
所以
在中由余弦定理可得，
即
所以
所以
故栅栏的总长度为百米
（2）设阴影部分面积为，三个区域的总投入为．
则，从而只要求的最小值．
设，，则，
因为，
所以，
所以，
即，解得，即取得最小值为，
从而三个区域的总投入的最小值约为元．
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正确求出函数解析式和运用基本不等式或三角函数的恒等变换公式是解题的关键，属于中档题．
15．（2021·上海高一专题练习）在中，已知，试讨论a的值以确定三角形解的个数.
【答案】答案不唯一，具体见解析
【分析】当a的值变化时，三角形可能无解、有一个解或两个解，可借助图像分析.
【详解】解：由于三角形的一条边长a不确定，故作出的三角形的图像有以下几种情况：
作图：



.
当时，无解【如图（1）】；
当时，有一个解【如图（2）】；
当时，有两个解【如图（3）】；
当时，有一个解【如图（4）、图（5）】.
【点睛】本题考查不确定三角形个数解的问题，关键是结合图像分析，考查学生的理解分析能力，属于易错题.
16．（2020·福建龙岩市·高一期末）已知函数.
（1）判断的单调性并写出证明过程；
（2）当时，关于x的方程在区间上有唯一实数解，求a的取值范围.
【答案】（1）在R上递增，证明见解析；（2）或.
【分析】（1）先判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的定义，作差比较大小即可求证明；
（2）根据（1）中所求单调性，将问题转化为的零点问题，利用之间的关系进行换元，转化为二次函数零点的分布问题即可求得.
【详解】（1）在R上递增.
证明：，恒成立，的定义域为R.
令，，
是奇函数.
令，，
，
在上递增，又是R上连续不断的奇函数，
在R上递增.
（2）由（1）得
且在R上递增.

整理得，在上有唯一实数解
构造，，.
令，则，
，
在内有且只有一个零点，无零点.
又，在上为增函数.
ⅰ）若在内有且只有一个零点，无零点.
则
ⅱ）若为的零点，无零点，
则，
又，经检验符合题意.
综上所述：或.
【点睛】本题考查函数单调性以及奇偶性的证明，以及由函数的零点个数求参数的范围，涉及对数型函数以及之间的关系，属综合困难题.
17．（2018·贵州贵阳市·高一期末）在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:
具体过程如下：
如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B．

则
由向量数量积的坐标表示，有：

设的夹角为θ，则

另一方面，由图3.1—3（1）可知，；由图可知，

.于是.
所以，也有，
所以，对于任意角有：（）
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.
有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了.
阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：
（1）判断是否正确？（不需要证明）
（2）证明：
（3）利用以上结论求函数的单调区间.
【答案】(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为，
的单调递减区间为
【分析】(1) 因为对是方向上的单位向量,又且与共线,即可判断出正确;
(2)在中, ,又,表示出,的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论;
即
(3)由(2)结论化简可得借助正弦型函数的性质即可求得结果.
【详解】
(1) 因为对于非零向量是方向上的单位向量,又且与共线,所以正确;
(2) 因为M为AB的中点,则,从而在中, ,又,又,,所以,
即
(3) 因为令,解得:
所以的单调递增区间为
令,解得:
所以的单调递减区间为
【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.
18．（2020·江苏无锡市·高一期中）燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道以及两条排水沟，其中分别为边的中点．

（1）若，求排水沟的长；
（2）当变化时，求条人行道总长度的最大值．
【答案】（1）百米；（2）百米．
【分析】（1）由已知易得，则，在，中分别由余弦定理可得，，解方程组即可；
（2）设，设，，则，在中，由正弦定理得，，，由余弦定理，同理，令，则，求出函数的最值即可.
【详解】（1）因为，，
所以，所以，
因为，
所以，
所以，
在中：，
即①
在中：
，
即 ②
由①②解得：，即排水沟BD的长为百米；
设，设，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由正弦定理：，得，
连接DE，在中，，
，
在中，由余弦定理：
，
同理：．
设，，则，
所以，
由复合函数的单调性知，该函数单调递增，所以时，
最大值为
，
所以4条走道总长度的最大值为百米．

【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的数学运算、数学建模能力，是一道有一定难度的题.
19．（2021·福建省福州第一中学高一期末）已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；
（1）①的一条对称轴且；
②的一个对称中心，且在上单调递减；
③向左平移个单位得到的图象关于轴对称且
从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）选①②③，；（2）.
【分析】（1）根据题意可得出函数的最小正周期，可求得的值，根据所选的条件得出关于的表达式，然后结合所选条件进行检验，求出的值，综合可得出函数的解析式；
（2）求得，由可计算得出，进而可得出，由参变量分离法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）由题意可知，函数的最小正周期为，.
选①，因为函数的一条对称轴，则，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，则，不合乎题意；
若，则，则，合乎题意.
所以，；
选②，因为函数的一个对称中心，则，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，当时，，
此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；
若，则，当时，，
此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；
所以，；
选③，将函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称，
所得函数为，
由于函数的图象关于轴对称，可得，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，，不合乎题意；
若，则，，合乎题意.
所以，；
（2）由（1）可知，
所以，，
当时，，，所以，，
所以，，
，
，，则，
由可得，
所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
20．（2021·安徽合肥市·高一期末）已知函数，．
(1)当时，写出的单调递减区间（不必证明），并求的值域；
(2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数t的取值范围．
【答案】(1) 的单调递减区间为；值域为；
(2).
【分析】(1)由对勾函数的图像直接写出递减区间和值域；
(2)先求出的值域，把对任意，总有，使得转化为两个值域的包含关系，解不等式即可．
【详解】
(1) 当时，的图像如图示，
∴的单调递减区间为；值域为
(2) 在上单增，在上单减，
∴在上的值域为，记B=
设的值域为A，
要使“对任意，总有，使得”
只需.
对于
当时，在上单增，∴
∵
只需，解得：.
当时，在上单减，在上单增，
只需，解得：；
当时，在上单减，
∵
只需，无解
综上：.
∴实数t的取值范围为
【点睛】含双量词的数学问题中参数范围的求解分为两大类：
(1)不等式型转化为最值的比较；
(2)等式型的转化为值域的包含关系．
21．（2021·天津静海区·静海一中高一期末）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）求的最大值.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（4）对于第（3）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】（1）利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，利用正弦函数的周期，奇偶性求得函数的解析式；
（2）令，利用换元法转化为，求最大值即可；
（3）利用函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域；
（4）由方程，得到，根据，求得，设，转化为，结合正弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，
所以，
因为，所以，
所以函数.
（2），
令，
则，
所以，，
因为对称轴，
所以当时，，
即的最大值为.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最小值为，
故函数的值域.
（4）由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图

可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.
【点睛】关键点点睛：解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念.
22．（2021·江苏宿迁市·高一期末）已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；
（3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出
的范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）选择①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范围，利用见解析.
【分析】（1）选择①②，将点代入，结合可求，由点是的对称中心可得，结合，可得，即可得解析式；选择①③：将点代入，结合可求，由，所即，可得，即可得解析式；选择②③由，所即，可得，若函数的图象关于点对称，则，结合，可得，即可得解析式；
（2）若是函数的零点，则，解得
或，可得或，进而可得可能的取值，即可求解；
（3）由得，当时，函数可转化为，，，利用偶函数的性质原不等式可化为，即可求解.
【详解】
选择①②：
因为函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以，
选择①③：
若函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
所以，
选择②③：
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
若函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以
（2）若是函数的零点，则，
可得，
所以或
解得：或，
若是函数的零点，则，，

当时，，
当时，，
当时，
所以的值组成的集合为；
（3）当时，，
令，则，令，
则，，
因为，
所以，即，
所以，即，，
解得：.
所以实数的范围是：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出的解析式，再利用余弦函数的零点可求可能的取值，求的范围的关键是构造偶函数，利用单调性脱掉，解关于的不等式.
23．（2020·江苏高一课时练习）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数.
（1）求φ的值.
（2）若f（x）图象上的点关于M（π，0）对称.
①求ω满足的关系式；
②若f（x）在区间[0，]上是单调函数，求ω的值.
【答案】（1）；（2）①，②或2.
【分析】（1）根据，，以及0≤φ≤π可解得结果；
（2）①根据可求得结果；②根据，，求出且，验证时，在区间[0，]上是否单调即可得解.
【详解】（1）因为函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，
所以，，
因为0≤φ≤π，所以，＝；
（2）①由f（x）的图象关于点M对称，得，
所以，
又＞0，所以＝+kπ，，
∴，，
②由于，，
因为f（x）在区间[0，]上是单调函数，所以，即，
所以，所以且，
当k＝0时，，f（x）＝sin（x+）在[0，]上是减函数，满足题意；
当k＝1时，，f（x）＝sin（2x+）＝cos2x，在[0，]上是减函数，满足题意；
当k＝2时，ω＝，f（x）＝sin（x+）在[0，]上不是单调函数；
所以，综合得ω＝或2.
【点睛】关键点点睛：利用三角函数的奇偶性、对称性和单调性求解是解题关键.
24．（2020·浙江高一期末）设函数．
（1）当时，用表示的最大值；
（2）当时，求的值，并对此值求的最小值；
（3）问取何值时，方程在上有两解？
【答案】（1）（a）；（2）或；当时，，当时，；（3）或．
【分析】（1）用同角公式对化简得，设，则函数是开口向下，对称轴为的抛物线，根据二次函数的性质，对进行讨论得出答案．
（2）（a）代入（1）中的（a）的表达式即可得出结果．
（3）方程．即，，欲使方程在，上有两解．则必须，从而求出的范围即可．
【详解】
解：（1）

．


令，则，，
可知函数是开口向下，对称轴为的抛物线，根据二次函数的性质，当时，最大值为；当可得最大值；当时，可得最大值.故的最大值（a）．
（2）当（a）时，
；
或（与矛盾，全部舍去；
；
或．
当时，根据二次函数性质，；
②当时，根据二次函数性质，．
（3）方程
即，
即，，
令，则有，如图，根据二次函数性质可得值域为，如图所示

即，根据以上图象大致可得图象如图所示：

方程在，上有两解．
即在，上有两解，
由上图可知，
或．
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质．在二次函数的性质的使用的时候要特别注意对称轴的位置．
25．（2020·界首中学高一期末）已知向量，，函数.
（1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；
（2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和.
【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为；（2）.
【分析】（1）结合向量的数量积的坐标运算，化简求得，再利用三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据三角函数的图象变换，求得，结合函数的零点的概念和正弦函数的图象的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，向量，，
所以

.
可得，即函数的最小正周期为，
令，解得
所以函数的最小正周期为，对称轴方程为.
（2）由（1）知，
将的图象上每个点横坐标变为原来的2倍，可得，
然后将向左平移个单位长度得到函数，
令，即，
由图可知，在上有4个零点：，，，，
根据对称性有，，
所以所有零点和为.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，三角函数的图象变换，以及向量的数量积运算，函数与方程等知识点的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
26．（2020·全国）已知函数.

（1）用五点法画出这个函数在一个周期内的图像；（必须列表）
（2）求它的振幅、周期、初相、对称轴方程；
（3）说明此函数图象可由在上的图象经过怎样的变换得到.
【答案】（1）作图见解析（2）周期，振幅，初相，对称轴（3）详见解析
【分析】（1）列表描点作图即可求解；
（2）由正弦型函数性质即可求出振幅、周期、初相；
（3）根据图象的变换，可先平移，后伸缩，再上下平移即可.
【详解】（1）列表：







0





3
6
3
0
3



（2）周期，
振幅，
初相，
由，得即为对称轴；
（3）①由的图象上各点向左平移个长度单位，得的图象；
②由的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得的图象；
③由的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），得的图象；
④由的图象上各点向上平移3个长度单位，得的图象.
【点睛】本题主要考查了“五点法”作图，的性质、图象变换，属于中档题.
27．（2020·广东云浮市·高一期末）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）证明：在上单调递增.
（2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据定义任取,,且,利用作差,变形后即可判断符号,即可证明函数的单调性.
（2）根据定义可判断和的奇偶性.由不等式在区间上的恒成立,可知存在,对任意都有.根据解析式及单调性,分别求得的最大值和的最大值,即可得不等式.再利用换元法,构造对勾函数形式,即可解不等式求得的取值范围.
【详解】（1）证明：任取,,且,则


因为,,所以,,,
所以,即当时,总有,所以在上单调递增.
（2）由,
得是上的偶函数,同理,也是上的偶函数.
总存在,对任意都有,即函数在上的最大值不小于,的最大值.
由（1）知在上单调递增,所以当时,的最大值为,
.
因为,,所以当时,的最大值为.
所以.
令,则,
令,
易知在上单调递增,又,所以,即,
所以,即实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性,由存在性与恒成立问题,解不等式求参数的取值范围,综合性强,对思维能力要求较高,属于难题.
28．（2019·河南省实验中学高一期中）已知向量（其中），记，且满足.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据向量坐标运算公式，求出的表达式，化简为标准型，结合周期可得的解析式；
（2）结合所给区间，求出的值域，再利用根的分布问题求解.
【详解】（1）

由，得是函数的一个周期，
所以，的最小正周期，解得
又由已知，得 ,
因此，.
（2） 由，得
故：
因此函数的值域为.
设，
使关于的方程在上有三个不相等的实数根，当且仅当关于的方程在和上分别有一个实数根，或有一个实数根为1，另一实数根在区间上
令
①当关于的方程在和上分别有一个实数根时，
解得
②当方程的一个根是时，，
另一个根为，不满足条件；
③当方程的一个根是时，，
另一个根为，不满足条件；
因此，满足条件的实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，利用恒等变换先把函数化为标准型，再结合周期可求解析式；结合换元法可求最值问题等.
29．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；
（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】(1)由二倍角正弦公式化简原函数，即知最小正周期，找到其中一个递增区间，由已知区间属于递增区间列不等式组求的范围即可；(2)根据函数图象平移得到，由其过P点且求出值，在上至少含30个零点，根据三角函数的图象及性质分析即可知的最小值；(3)由不等式恒成立，令，即成立即可求的范围
【详解】解（1）由题意，有，又则最小正周期
由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值
∴是函数的一个单调递增区间
若函数在上单调递增，则且
解得
（2）∵由（1）：
∴将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象
∵的图象过．
∴，可得：，解得：，，
即：，，
∵
∴，可得的解析式为：
∴的周期为
在区间（，且）满足：在上至少有30个零点，
即在上至少有30个解．
∴有或
解得：或
分析：直线与三角函数图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度，最大为波峰跨度：
∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，有最小值
即，在所有满足上述条件的中的最小值为
（3），设，
∵即可
只需要解得
综上所述
【点睛】本题考查了三角函数的图象及性质，1、应用二倍角正弦公式化简，结合正弦函数的单调性求参数范围；2、根据函数图象平移得到新函数的解析式，由函数的零点个数求最值；3、将不等式恒成立转化为函数的最值情况下不等式成立，进而求参数范围
30．（2020·河南高一期末）如图所示，点在圆的一段圆弧上，设.

（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ)设，过点的直线与轴垂直交于点，设曲边多边形的面积为；
（ⅰ）求函数的解析表达式；
（ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）运用向量的模的计算　和向量的数量积的定义可得.再运用正弦函数的值域可求得的取值范围.
（Ⅱ）（ⅰ）由扇形的面积公式和三角形的面积公式可表示.
（ⅱ）将问题转化为，由三角函数的值域和不等式的恒成立思想可求得取值范围．
【详解】（Ⅰ）.
因为，所以的值域为，所以的取值范围为.
（Ⅱ）（ⅰ）.
（ⅱ），即，
因为，所以，所以，
所以.
【点睛】本题考查向量的数量积运算之求向量的模，正弦函数的值域，以及不等式的恒成立思想的运用，属于较难题．