专题02函数的基本性质B辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

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2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）专题02函数的基本性质B辑1．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D设，则，函数单调递减，，故，，即，即，故.故选：D.2．已知定义在上的函数满足：，某同学由此前提条件出发，然后又补充了一个附加条件，再经过推理，他得出四个结论，并且给其编号：①.若时，是奇函数且一定是单调增函数；②.若，是偶函数且有最大值为1；③.若，则；④.若，则.请你确认该同学做出的所有编号中其中正确的是（    ）A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③④【答案】D由已知关系式，对于序号①，∵，故令，得，则，∴是奇函数，设时，由不能保证推出，故序号①不能肯定成立；对于序号②，∵时，令，则，进而有，∴是偶函数，此时不妨特取，显然有，即满足，且有最大值1.故序号②成立.对于序号③来说，∵序号②正确，显然，有，故序号③C正确.对于序号④，∵，特取，则，进而有，整理得①.且有②由①②得，推得，又得，∴是最小正周期为6的周期函数，根据，特取，则得.再取，即，解得，令，.于是，解得.∴.故序号④正确.综上所述，本题正确的序号为②③④.故选：D.3．已知函数与的图象上存在两对关于直线对称的点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B∵ 函数与的图象上存在两对关于直线对称的点，∴ 函数与函数的图象有两个交点，即方程，有两解，即方程，有两解，令，，则，当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数.故当时，，又，所以当时，，画出函数图象，如图：由图可知的取值范围.故选：B.4．已知函数，对于，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C对于，使得，等价于.因为函数.因为与在[0，1]上为增函数所以函数在[0，1]上为增函数，所以.同理可知函数在[0，4]上为增函数，则.则当时，，于是由，得；当时，，满足；当时，，于是由，得.综上可知，故选：C.5．已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A因为函数是奇函数，所以函数是偶函数.，即，又，所以，.函数的定义域为，所以，则函数在上为单调递增函数.又在上，，所以为偶函数，且在上单调递增.由，可得，对恒成立，则，对恒成立，，得，所以的取值范围是.故选：A.6．对于定义域为的函数，如果存在区间满足是上的单调函数，且在区间上的值域也为，则称函数为区间上的“保值函数”，为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数是上的“保值函数”；②若函数是上的“保值函数”，则；③对于函数存在区间，且，使函数为上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（    ）A．② B．③ C．①③ D．②③【答案】D由“保值函数”定义可知为区间上的“保值函数”则在上是单调函数且在区间时其值域也为，那么当函数为增函数时满足条件在上有两个不同的实数解，的函数就是“保值函数”，命题①中，虽满足在上单调但值域为，不是，故①为假命题；②中由的图象可知，函数在上单调且值域为，其为区间上的“保值函数”故②为真命题；③中，则由在成立，所以为上的增函数，再由解得有两个根，，构造函数，是减函数，，，由零点存在性定理知存在，使成立，故③为真命题．综上所有真命题的序号为②③，故选：D．7．若存在实数，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B对任意，不等式恒成立，等价于不等式恒成立，等价于恒成立，等价于恒成立，等价于函数的图象和函数的图象分别位于直线的两侧在直角坐标系内画出函数和函数的图象如图所示，由解得,所以两个函数图象的横坐标较小的交点坐标为，由图易得当时，取得最大值，令，解得，所以的取值范围为，故选：B8．函数．若存在，使得，则的取值范围是（    ）．A． B． C． D．【答案】D当时，，因此，可化为，即存在，使成立，由于的对称轴为，所以，当单调递增，因此只要，即，解得，又因，所以，当时，，，满足题意，综上，．故选：．9．设函数由方程确定，对于函数给出下列命题：①存在，，使得成立；②，，使得且同时成立；③对于任意，恒成立；④对任意，，；都有恒成立．其中正确的命题共有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A由方程知，当且时，方程为；当且时，方程为，不成立；当且时，方程为；当且时，方程为，不成立；作出函数的图象如图所示，对于①，是定义域R上的单调减函数，则对任意，都有恒成立，①错误；对于②，假设点在第一象限，则点也在第一象限，所以，该方程组没有实数解，所以该情况不可能；假设点在第四象限，则点在第二象限，所以，该方程组没有实数解，所以该种情况不可能；同理点在第二象限，则点在第四象限，也不可能．故该命题是假命题．对于③，由图形知，对于任意，有即恒成立，③正确；对于④，不妨令，则为，又由题，则 ，即不恒成立，所以④错误．综上知，正确的命题序号是③．故选：A10．设函数，函数的图象与的图象关于直线对称．若实数，满足，且有极小值，则实数的值是（    ）．A．3 B．2 C．1 D．【答案】B设为函数的图象上任意一点，则关于直线对称点为在函数的图象上，所以，即，令，则，，所以，则，令，得，当时，，函数为减函数，当时，，函数为增函数，所以当，有极小值，解得，故选：B11．若不等式．对x∈恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于（    ）A． B． C． D．【答案】D由，则，当或时，即或时，，当时，即时，，所以当或时，，当时，，设函数，则在上单调递增，在上单调递减，且函数的图象关于直线对称，所以，所以，解得，又由，解得，所以，.故选：D.12．函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是T，已知，.给出下列四个判断：①对于给定的正整数，存在，使得成立；②当a时，对于给定的正整数，存在，使得成立；③当时，函数既有对称轴又有对称中心；④当时，的值只有0或.其中正确判断的有(    )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C对于①，要使成立，即，当时，，，故，故①正确；对于②，要使成立，即，取，此时，故②正确；对于③④，当时，为将右移个单位，此时周期变为，既有对称轴也有对称中心，值域为，当时，为将右移个单位，此时，当时，为将右移个单位，此时，故③正确，④错误；故选：C.13．当时，函数恒成立，则的最大值为（    ）A． B．2 C． D．1【答案】C解：由题可知，时，函数恒成立，即为恒成立，设，即，为最小正周期为2的函数，且，，设，可得，分别作出和的图象，可得它们有两个交点，，，由题意可得当，时，恒成立，即恒成立，此时取得最大值.故选：C.14．函数，若存在正实数，其中且，使得，则的最大值为（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C，当时，，，，，即，所以，，由知，集合，因为且，所以，，所以，即，又，所以的最大值为8.故选：C．15．已知是定义在R上的奇函数，当时，.对于任意不小于2的正整数n，当时，都满足.给出以下命题：①的值域为；②当时，；③当时，方程有且只有三个实根.以上三个命题中，所有真命题的序号是（    ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A因为当时，都满足所以当时，，当时，，从而类推可得当时，当时，，即②正确；当时，因为是定义在R上的奇函数，所以，即①正确；当时，由图可知 不止三个交点，所以③错误；故选：A16．定义域均为D的三个函数，，满足条件：对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”.已知函数，，是关于的“对称函数“，记的定义域为D，若对任意，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）A．. B．. C．. D．.【答案】C解：由函数，，是关于的“对称函数”，可得，，，，可得的解为，由，（1），，且在递增，，递减，可得的最小值为，最大值为1，可得的值域为，，而在，递增，可得的值域为，，由题意可得，，，即有，即为，解得或，则的范围是，故选：．17．定义函数为不大于的最大整数，对于函数有以下四个命题：①；②在每一个区间，上，都是增函数；③；④的定义域是，值域是.其中真命题的序号是（    ）.A．③④ B．①③④ C．②④ D．①②④【答案】D画出的图象如图所示，由函数的图象可知，是最小正周期为1的函数，且当时，，所以，所以①②④都正确，而，，所以③错误.故选：D18．若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中是“柯西函数”的为（    ）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B由柯西不等式得，对任意实数恒成立，当且仅当时取等号，若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则函数在其图象上存在不同的两点，使得共线，即存在过原点的直线与的图象有两个不同的交点．对于①，方程，即，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点处，与相切，所以最多有1个正解；        对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数．19．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的是（    ）①在R上单调递减②的图像关于原点对称③的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3④函数不存在零点A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】C，当，时不成立；当，时，；当，时，；当，时，；画出图像，如图所示：由图判断函数在R上单调递减，故①正确，②错误.由图判断图象上的点到原点距离的最小值点应在，的图象上，即满足，设图象上的点，，当时取最小值3，故③正确；当，即，函数的零点，就是函数和的交点，而是曲线，，和，，的渐近线，所以没有交点，由图象可知，和，，没有交点，所以函数不存在零点，故④正确.故选：C.20．设定义在上的函数单调递增恒成立，且满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A若，则，即，因为函数在上单调递增且，所以，而与矛盾，故，排除B、C；若，则，即，因为函数在上单调递增且，所以，而与矛盾，故排除D.故选：A21．若函数，则（    ）A．B．C．D．【答案】A解：依题意，，因为，故函数关于直线对称，令，且，为偶函数.，可知：当时，，故；当时，，故，故函数在上单调递增，又因为为偶函数，故在上单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为，，，即.故选：A.22．定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B构造函数，则，当时，.当时，则，；当时，则，.所以，函数在上单调递增，在上单调递减.又，所以，即，故函数的图象关于直线对称．对于A选项，，即，与的大小关系不确定，A选项错误；对于B选项，，即，即，B选项正确；对于C、D选项，，即，C、D选项错误.故选：B．23．已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D①当时，在上单调递增，所以，因此满足题意；②当时，在上单调递增，在上单调递减因此⑴当时，在上单调递增，所以， 或或⑵当时，在上单调递增，在上单调递减，所以；综上，的取值范围为，故选：D24．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A解：∵函数是奇函数∴函数的图象关于点对称∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，即满足又∵∴，从而∴，即∴函数的周期为2，且图象关于直线对称.画出函数的图象如图所示：结合图象可得区间内有8个零点.故选：A.25．定义为中的最大值，设，则的最小值是（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】画出函数的图象，如图由图可知，函数在 处取得最小值，即的最小值为，故选B.26．已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B因为定义域为的函数的图像关于原点对称，所以，因为，，两式相减可得，，故，故；因为，故所求切线方程为，故选：B．27．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式即，即，观察函数图像可得实数的取值范围是.故选A.28．已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为（  ）A． B． C． D．【答案】C根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，又由，∴，所以，所以，所以，因为，所以零点所在的区间为（3，4）.29．已知函数若存在实数满足，其中，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】B画出 图象，如图，，由二次函数的性质可得，由图可知，，，，，，即的取值范围是，故选B.30．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（　　）A． B．1 C．3 D．5【答案】C∵是定义在R上的奇函数，且当时，∴当时， 则 即 则 作出的图象如图：∵的图象与的图象关于对称∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于对称即则所有解的和为故选C．