专题11 圆锥曲线的几何性质与应用-备战2022高考数学二轮复习冲破压轴题讲与练

专题11  圆锥曲线的几何性质与应用

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向量相结合问题等.

在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e的等式或不等式使问题获解．

1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：

（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距.从而可求解

（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解

2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可

（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率

注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：

本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法.

【压轴典例】

例1.(2020·全国卷Ⅲ理科·T11)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=              (　　)

A.1     B.2      C.4         D.8

【解析】选A.设PF1=m,PF2=n,m>n,=mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,e==,所以a=1.

例2.(2020·北京高考·T7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线              (　　)

A.经过点O　　　　　　　　B.经过点P

C.平行于直线OP            D.垂直于直线OP

【解析】选B.因为点P在抛物线上,所以|PQ|=|PF|,所以FQ的垂直平分线经过点P.

例3.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=              (　　)

A.2        B.3         C.6            D.9

【解析】选C.设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|AF|=xA+=12,即12=9+,解得p=6.

例4.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为              (　　)

A.    B.3   C.    D.2

【解析】选B.由已知,不妨设F1(-2,0),F2(2,0),则a=1,c=2,因为|OP|=2=|F1F2|,所以点P在以F1F2为直径的圆上,即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16,又||PF1|-|PF2||=2a=2,

所以4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=6,

所以=|PF1||PF2|=3.

例5.(2020·全国卷Ⅲ文科·T7理科·T5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为              (　　)

A.    B.     C.(1,0)    D.(2,0)

【解析】选B. 因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于D,E两点,且OD⊥OE,根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=,所以D,代入抛物线方程4=4p,求得p=1,所以其焦点坐标为.

例6.(2020·天津高考·T7)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为              (　　)

A.-=1     B.x2-=1   C.-y2=1  D.x2-y2=1

【解析】选D.由题可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线l的方程为x+=1,即直线的斜率为-b,又双曲线的渐近线的方程为y=±x,所以-b=- ,-b×=-1,因为a>0,b>0,解得a=1,b=1.所以双曲线C的方程为x2-y2=1.

例7.（2019·全国高考真题）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（    ）

A． B．

C．2 D．

【答案】A

【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．．

例8.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T15)已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为　　　　. 

【解析】依题可得,=3,而=,=c-a,即=3,变形得c2-a2=3ac-3a2,化简可得,e2-3e+2=0,解得e=2或e=1(舍去).

例9.(2020·全国卷Ⅲ文科·T14)设双曲线C:-=1 (a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则C的离心率为　　　　. 

【解析】由双曲线方程-=1可得其焦点在x轴上,因为其一条渐近线为y=x,

所以=,e===.

例10.（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．

【答案】2.

【解析】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．

例11. （2019·浙江高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.

【答案】

【解析】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程，可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以

方法2：焦半径公式应用

由题意可知，由中位线定理可得，即，求得，所以.

例12.（2019·全国高考真题（理））设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.

【答案】

【解析】由已知可得，

．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．

【压轴训练】

1．（2021·浙江高三学业考试）如图，椭圆的右焦点为分别为椭圆的上､下顶点，是椭圆上一点，，记椭圆的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，则，所以直线，与椭圆方程联立，所以点的横坐标是，，即，，整理为：，两边同时除以得：，，，所以，得，或（舍）.

2．（2020·山西大同市·大同一中高三）已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意如图，过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限），可知，，，垂足为，直线交轴于点，准线与轴的交点为，所以，则三角形是正三角形，因为是的中点，，所以是的中点，所以，，，所以，则，由三角形是正三角形可知在上的射影是是中点，所以，则，可得，所以抛物线方程为：．

3．（2020·天津高考模拟（理））已知分别双曲线的左右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若 ，则抛物线的准线方程为（    ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题得双曲线的方程为，所以.

所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得.

联立双曲线的方程和抛物线的方程得.

由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.

4．（2020·蕉岭县蕉岭中学高三）（多选）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（    ）

A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形

C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x

【答案】BCD

【详解】根据题意，作图如下：

因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以，又，所以为等边三角形，B正确；∠ABD＝90°，，过F作FC⊥AB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，，，所以A不正确，焦点到准线的距离为，所以C正确；抛物线的方程为：y2＝6x，所以D正确.

5．（2021·上海高三专题练习）已知为抛物线的焦点，、是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“、、三点共线”等价的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，.抛物线的焦点的坐标为，若、、三点共线，则.对于A选项，，解得；对于B选项，，解得；对于C选项，，

整理得，即，解得；对于D选项，，整理得，解得或.

6．（2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中）（多选）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，为线段的中点，则（   ）

A．以线段为直径的圆与直线轴相离             B．以线段为直径的圆与轴相切

C．当时，                      D．的最小值为

【答案】CD

【详解】对于A选项，的焦点，准线方程为，设、、在准线上的射影为、、，

由，， ，可知以线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故A错；对于B选项，设直线的方程为，设点、，联立，得，由韦达定理得，，

则，则，所以，以为直径的圆的半径为，设，则，则线段的中点到轴的距离为，则.当时，；当时，.

所以，以线段为直径的圆不一定与轴相切，故B错；对于C选项，，，，，则，，则，所以，，故C正确；对于D选项，由B选项知，，当且仅当时，取最小值.故D正确.

7. (2020河北衡水高三)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

【答案】A

【解析】法一：数形结合法

如图，设直线BM与y轴的交点为N，且点N的坐标为(0，m)，根据题意，点N是OE的中点，则E(0,2m)，从而直线AE的方程为＋＝1，因此点M的坐标为－c，.又△OBN∽△FBM，所以＝，即＝，解得＝，所以椭圆C的离心率为.

法二：交点法

同法一得直线AE的方程为＋＝1，直线BN的方程为＋＝1.又因为直线AE与直线BN交于点M，且PF⊥x轴，可设M(－c，n)．则消去n，解得＝，所以椭圆C的离心率为.

法三：三点共线法

同法一得直线AE的方程为＋＝1，由题意可知M，N(0，m)，B(a,0)三点共线，则＝，解得＝，所以椭圆C的离心率为.

法四：方程法

设M(－c，m)，则直线AM的方程为y＝(x＋a)，所以E.直线BM的方程为y＝(x－a)，与y轴交于点，由题意知，＝，即a＋c＝2(a－c)，解得＝，所以椭圆C的离心率为.

法五：几何法

在△AOE中，MF∥OE，所以＝.在△BFM中，ON∥MF，所以＝，即＝.

所以·＝·＝1，即a＋c＝2(a－c)，解得＝，所以椭圆C的离心率为.

8．（2020天津南开中学高考模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线 准线交双曲线左支交于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设抛物线 准线与横轴的交点为,∴的坐标为，

设在第二象限，由双曲线的对称性可知: ，

，∴的坐标为，焦距为，

∴设，又，把的坐标代入双曲线方程中，得

，故本题选C.

9．（2020·广西南宁市·南宁三中）已知椭圆：()的左右焦点分别、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率（    ）.

A．    B．    C．    D．

【答案】CD

【详解】当时，设，则由于，∴，，

∵，，∴椭圆的离心率为，当时，设，则由于，∴，，∵，，∴椭圆的离心率为，

10．（2020四川棠湖中学高三期末）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，

据此可得：，，

则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.

11．（2020·天津市新华中学高考模拟）设分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF1|＝24b，根据双曲定义可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得∴双曲线渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0，渐近线与抛物线的准线的交点坐标为：，，

三角形 的面积为：.

12．（2019·吉林高考模拟（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为，若，则此双曲线的标准方程可能为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，可知，又的斜率为，所以易得，在中，由余弦定理得，由双曲线的定义得，所以，则，所以此双曲线的标准方程可能为.

13．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三）如图，过原点O的直线AB交椭圆C：（a＞b＞0）于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是________.

【答案】

【详解】设，，则，，，由，则①，由B，M，Q三点共线，则，即②.又因为，，即，③，将①②代入③得.

14．（2020·全国高三专题练习）设F为抛物线的焦点，经过点的直线与抛物线交于A，B两点，且，则 __________．

【答案】

【详解】由题意知，经过点的直线要满足，所以，该直线的斜率必存在，且该直线必不平行于轴，设为，且，抛物线的焦点为，设，，，，，联立方程得，，消去，可得，，又由，可得，由抛物线方程得，，，

15．（2020广东高考模拟（理））已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为-4，直线，分别交抛物线于，两点，若A，B，F三点共线，则_______.

【答案】2

【解析】设，，则直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，解得：，故A点坐标为：

同理可得：B点坐标为：又，∴，，又A，B，F三点共线，∴

∴，由，∴，即又∴，∴