专题26 对数函数的图象与性质-2022新高考高中数学二轮复习技巧之函数专题汇编

对数函数的图象与性质

一．选择题（共10小题）

1．（2019•铁东区校级一模）已知函数，则的增区间为　　

A． B． C．， D．，

【解析】解：由，

解得：，

而的对称轴是，开口向下，

故在递增，在递减，

由递增，根据复合函数同增异减的原则，

得在递增，

故选：．

2．（2019•延边州模拟）已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：由已知，得到方程在上有解．

设，求导得：，

，在有唯一的极值点，

，（e），（1），且知（e），

故方程在上有解等价于．

从而的取值范围为，．

故选：．

3．（2019•吉林四模）已知，函数与函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：，

则，

从而，与，

函数与函数的单调性是在定义域内同增同减，

结合选项可知选，

故选：．

4．（2019秋•怀化期末）已知函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系中的图象是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由已知中函数的图象可知：，

故函数为增函数与为减函数，

故选：．

5．（2019•肇庆二模）已知，则是　　

A．是奇函数，且在是增函数 

B．是偶函数，且在是增函数 

C．是奇函数，且在是减函数 

D．是偶函数，且在是减函数

【解析】解：由得：，

故函数的定义域为，关于原点对称，

又由，

故函数为偶函数，

而，

在递减，在递增，

故函数在递减，

故选：．

6．（2019•山西三模）已知函数，则函数的大致图象　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：当时，故排除，；

时，即时，，

此函数在时函数值为正，排除，

故选：．

7．（2008•山东）已知函数，的图象如图所示，则，满足的关系是　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数是增函数，

令，必有，

为增函数．

，，

当时，，

．

又，

，

．

故选：．

8．（2019•焦作一模）若函数的值域为，则函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：若函数的值域为，

则，

故函数的图象大致是：

故选：．

9．（2019•沈阳一模）若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：函数的图象过点，．是减函数，故错；

是增函数，且过，两点，故正确．

是减函数，故错．

是减函数，故错．

故选：．

10．（2020•肥城市模拟）对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由对数函数且与二次函数可知，

①当时，此时，对数函数为减函数，

而二次函数开口向下，且其对称轴为，故排除与；

②当时，此时，对数函数为增函数，

而二次函数开口向上，且其对称轴为，故错误，而符合题意．

故选：．

二．填空题（共17小题）

11．（2019秋•天津期末）函数的单调递增区间是　　．

【解析】解：由得，，，

令，由于函数的对称轴为轴，开口向上，

所以在上递减，在递增，

又由函数是定义域内的减函数．

所以原函数在上递増．

故答案为：．

12．（2020春•洛阳期末）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则（3）　9　．

【解析】解：，

当，即时，，

点的坐标是．

幂函数的图象过点，

所以，解得；

所以幂函数为

则（3）．

故答案为：9．

13．（2019•衡水二模）如图，已知过原点的直线与函数的图象交于，两点，分别过，作轴的平行线与函数图象交于，两点，若轴，则四边形的面积为　　．

【解析】解：设点、的横坐标分别为、由题设知，，．

则点、纵坐标分别为、．

因为、在过点的直线上，所以，

点、坐标分别为，，，．

由于平行于轴知

，

即得，

．

代入得．

由于知，

．

考虑解得．

于是点的坐标为，即，

，，，，，．

梯形的面积为．

故答案为：．

14．（2019春•广陵区校级月考）已知函数，则满足不等式（3）的的取值范围为　　．

【解析】解：函数，则满足不等式（3），

，求得，求得，

故答案为：．

15．（2019•上海模拟）设，若（a），则实数的取值范围为　　．

【解析】解：由题意，在上单调递增，

（a），

，

，

故答案为

16．（2019•张掖一模）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是　　．

【解析】解：令，则由函数 在区间，上为减函数，

可得函数在区间，上为增函数且（2），

故有，解得，

故实数的取值范围是，

故答案为：

17．（2019春•民乐县校级月考）若函数的值域为，则实数的取值范围是　，　

【解析】解：设，由于函数的值域为，则函数的值域包含，即，

，令，可得．

当时，；当时，．

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，解得．

因此，实数的取值范围是，．

故答案为：，．

18．（2019秋•红塔区校级期末）函数，且的图象恒过定点，则点的坐标是　　．

【解析】解：根据题意：令，

，此时，

定点坐标是．

故答案为：

19．（2019秋•天心区校级期末）函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则（9）　　．

【解析】解析：令，即；

设，则，；

所以，

故答案为：．

20．（2019•连云港三模）如图，已知正方形的边长为2，平行于轴，顶点，和分别在函数，和的图象上，则实数的值为　　．

【解析】解：设，平行于轴，即，，

正方形边长，解得．

由已知，垂直于轴，，正方形边长，即，，

故答案为：．

21．（2019秋•秦州区校级月考）函数的单调减区间是　　．

【解析】解：记，

根据对数函数的定义域，真数，

解得，即的定义域为，

而二次函数图象的对称轴为，

根据复合函数单调性的判断规则，单调性分类如下：

①当时，单调递增，单调递减；

②当，时，单调递减，单调递增；

故填：．

22．（2019秋•金牛区校级期中）函数恒过定点的坐标为　　．

【解析】解：由得，，此时，

即函数过定点，

故答案为：，

23．（2019•香洲区校级学业考试）若函数，且恒过定点，则的值为　0　．

【解析】解：依题意 为定值，可得，即，所以，

．

故填：0．

24．（2019•广东二模）已知函数，当时，关于的不等式的解集为　　．

【解析】解：函数，

当时，可知时单调递增函数，

当时，可得，

那么不等式的解集，

即，

解得：．

故答案为

25．（2019秋•徐汇区校级期末）已知且的图象过定点，点在指数函数的图象上，则　　．

【解析】解：由的任意性，时，，故且的图象过定点，

把代入指数函数，且，得，

所以，

故答案为：．

26．（2019秋•椒江区校级期中）若函数且，图象恒过定点，则　　；函数的单调递增区间为　　

【解析】解：当时，即，不论为什么时使函数有意义的数，函数值都为1，即恒过，，，；

函数，定义域，，，

令，递增区间为，在定义域内为增函数，复合函数根据同增异减性质，函数递增区间为；

答案为：，．

27．（2019秋•雅安期末）函数的图象恒过定点，点在指数函数的图象上，则　　．

【解析】解：由题意，令，则，，

即点，

由在指数函数的图象上可得，，

则，

，

故答案为：．

三．解答题（共6小题）

28．（2019秋•蚌埠期中）设为奇函数，为常数．

（1）确定的值

（2）求证：是上的增函数

（3）若对于区间，上的每一个值，不等式恒成立，求实数取值范围．

【解析】解：（1）是奇函数，定义域关于原点对称，

由，得．

令，得，，

，解得．

（2）由（1），

令，

设任意，且，，

则，

，，，，

，即．

是减函数，

又为减函数，

在上为增函数．

（3）由题意知，时恒成立，

令，，

由（2）知在，上为增函数，

又在上也是增函数，

故在上为增函数，

的最小值为（3），

，故实数的范围是．

29．（2019秋•北海期末）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．

（1）求的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围．

【解析】解：（1）函数的图象关于原点对称，

，即，

，恒成立，

即，即恒成立，所以，解得，

又时，无意义，故；

（2）时，恒成立，即，

在恒成立，

由于是减函数，故当，函数取到最大值，

，即实数的取值范围是；

（3）在，上是增函数，在，上是减函数，

只需要即可保证关于的方程在，上有解，下解此不等式组．

代入函数解析式得，解得，

即当时关于的方程在，上有解．

30．（2019秋•拉萨校级期末）已知函数，且．

（1）求函数的定义域；

（2）求满足的实数的取值范围．

【解析】解：由题意可得，，

解可得，，

函数的定义域为，

（2）由，

可得，

①时，，

解可得，，

②时，，

解可得，．

31．（2019秋•湖州期末）已知函数的图象过点，．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性并求其值域；

（Ⅱ）若关于的方程在，上有解，求实数的取值范围．

【解析】解：函数的图象过点，．

故，

（Ⅰ）函数

的定义域为，关于原点对称，

且，

故为偶函数，

又由，，

故，

即和值域为，；

（Ⅱ）若关于的方程在，上有解，

即，即在，上有解，

即在，上有解，

由对勾函数的图象和性质可得：

当时，取最小值4，当，或时，取最大值5，

故实数的取值范围是，．

32．（2019秋•海淀区校级期末）已知函数．

（1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性；

（2）记函数，求函数的值域；

（3）若不等式有解，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）函数，

，解得．

函数的定义域为．

，

是偶函数．

（2），

．

，

函数，，

，，

函数的值域是，．

（3）不等式有解，，

令，由于，

的最大值为．

实数的取值范围为．

33．（2019春•包河区校级月考）已知关于的不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）若，求函数的最大值和最小值．

【解析】解：（1）由，

，

即，

解得：，

故；

（2），

，

令得，，，，

根据复合函数的单调性得：

当时，即时，，

当时，即时，．