第05讲 三角函数配角变换题型与方法(分层训练)-【2022年春季高一数学辅导讲义（苏教版2019必修第二册）

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基础组
一、选择题
1．(2020秋•马鞍山期末)已知cs(π2-α)=45，sin(π+β)=-513，α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，则sin(α+β)＝( )
A．-6365；B．-3365；C．3365；D．6365
【答案】B．
【解析】已知cs(π2-α)＝sinα=45，sin(π+β)＝﹣sinβ=-513，即sinβ=513．∵α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，
∴csα=1-sin2α=35，csβ=-1-sin2β=-1213，
则sin(α+β)＝sinαcsβ+csαsinβ=45×(-1213)+35×513=-3365．
2．(2020秋•烟台期末)sin17°cs13°+sin73°cs77°＝( )
A．32；B．12；C．-32；D．-12
【答案】B．
【解析】sin17°cs13°+sin73°cs77°＝sin17°cs13°+cs17°sin13°＝sin(17°+13°)=12．
3．(2020秋•金安区校级期末)已知角α的终边上一点坐标为P(3，﹣4)，则tan(π4+α)=( )
A．17；B．45；C．-17；D．-45
【答案】C．
【解析】因为角α的终边上一点坐标为P(3，﹣4)，所以tanα=-43，
所以tan(π4+α)=1+tanα1-tanα=1-431+43=-17．
4．(2020秋•金安区校级期末)若sinα＝2csα，则cs2α＝( )
A．-35；B．35；C．45；D．-45
【答案】A．
【解析】∵sinα＝2csα，∴tanα＝2，则cs2α=cs2α-sin2αsin2α+cs2α=1-tan2αtan2α+1=1-44+1=-35．
5．(2020秋•厦门期末)在△ABC中，csA=-22，tanB=13，则tan(A﹣B)＝( )
A．﹣2；B．-12；C．12；D．2
【答案】A．
【解析】由csA=-22得sinA=22，则tanA＝﹣1，
则tan(A﹣B)=tanA-tanB1+tanAtanB=-1-131+(-1)×13=-3-13-1=-42=-2．
6．(2020秋•遂宁月考)已知1-sin(θ+π3)=cs(π2-θ)，则cs2(θ+π6)的值为( )
A．33；B．63；C．23；D．13
【答案】C．
【解析】因为1-sin(θ+π3)=cs(π2-θ)，可得1-12sinθ-32csθ＝sinθ，整理可得sin(θ+π6)=33，
则cs2(θ+π6)=1﹣sin2(θ+π6)＝1-13=23．
7．(2019秋•南昌县校级期末)若α，β∈(-π2，π2)，且tanα，tanβ是方程x2+43x+5=0的两个根，则α+β等于( )
A．π3或4π3；B．π3或-2π3；C．π3；D．-2π3
【答案】D．
【解析】由已知可得tanα+tanβ=-43，tanα•tanβ＝5，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα⋅tanβ=-431-5=3．
∵α，β∈(-π2，π2)，且tanα+tanβ=-43，tanα•tanβ＝5，∴α，β∈(-π2，0)，
则α+β∈(﹣π，0)，∴α+β=-2π3．
8．(2021•七模拟)已知α为锐角，β为第二象限角，若cs(β﹣α)=-12，sin(α+β)=12，则sin2α＝( )
A．-22；B．22；C．-12；D．12
【答案】D．
【解析】由已知可得β﹣α为第二象限角，α+β为第二象限角，所以sin(β﹣α)=32，cs(α+β)=-32，
因为2α＝(α+β)﹣(β﹣α)，所以sin2α＝sin[(α+β)﹣(β﹣α)]＝sin(α+β)cs(β﹣α)﹣cs(α+β)sin(β﹣α)
=12×(-12)﹣(-32)×32=-14+34=12．
9．(2020秋•黄埔区校级期末)已知π2＜β＜α＜3π4，cs(β-α)=1213，sin(β+α)=-35，则cs2α＝( )
A．6365；B．-6365；C．3365；D．-3365
【答案】D．
【解析】因为π2＜β＜α＜3π4，所以-π4＜β﹣α＜0，π＜α+β＜3π2，又cs(β-α)=1213，sin(β+α)=-35，
所以sin(β﹣α)=-1-cs2(β-α)=-513，cs(β+α)=-1-sin2(β+α)=-45；
所以cs2α＝cs[(β+α)﹣(β﹣α)]＝cs(β+α)cs(β﹣α)+sin(β+α)sin(β﹣α)=1213×(-45)+(-513)×(-35)=-3365．
10．(2020秋•淮南期末)已知cs(α-π6)=33，π6＜α＜2π3，则cs(10π3+α)=( )
A．33；B．63；C．-33；D．-63
【答案】B．
【解析】因为π6＜α＜2π3，所以0＜α-π6＜π2，又cs(α-π6)=33，则sin(α-π6)=1-(33)2=63，
所以cs(10π3+α)=cs(4π-2π3+α)=cs(2π3-α)=cs[π2-(α-π6)]=sin(α-π6)=63．
11．(2020秋•湖北期末)已知sin(4π3+θ)=55，则cs(π6-θ)=( )
A．55；B．-55；C．255；D．-255
【答案】B．
【解析】因为sin(4π3+θ)=55，所以sin(π3+θ)=-55，则cs(π6-θ)=cs[π2-(π3+θ)]＝sin(π3+θ)=-55．
12．(2020秋•漳州期末)已知sin(α-π4)=1010，0＜α＜π2，则tanα的值为( )
A．-12；B．12；C．2；D．-12或2
【答案】C．
【解析】∵0＜α＜π2，∴-π4＜α-π4＜π4，∴cs(α-π4)=31010，∴tan(α-π4)=sin(α-π4)cs(α-π4)=13，
∴tanα=tan[(α-π4)+π4]=tan(α-π4)+11-tan(α-π4)=13+11-13=2．
13．(2020秋•安徽月考)若cs(α2+π6)=13，则cs(α+π3)＝( )
A．-23；B．-59；C．-79；D．-89
【答案】C．
【解析】因为cs(α2+π6)=13，所以cs(α+π3)＝2cs2(α2+π6)﹣1＝2×(13)2﹣1=-79．
14．(2020秋•浙江月考)已知α，β均为锐角，cs(α+β)=-513，sin(β+π3)=35，则sin(α-π3)=( )
A．3365；B．-3365；C．6365；D．5665
【答案】B．
【解析】∵α，β均为锐角，cs(α+β)=-513，∴α+β为钝角，∴sin(α+β)=1-cs2(α+β)=1213，
∵sin(β+π3)=35∈(12，22)，∴β+π3∈(π6，π4)或者β+π3∈(3π4，5π6)，∵0＜β＜π2，∴π3＜β+π3＜5π6，
∴β+π3∈(3π4，5π6)，∴cs(β+π3)=-1-sin2(β+π3)=-45，
∴sinα-π3=sin[(α+β)﹣(β+π3)]＝sin(α+β)cs(β+π3)﹣cs(α+β)sin(β+π3)
=1213×(-45)﹣(-513)×35=-3365．
15．(2020春•武昌区校级月考)若csα=17，sin(α+β)=5314，0＜α＜π2，0＜β＜π2，则角β的值为( )
A．π8；B．π4；C．π6；D．π3
【答案】D．
【解析】∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴0＜α+β＜π，∵csα=17，∴sinα=437，∵437＞5314，
∴sinα＞sin(α+β)，即π2＜α+β＜π，否则与y＝sinx在(0，π2)上单调递增矛盾，则cs(α+β)=-1114，
则sinβ＝sin(α+β﹣α)＝sin(α+β)csα﹣cs(α+β)sinα=5314×17+1114×437=32，则β=π3．
16．(2020秋•南关区校级期末)已知sinθ+csθ=43，θ∈(π4，π2)，则sinθ﹣csθ＝( )
A．23；B．-23；C．13；D．-13
【答案】A．
【解析】已知sinθ+csθ=43，θ∈(π4，π2)，所以1+2sinθ⋅csθ=169，整理得2sinθ⋅csθ=79，
由于θ∈(π4，π2)，故sinθ＞csθ，所以sinθ-csθ=(sinθ-csθ)2=1-79=23．
二、多选题
17．(2020秋•温州期末)已知θ∈(-π4，π4)，且tanθ＝m，则下列正确的有( )
A．csθ=1m2+1；B．tan(π﹣θ)＝m；C．tan(θ-π4)=1+m1-m；D．tan2θ=2m1-m2
【答案】AD．
【解析】已知θ∈(-π4，π4)，且tanθ＝m，
对于A：利用三角函数的定义，所以csθ=11+m2，故A正确；
对于B：tan(π﹣θ)＝﹣tanθ＝﹣m，故B错误；
对于C：tan(θ-π4)=tanθ-11+tanθ=m-11+m，故C错误；
对于D：tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2m1-m2，故D正确．
18．(2020秋•邵阳县期末)已知α，β∈(0，π2)且sinα=223，sin(α+β)=23，则( )
A．cs(α+β)=53；B．cs(α+β)=-53；C．csβ=42+59；D．csβ=42-59
【答案】BD．
【解析】因为α，β∈(0，π2)，所以α+β∈(0，π)，又因为sin(α+β)=23＜sinα=223，
所以α+β∈(π2，π)，故csα=-13，cs(α+β)=-53，
故csβ=cs[(α+β)-α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=-53×13+23×223=42-59．
三、填空题
19．(2020秋•黄山期末)已知α+β=π3，tanα+tanβ＝3，则cs(α﹣β)＝______．
【答案】23-36．
【解析】因为tanα+tanβ=sinαcsα+sinβcsβ=sin(α+β)csαcsβ=3，且α+β=π3，
所以csαcsβ=36，cs(α+β)=csαcsβ-sinαsinβ=12，
所以sinαsinβ=36-12，所cs(α-β)=csαcsβ+sinαsinβ=23-36．
20．(2020秋•山西期末)若tan(π4-α)=13，则tan(π4-2α)=______．
【答案】-17．
【解析】由tan(π4-α)=13，得1-tanα1+tanα=13，得3﹣3tanα＝1+tanα，
得tanα=12，则tan2α=2tanα1-tan2α=2×121-14=134=43，则tan(π4-2α)=1-tan2α1+tan2α=1-431+43=3-43+4=-17．
21．(2020秋•宁波期末)已知sinα=35，csβ=-513，α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，则sin(α+β)＝______．
【答案】3365．
【解析】sinα=35，csβ=-513，α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，所以csα=1-sin2α=1-(35)2=45，
sinβ=1-cs2β=1-(-513)2=1213，所以sin(α+β)＝sinαcsβ+csαsinβ=35×(-513)+45×1213=3365．
22．(2020春•浙江期中)已知cs(π4+x)=35，5π4＜x＜7π4，则sin2x＝______，sin2x+2sin2x1-tanx=______．
【答案】725，-2875．
【解析】sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcsx+2sin2x1-sinxcsx=2sinxcsx(csx+sinx)csx-sinx=sin2x(1+tanx)1-tanx=sin2x•tan(π4+x)．
∵5π4＜x＜7π4，∴3π2＜x+π4＜2π，又∵cs(π4+x)=35，∴sin(π4+x)=-45．∴tan(π4+x)=-43．
∴csx＝cs[(π4+x)-π4]＝cs(π4+x)csπ4+sin(π4+x)sinπ4=35×22+(-45)×22=-210．
∴sinx＝sin[(π4+x)-π4]＝sin(π4+x)csπ4-sinπ4cs(π4+x)＝(-45)×22-22×35=-7210，
可得sin2x＝2sinxcsx＝2×(-210)×(-7210)=725．∴sin2x+2sin2x1-tanx=725×(-43)=-2875．
提高组
一、选择题
1．(2020秋•株洲期末)若角α的终边经过点P(﹣3，4)，则1-cs2αsin2α的值是( )
A．-43；B．-2915；C．-34；D．3215
【答案】A．
【解析】角α的终边经过点P(﹣3，4)，∴tanα=4-3=-43，∴1-cs2αsin2α=1-(1-2sin2α)2sinαcsα=sinαcsα=tanα=-43．
2．(2020秋•贵溪市校级期末)cs45°sin75°+sin45°sin165°的值为( )
A．32；B．-32；C．12；D．-12
【答案】A．
【解析】cs45°sin75°+sin45°sin165°＝cs45°cs15°+sin45°sin15°＝cs(45°﹣15°)＝cs30°=32．
3．(2020秋•通州区期末)已知角α的终边与单位圆交于点P(45，-35)，则cs2α＝( )
A．-2425；B．-725；C．725；D．1625
【答案】C．
【解析】∵角α的终边与单位圆交于点P(45，-35)，∴x=45，y=-35，r＝1，
∴csα=45，cs2α＝2cs2α﹣1＝2×(45)2﹣1=725．
4．(2020秋•安徽期末)已知一个扇形的圆心角为α(0＜α＜2π)，弧长为π2，半径为2．若tanβ＝2，则tan(α+2β)＝( )
A．-17；B．7；C．17；D．﹣7
【答案】A．
【解析】因为tanβ＝2，所以tan2β=41-22=-43，
又扇形的圆心角为α(0＜α＜2π)，弧长为π2，半径为2，
可得：α=lr=π4，所以tan(α+2β)=1-431+43=-17．
5．(2020秋•黄山期末)已知角α顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(-1，-3)在终边上，则sin(α+π3)=( )
A．0；B．-12；C．-32；D．﹣1
【答案】C．
【解析】由三角函数的定义，易得sinα=-32，csα=-12，则sin(α+π3)=12sinα+32csα=-32．
6．(2020秋•金凤区校级期末)若tanθ=12，则cs2θ＝( )
A．-35；B．-45；C．35；D．45
【答案】C．
【解析】因为tanθ=12，所以cs2θ=cs2θ-sin2θcs2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-141+14=35．
7．(2020秋•金凤区校级期末)已知角α的终边与单位圆x2+y2＝1交于点M(t，15)，则sin2α等于( )
A．4625；B．±4625；C．235；D．±235
【答案】B．
【解析】∵角α的终边与单位圆x2+y2＝1交于点M(t，15)，∴sinα=15，可得csα＝±1-sin2α=±265，
则sin2α＝2sinαcsα＝2×15×(±265)＝±4625．
8．(2020秋•商洛期末)若cs(α-β)=-12，cs(α+β)=14，则cs(π﹣α)cs(π+β)＝( )
A．38；B．-38；C．-18；D．18
【答案】C．
【解析】若cs(α-β)=csαcsβ+sinαsinβ=-12，cs(α+β)=csαcsβ-sinαsinβ=14，
所以两式相加得csαcsβ=-12+142=-18，
则cs(π-α)cs(π+β)==-csα(-csβ)=csαcsβ=-18．
9．(2021•九模拟)已知α∈(0，π2)，sin2α1+cs2α=12，则csα＝( )
A．55；B．255；C．1010；D．31010
【答案】B．
【解析】由于sin2α1+cs2α=12，可得4sinαcsα＝2cs2α，因为α∈(0，π2)，csα≠0，
所以csα＝2sinα，联立csα=2sinαsin2α+cs2α=1，解得csα=255．
10．(2020秋•应县校级期末)若tanx=34，则tan(x2+π4)+tan(x2-π4)=( )
A．﹣2；B．2；C．32；D．-32
【答案】C．
【解析】tan(x2+π4)+tan(x2-π4)=tanx2+11-tanx2+tanx2-11+tanx2=4tanx21-tan2x2=2tanx=32．
11．(2020秋•上高县校级期末)已知cs(θ2-π5)=23，则sin(θ+π10)=( )
A．13；B．-13；C．59；D．-59
【答案】D．
【解析】因为cs(θ2-π5)=23，
则sin(θ+π10)=sin[2(θ2-π5)+π2]＝cs2(θ2-π5)＝2cs2(θ2-π5)﹣1＝2×29-1=-59．
12．(2020秋•昌江区校级期末)已知cs(α-2π3)=-13，则cs(2α-π3)=( )
A．13；B．79；C．-13；D．-79
【答案】B．
【解析】因为cs(α-2π3)=cs[π2+(π6-α)]＝﹣sin(π6-α)=-13，可得sin(π6-α)=13，
则cs(2α-π3)=1﹣2sin2(π6-α)＝1﹣2×(13)2=79．
13．(2021•宝鸡模拟)若sin(π3+α)=13，则cs(π3-2α)＝( )
A．79；B．13；C．-79；D．-13
【答案】C．
【解析】∵sin(π3+α)=13=cs(π6-α)，则cs(π3-2α)=2cs2(π6-α)-1＝2×19-1=-79．
14．(2020秋•新市区校级期末)若sin(π6-α)=13，cs(2π3+2α)＝( )
A．29；B．-29；C．79；D．-79
【答案】D．
【解析】∵sin(π6-α)=13，∴cs[π2-(π6-α)]＝cs(π3+α)=13，∴cs(2π3+2α)＝2cs2(π3+α)﹣1=29-1=-79．
15．(2020秋•温岭市校级期中)已知tan(α+π3)=2，则sin(2α+π6)=( )
A．-35；B．35；C．310；D．-310
【答案】B．
【解析】∵tan(α+π3)=2，∴kπ+π4＜α+π3＜kπ+π2，k∈Z，∴2kπ+π2＜2α+2π3＜2kπ+π，k∈Z，
∴tan(2α+2π3)=2tan(α+π3)1-tan2(α+π3)=41-4=-43，∴tan(2α+2π3)=sin(2α+23π)cs(2α+23)=-43，
∵sin2(2α+2π3)+cs2(2α+2π3)＝1，∴cs(2α+2π3)=-35，sin(2α+2π3)=45，
∴sin(2α+π6)=sin(2α+2π3-π2)＝﹣cs(2α+2π3)=35．
16．(2020秋•秦安县校级期末)已知tanθ2=23，则1-csθ+sinθ1+csθ+sinθ的值为( )
A．23；B．-23；C．32；D．-32
【答案】A．
【解析】∵tanθ2=23，∴1-csθ+sinθ1+csθ+sinθ=2sin2θ2+2sinθ2csθ22cs2θ2+2sinθ2csθ2=2sinθ2(sinθ2+csθ2)2csθ2(csθ2+sinθ2)=tanθ2=23．
二、多选题
17．(2020秋•重庆月考)已知函数f(x)＝(sinx+csx)|sinx﹣csx|，下列说法正确的是( )
A．f(x)是周期函数；B．若|f(x1)|+|f(x2)|＝2，则x1+x2=kπ2(k∈Z)；
C．f(x)在区间[-π2，π2]上是增函数；D．函数g(x)＝f(x)+1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点
【答案】AB．
【解析】f(x)＝(sinx+csx)|sinx﹣csx|=cs2x，sinx＜csx-cs2x，sinx≥csx，其图象如图：
由图可知，f(x)是周期为2π的周期函数，故A正确；
若|f(x1)|+|f(x2)|＝2，由|f(x1)|≤1，|f(x2)|≤1，则只有|f(x1)|＝|f(x2)|＝1，
即x1，x2只能是函数的最值点的横坐标，可得x1+x2=kπ2(k∈Z)，故B正确；
由图象可得，f(x)在区间[-π2，π2]上不是单调函数，故C错误；
函数g(x)＝f(x)+1的图象，是把y＝f(x)的图象向上平移1个单位得到的，
则在区间[0，2π]上有且仅有2个零点，故D错误．
∴说法正确的是AB．
三、填空题
18．(2020秋•海安市校级月考)已知sin(2α+β)＝3sin(2α﹣β)，tan(α-β)=33，则tanα＝______．
【答案】-3．
【解析】sin(2α+β)＝3sin(2α﹣β)，可得：sin2αcsβ+cs2αsinβ＝3sin2αcsβ﹣3cs2αsinβ，
∴sin2αcsβ＝2cs2αsinβ，∴tan2α＝2tanβ，∴tanβ=12tan2α，
可得：tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=tanα-12tan2α1+tanα12tan2α=tanα-tanα1-tan2α1+tanαtanα1-tan2α=-tana3α1=-tan3α=33，
∴tanα=-3．
19．(2020•广西二模)已知tanα，tanβ是方程6x2﹣5x+1＝0的两个实数根，则tan(α+β)＝______．
【答案】1．
【解析】由题意tanα，tanβ是方程6x2﹣5x+1＝0的两个实数根，可得tanα+tanβ=56，tanα•tanβ=16，
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα⋅tanβ=561-16=1．
20．(2020•南通模拟)若函数f(x)=asin(x+π6)+3sin(x-π3)是偶函数，则实数a的值为______．
【答案】﹣1．
【解析】∵f(x)＝asin(x+π6)+3sin(x-π3)＝a(32sinx+12csx)+3(12sinx-32csx)
=32(a+1)sinx+(a2-32)csx为偶函数，∴f(﹣x)＝f(x)，∴a+1＝0，∴a＝﹣1．
21．(2020春•奉贤区期中)设α为第四象限的角，若sin3αsinα=135，则tan2α＝______．
【答案】-34．
【解析】∵sin3α＝sin(2α+α)＝sin2αcsα+cs2αsinα，
∴sin3αsinα=sin2αcsα+cs2αsinαsinα=2cs2α+cs2α＝2cs2α+2cs2α﹣1=135，
整理得：4cs2α﹣1=135，解得：csα=31010或csα=-31010，∵α是第四象限角，∴csα=31010，
∴sinα=-1-cs2α=-1010，∴tanα=sinαcsα=-13，则tan2α=2tanα1-tan2α=-34．
四、解答题
22．(2020秋•滨州期末)已知sin(x-π4)=7210，x∈(π2，3π4)．
(1)求sinx的值；
(2)求cs(2x+π6)的值．
【答案】(1)45；(2)24-7350．
【解析】(1)∵x∈(π2，3π4)，∴x-π4∈(π4，π2)，∵sin(x-π4)=7210，∴cs(x-π4)=1-sin2(x-π4)=210，
∴sinx＝sin[(x-π4)+π4]＝sinx(x-π4)csπ4+cs(x-π4)sinx=7210×22+210×22=45．
(2)∵x∈(π2，3π4)，∴csx=1-sin2x=1-(45)2=35，
∴sin2x＝2sinxcsx=-2425，cs2x＝2cs2x﹣1=-725，
∴cs(2x+π6)=cs2xcsπ6-sin2xsinπ6=-725×32-(-2425)×12=24-7350．
23．(2020秋•天心区校级期末)已知函数f(x)＝sin(ωx+π3)(ω＞0)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2．
(1)求ω的值及函数f(x)的递增区间；
(2)若f(α)=35，且α∈(π12，π3)求sin2α．
【答案】(1)[-5π12+kπ，π12+kπ]，k∈Z；(2)3+4310．
【解析】(1)因为函数f(x)＝sin(ωx+π3)(ω＞0)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，
所以函数f(x)的周期为π，故ω=2πT=2，所以f(x)=sin(2x+π3)，
令-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，解得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的递增区间为[-5π12+kπ，π12+kπ]，k∈Z；
(2)由题意可得，sin(2α+π3)=35，因为α∈(π12，π3)，则2α+π3∈(π2，π)，
所以cs(2α+π3)=-1-sin2(2α+π3)=-45，
所以sin2α=sin[(2α+π3)-π3]=sin(2α+π3)csπ3-cs(2α+π3)sinπ3=3+4310．
附：分层训练答案
基础组
1．B；2．B；3．C；4．A；5．A；6．C；7．D；8．D；9．D；10．B；11．B；12．C；13．C；
14．B；15．D；16．A；17．AD；18．BD；19．23-36；20．-17；21．3365；22．725，-2875．
提高组
1．A；2．A；3．C；4．A；5．C；6．C；7．B；8．C；9．B；10．C；11．D；12．B；13．C；
14．D；15．B；16．A；17．AB；18．-3；19．1；20．﹣1；21．-34；22．(1)45，(2)24-7350；
23．(1)-5π12+kπ，π12+kπ，k∈Z，(2)3+4310．