专题05抽象函数B辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

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2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）
专题05抽象函数B辑
1．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+a），若对于x属于[0，1]都有f(-x2+tx+12)≥1-log23，则实数t的取值范围为　　
【解析】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，
所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），
当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），
又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．
当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x=-12，或x=52，所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[-12，52]．
设g（x）=-x2+tx+12，若对于x属于[0，1]都有f(-x2+tx+12)≥1-log23，因为g（0）=12∈[-12，52]．，故g（x）∈[-12，52]．
①当t2＜0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t-12，12]⊆[-12，52]．得t≥0，无解．
②0≤t≤1时，0≤t2≤12，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t﹣1，t24+12]⊆[-12，52]．得t∈[0，1]．
③当1＜t≤2时，即12＜t2≤2，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[12，t24+12]⊆[-12，52]．得t∈（1，2]，
④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[12，t-12]⊆[-12，52]．解得，t∈（2，3]，
综上t∈[0，3]．
故填：[0，3]．
2．设y＝f（x）是定义在R上的函数，对任意的x∈R，恒有f（x）+f（﹣x）＝x2成立，g(x)=f(x)-x22，若y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围是　　．
【解析】解：由f（x）+f（﹣x）＝x2，以及g(x)=f(x)-x22，可得g（x）+g（﹣x）＝0，即g（x）为奇函数，
由于y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，y＝x2在（﹣∞，0]上单调递减，所以g（x）在（﹣∞，0]上单调递增，
从而g（x）在R上单调递增，由于f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则f（2﹣a）﹣（2﹣a）≥f（a）﹣a，即g（2﹣a）≥g（a），
所以2﹣a≥a，故a≤1．
故答案为：（﹣∞，1]．
3．定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f(x+2)=2+4f(x)-f2(x)，则f（2022）＝　　．
【解析】解：根据题意，因为f(x+2)=2+4f(x)-f2(x)，所以f(x+2)-2=4f(x)-f2(x)，
即（f（x+2）﹣2）2＝4f（x）﹣f2（x），即f2（x+2）﹣4f（x+2）＝﹣[f2（x）﹣4f（x）]﹣4，
令g（x）＝f2（x）﹣4f（x），则g（x+2）＝﹣g（x）﹣2，即g（x+2）+g（x）＝﹣2，①
则有g（x+4）+g（x+2）＝﹣2，②
联立①②可得：g（x+4）＝g（x），
故函数g（x）是周期为4的周期函数，
所以g（2022）＝g（4×505+1）＝g（1），
又因为f（x）是偶函数，则g（x）＝f2（x）﹣4f（x）为偶函数，
又因为g（1）＝﹣g（﹣1）﹣4，所以g（1）＝﹣2，即f2（2022）﹣4f（2022）＝﹣2，
解得f(2022)=2±2，
又f(x+2)=2+4f(x)-f2(x)≥2，
即f（2022）＞2，即f(2022)=2+2；
故答案为：2+2．
4．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥-89，则m的取值范围是　　．
【解析】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），
∵x∈（0，1]时，f（x）＝2x（x﹣1）∈[-12，0]，
∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣1）（x﹣2）∈[﹣1，0]；
当x∈（1，2]时，由4（x﹣1）（x﹣2）=-89解得x=43或x=53，
若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥-89，则m≤43．
故答案为：（﹣∞，43]．

5．设偶函数f（x）满足：f（1）＝2，且当时xy≠0时，f(x2+y2)=f(x)f(y)f(x)+f(y)，则f（﹣5）＝　　．
【解析】解：令x＝y＝1，可得f（2）=f(1)f(1)f(1)+f(1)=1，∴f（3）=f(1)f(2)f(1)+f(2)=2×12+1=23
f（2）=f(2)f(2)f(2)+f(2)=12，f（5）=25，f（3）=29，
∴f（n）=2n2
∴f（5）=225，
∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣5）＝f（5）=225．
故答案为：225．
6．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（1+x）＝f（1﹣x），②在[1，+∞）上为增函数；若x∈[12，1]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，则实数a的取值范围为　　．
【解析】解：∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（x）的函数图象关于直线x＝1对称，
∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，
∵当x∈[12，1]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，
∴|ax﹣1|＜|1﹣（x﹣1）|在[12，1]上恒成立，
即x﹣2＜ax﹣1＜2﹣x在[12，1]上恒成立，
∴1-1x＜a＜3x-1在[12，1]上恒成立．
设m（x）＝1-1x，n（x）=3x-1，x∈[12，1]，
m（x）的最大值为m（1）＝0，n（x）的最小值为n（1）＝2．
∴0＜a＜2．
故答案为：（0，2）．
7．已知函数g（x）对任意的x∈R，有g（﹣x）+g（x）＝x2．设函数f（x）＝g（x）-x22，且f（x）在区间[0，+∞）上单调递增．若f（a）+f（a﹣2）≤0，则实数a的取值范围为　　．
【解析】解：由f（x）＝g（x）-x22得：f（﹣x）＝g（﹣x）-x22，
∴f（x）+f（﹣x）＝g（x）+g（﹣x）﹣x2＝0，
∴f（x）在R上是奇函数，又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在R上单调递增，
∵f（a）+f（a﹣2）≤0，∴f（a）≤﹣f（a﹣2）＝f（2﹣a），
∴a≤2﹣a，即a≤1．
故答案为：（﹣∞，1]．
8．已知函数f（x）满足f(x+1)=1+f(x)1-f(x)，当f（1）＝2时，f（2018）+f（2019）的值为　　．
【解析】解：∵f（x+1）=1+f(x)1-f(x)，
∴f（x+2）=1+f(1+x)1-f(1+x)=1+1+f(x)1-f(x)1+1+f(x)1-f(x)=-1f(x)
则f（x+4）=-1f(x+2)=f（x）
∴函数f（x）是周期为4的周期函数
∴f（2018）+f（2019）＝f（4×504+2）+f（4×504+3）＝f（2）+f（3），
∵f（1）＝2，
∴1+f(1)1-f(1)=1+21-2=-3，f（3）＝f（1+2）=-1f(1)=-12，
∴f（2018）+f（2019）＝﹣3-12=-72，
故答案为：-72．
9．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是　　．
【解析】解：∵f（x+2）＝f（x）﹣f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，
令x＝﹣1可得f（﹣1+2）＝f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）＝f（1），
∴f（1）＝0 则有f（x+2）＝f（x），
∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18＝﹣2（x﹣3）2，
函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．
∵函数y＝f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
令g（x）＝loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函数y＝f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
则有g（2）＞f（2），可得 loga（2+1）＞f（2）＝﹣2，
即loga3＞﹣2，∴3＜1a2，解得-33＜a＜33，又0＜a＜1，∴0＜a＜33，
故答案为：（0，33）．

10．若f（x）+f（1﹣x）＝4，则f（0）+f（1n）+…+f（n-1n）+f（1）（n∈N*）＝　　．
【解析】解：令S＝f（0）+f（1n）+…+f（n-1n）+f（1），
则S＝f（1）+f（n-1n）+…+f（1n）+f（0），
∵f（x）+f（1﹣x）＝4，
∴2S＝4（n+1），
故f（0）+f（1n）+…+f（n-1n）+f（1）（n∈N*）＝2n+2
故答案为：2n+2．
11．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x+32）＝﹣f（x），且函数y＝f（x-34）为奇函数，给出以下四个命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）的图象关于点（-34，0）对称；
③函数f（x）为R上的偶函数；
④函数f（x）为R上的单调函数；
其中真命题的序号为　　（写出所有真命题的序号）
【解析】解：对于①，∵f（x+32）＝﹣f（x），∴f（x+3）＝﹣f（x+32），
∴f（x）＝f（x+3），
∴f（x）是周期为3的函数，故①正确；
对于②，∵函数y＝f（x-34）为奇函数，∴y＝f（x-34）的图象关于点（0，0）对称，
∵y＝f（x-34）的函数图象是由y＝f（x）的图象向右平移34个单位得到的，
∴y＝f（x）的函数图象关于点（-34，0）对称，故②正确；
对于③，∵f（x+32）＝﹣f（x），∴f（x-94+32）＝﹣f（x-94），即f（x-34）＝﹣f（x-94），
又f（x）的周期为3，∴f（x-94）＝f（x-94+3）＝f（x+34），
∴f（x-34）＝﹣f（x+34），
又y＝f（x-34）是奇函数，∴f（x-34）＝﹣f（﹣x-34），
∴f（x+34）＝f（﹣x-34），令x+34=t，则f（t）＝f（﹣t），
∴f（t）是偶函数，即f（x）是偶函数，故③正确；
对于④，由③知f（x）是偶函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上的单调性相反，
∴f（x）在R上不单调，故④错误；
故答案为①②③．
12．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（1-2）＝　　．
【解析】解：∵当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），
∴f（2-1）＝log22=12，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（1-2）＝﹣f（2-1）=-12，
故答案为：-12．
13．若定义域为R的函数y＝f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）＝0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ﹣伴随函数”．给出下列四个关于“λ﹣伴随函数”的命题：①f（x）＝0是常数函数中唯一一个“λ﹣伴随函数”；②f（x）＝x+1是“λ﹣伴随函数”；③f（x）＝2x是“λ﹣伴随函数”；④当λ＞0时，“λ﹣伴随函数”f（x）在（0，λ）内至少有一个零点．所有真命题的序号为　　．
【解析】解：对于①，假设常数函数f（x）＝k为λ﹣伴随函数”，则k+λk＝0，∴（1+λ）k＝0，
∴当λ＝﹣1或k＝0．
∴任意一个常数函数都是“λ﹣伴随函数”，其中λ＝﹣1．
故①错误；
对于②，假设f（x）＝x+1是“λ﹣伴随函数”，则x+λ+1+λ（x+1）＝0恒成立，
即（1+λ）x+2λ+1＝0恒成立，
∴1+λ=02λ+1=0，无解，故f（x）＝x+1不是“λ﹣伴随函数”，
故②错误；
对于③，假设f（x）＝2x是“λ﹣伴随函数”，则2x+λ+λ•2x＝0恒成立，
即（2λ+λ）•2x＝0恒成立，
∴2λ+λ＝0，
做出y＝2x和y＝﹣x的函数图象如图：
由图象可知方程2λ+λ＝0有解，即f（x）＝x+1是“λ﹣伴随函数”，
故③正确；
对于④，∵f（x）是“λ﹣伴随函数”，∴f（x+λ）+λf（x）＝0恒成立，
∴f（λ）+λf（0）＝0，
∴f（0）f（λ）+λf2（0）＝0，即f（0）•f（λ）＝﹣λ2f（0）≤0．
若f（0）≠0，则f（0）•f（λ）＜0，∴f（x）在（0，λ）上至少存在一个零点，
若f（0）＝0，则f（0）•f（λ）＝0，则f（x）在（0，λ）上可能存在零点，也可能不存在零点．
故④错误．
故答案为③．

14．设函数y＝f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）＝T•f （x），则称函数y＝f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y＝f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y＝f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f（x）＝x是“似周期函数”；
③函数f（x）＝2x是“似周期函数”；
④如果函数f（x）＝cosωx是“似周期函数”，那么“ω＝kπ，k∈Z”．
其中是真命题的序号是　　．（写出所有满足条件的命题序号）
【解析】解：①∵似周期函数”y＝f（x）的“似周期”为﹣1，
∴f（x﹣1）＝﹣f（x），
∴f（x﹣2）＝﹣f（x﹣1）＝f（x），
故它是周期为2的周期函数，
故正确；
②若函数f（x）＝x是“似周期函数”，则f（x+T）＝T•f （x），
即x+T＝Tx恒成立；
故（T﹣1）x＝T恒成立，
上式不可能恒成立；
故错误；
③若函数f（x）＝2x是“似周期函数”，则f（x+T）＝T•f （x），
即2x+T＝T2x恒成立；
故2T＝T成立，无解；
故错误；
④若函数f（x）＝cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）＝T•f （x），
即cos（ω（x+T））＝Tcosωx恒成立；
故cos（ωx+ωT）＝Tcosωx恒成立；
即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT＝Tcosωx恒成立，
故cosωT=TsinωT=0，
故ω＝kπ，k∈Z；
故正确；
故答案为：①④．
15．已知函数y＝f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）＝﹣f（1﹣x）．当x∈（2，3）时，f（x）＝log2（x﹣1），给出以下4个结论：
①函数y＝f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；
②函数y＝|f（x）|是以2为周期的周期函数；
③当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝﹣log2（1﹣x）；
④函数y＝f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增．
其中所有正确结论的序号为　　．
【解析】解：令x取x+1代入f（1+x）＝﹣f（1﹣x）得，f（x+2）＝﹣f（﹣x）
∵函数y＝f（x）为奇函数，∴f（x+2）＝f（x），则函数是周期为2的周期函数，
设0＜x＜1，则2＜x+2＜3，
∵当x∈（2，3）时，f（x）＝log2（x﹣1），
∴f（x）＝f（x+2）＝log2（x+1），
设﹣1＜x＜﹣0，则0＜﹣x＜1，
由f（x）＝﹣f（﹣x）得，f（x）＝﹣log2（﹣x+1），
根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象：

由上图得，函数y＝f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；
且函数y＝|f（x）|的图象是将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去，其他不变，
则函数y＝|f（x）|是以2为周期的周期函数；
故①②③正确，
而函数y＝f（|x|）=f(x)x≥0f(-x)x＜0，则图象如下图：

由图得，图象关于y轴对称，故y＝f（|x|）在（k，k+1）（ k∈Z）上不是单调递增的，
故④不正确，
故答案为：①②③．
16．已知函数f（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，函数g（x）＝kx（k＞0），若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），则正数k的取值范围是　　．
【解析】解：∵函数f（x）是偶函数，
当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，
∴f（x）＝x2，x∈[﹣1，1]，
∵定义在R上的函数f（x）的周期是2，
作出函数f（x）的图象，
∵不等式f（x）≤g（x）的解集是
[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），
∴函数直线y＝kx在[0，1]，[1，3]内相交，
且在当x≥5时，不等式无解，
当直线经过点A（3，1）时，y=13x，
此时不等式的解集不满足，
当直线经过点B（5，1）时，y=15x，此时不等式的解集满足条件，
则若不等式f（x）≤g（x）的解集是[0，a]∪[b，c]∪[d，+∞）（d＞c＞b＞a＞0），
则k满足15≤k＜13，
即正数k的取值范围是[15，13）．
故答案为：[15，13)

17．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：f（x）﹣f（y）＝f（x-y1-xy），当x∈（﹣1，0）时，有f（x）＞0，且f（-12）＝1．设m＝f（15）+f（111）+…+f（1n2+n-1）n≥2，n∈N*，则实数m与﹣1的大小关系是　　．
【解析】解：∵函数f（x）满足f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)，
令x＝y＝0得f（0）＝0；
令x＝0得﹣f（y）＝f（﹣y）．
∴f（x）在（﹣1，1）为奇函数，单调减函数且在（﹣1，0）时，f（x）＞0，
则在（0，1）时f（x）＜0．又f（12）＝﹣1，
∵f（1n2+n-1）＝f（1n-1n+11-1n1n+1）
＝f（1n）﹣f（1n+1），
∴m＝f（15）+f（111）+…+f（1n2+n-1）
＝[f（12）﹣f（13）]+[f（13）﹣f（14）]+…+[f（1n）﹣f（1n+1）]
＝f（12）﹣f（1n+1）＝﹣1﹣f（1n+1）＞﹣1，
故答案为：m＞﹣1．
18．已知函数f（x）满足f（a+b）＝f（a）•f（b），f（1）＝2．则f2(1)+f(2)f(1)+f2(2)+f(4)f(3)+f2(3)+f(6)f(5)+⋯+f2(2016)+f(4032)f(4031)=　　．
【解析】解：函数f（x）满足f（a+b）＝f（a）•f（b），
当a＝b时，可得f（2a）＝f2（a），
令b＝1，a＝n，可得f（n+1）＝f（n）•f（1），
即：f(n+1)f(n)=f(1)=2，
则f2(1)+f(2)f(1)+f2(2)+f(4)f(3)+f2(3)+f(6)f(5)+⋯+f2(2016)+f(4032)f(4031)
=2f(2)f(1)+2f(4)f(3)+⋯+2f(4032)f(4031)
＝2[f（1）+f（1）+f（1）+…+f（1）]＝2×2016×2
＝8064．
故答案为：8064．
19．已知f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（3+2x）＝f（7﹣2x），若f（x）＝0恰有n个不同实数根，且这n个不同实数根之和等于75，则n＝　　．
【解析】解：∀x∈R，f（3+2x）＝f（7﹣2x），
∴令t＝3+2x，2x＝t﹣3．
∴f（t）＝f（10﹣t）\
∴f（x）＝f（10﹣x）
∵f（5）＝0，
∵（75﹣5）÷10＝7，
∴n＝2×7+1＝15．
故答案为15．
20．定义在R上的函数，对任意实数，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）＝2，记an＝f（n）（n∈N*），则a2016＝　　．
【解析】解：∵f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2；
∴f（x+1）+2≤f（x）≤f（x）+3，
∴f（x+1）≤f（x）+1，
∵f（x+1）+1≥f（x+2）≥f（x）+2，
∴f（x+1）≥f（x）+1，
∴f（x+1）＝f（x）+1；
∴f（2016）＝f（1）+2015＝2016，
故答案为：2016．
21．设函数f（x）＝|lg（x+1）|，实数a，b（a＜b）满足f（a）＝f（-b+1b+2），f（10a+6b+21）＝4lg2，则a+b的值为　　．
【解析】解：因为f（a）＝f（-b+1b+2），所以|lg（a+1）|＝|lg（-b+1b+2+1）|＝|lg（1b+2）|＝|lg（b+2）|，
所以a+1＝b+2，或（a+1）（b+2）＝1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）＝1．
又由f（a）＝|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，
于是0＜a+1＜1＜b+2．
所以（10a+6b+21）+1＝10（a+1）+6（b+2）＝6（b+2）+10b+2＞1．
从而f（10a+6b+21）＝|lg[6（b+2）+10b+2]|＝lg[6（b+2）+10b+2]．
又f（10a+6b+21）＝4lg2，
所以lg[6（b+2）+10b+2]＝4lg2，
故6（b+2）+10b+2=16．解得b=-13或b＝﹣1（舍去）．
把b=-13代入（a+1）（b+2）＝1解得a=-25．
所以 a=-25，b=-13．
a+b=-1115．
故答案为：-1115．
22．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”给出函数：
①y＝﹣x3+1，②y＝3x﹣2sinx﹣2cosx③y=ln|x|，x≠00，x=0④y=x2+4x，x≥0-x2+x，x＜0．
以上函数为“Z函数”的序号为　　．
【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，
∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①函数y＝﹣x3+1在定义域上单调递减．不满足条件．
②y＝3x﹣2sinx﹣2cosx，y′＝3﹣2cosx+2sinx＝3+2（sinx﹣cosx）＝3+22sin（x-π4）＞0，函数单调递增，满足条件．
③f（x）＝y=ln|x|，x≠00，x=0，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
④y=x2+4x，x≥0-x2+x，x＜0，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递增，满足条件．
故答案为：②④
23．已知集合M＝{f（x）|f2（x）﹣f2（y）＝f（x+y）•f（x﹣y），x，y∈R}，有下列命题
①若f1（x）=1，x≥0-1，x＜0则f1（x）∈M；
②若f2（x）＝2x，则f2（x）∈M；
③若f3（x）∈M，则y＝f3（x）的图象关于原点对称；
④若f4（x）∈M则对于任意不等的实数x1，x2，总有f4(x1)-f4(x2)x1-x2＜0成立．
其中所有正确命题的序号是　　．
【解析】解：①当f1（x）=1，x≥0-1，x＜0时可计算f2（x）﹣f2（y）与f（x+y）•f（x﹣y）不恒等．
②当f（x）＝2x时，f2（x）﹣f2（y）＝f（x+y）•f（x﹣y）成立．
③令x＝y＝0，得f（0）＝0
令x＝0，则由f2（x）﹣f2（y）＝f（x+y）•f（x﹣y）得：
f（y）•f（﹣y）＝﹣f2（y）
所以f（x）是奇函数，其图象关于原点对称．
④如函数f（x）满足条件：f2（x）﹣f2（y）＝f（x+y）•f（x﹣y），但在定义域上是增函数
故只有②③正确
故答案为：②③
24．定义在实数集R上的函数y＝f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实数t使得f（t+x）＝﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t的函数”．给出下列“关于t的函数”的结论：
①f（x）＝0是常数函数中唯一一个“关于t的函数”；
②“关于12的函数”至少有一个零点；
③f（x）＝x2是一个“关于t的函数”．
其中正确结论的序号是　　．
【解析】解：①若f（x）＝c≠0，取t＝﹣1，则f（x﹣1）﹣f（x）＝c﹣c＝0，
即f（x）＝c≠0是一个“t函数”；故f（x）＝0是常数函数中唯一一个“关于t的函数”错误．
②若f（x）是“是关于12的函数”，则f（x+12）+12f（x）＝0，取x＝0，则f（12）+12f（0）＝0，
若f（0）、f （12）任意一个为0，则函数f（x）有零点；
若f（0）、f （12）均不为0，
则f（0）、f （12）异号，由零点存在性定理知，在（0，12）区间内存在零点；
故“关于12的函数”至少有一个零点，正确；
③若f（x）＝x2是一个“关于t函数”，则（x+t）2＝﹣tx2，求得t＝0且t＝﹣1，矛盾．故不正确，
故正确的结论是②，
故答案为：②
25．设函数f（x）、g（x）的定义域分别为DJ，DE，且DJ⊆DE．若对于任意x⊆DJ，都有g（x）＝f（x），则称函数g（x）为f（x）在DE上的一个延拓函数．设f（x）＝ex（x+1）（x＜0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，给出以下命题：
①当x＞0时，g（x）＝e﹣x（x﹣1）；
②函数g（x）有5个零点；
③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；
④函数g（x）的极大值为1，极小值为﹣1；
⑤∀x1，x2∈R，都有|g（x1）﹣g（x2）|＜2
其中正确的命题是　　（填上所有正确的命题序号）
【解析】解：①由题意得，若x＞0时，则﹣x＜0，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，
则g（x）＝f（x）＝ex（x+1）（x＜0），
∴g（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1）＝﹣g（x），
∴g（x）＝e﹣x（x﹣1），（x＞0），故①正确；
②∵g（x）＝ex（x+1）（x＜0），此时g′（x）＝ex（x+2），令其等于0，解得x＝﹣2，
且当x∈（﹣∞，﹣2）上导数小于0，函数单调递减；
当x∈（﹣2，0）上导数大于0，函数单调递增，
x＝﹣2处为极小值点，且g（﹣2）＞﹣1，
且在x＝﹣1处函数值为0，且当x＜﹣1是函数值为负．
又∵奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：
由图象可知：函数g（x）有3个零点，故②错误；
③由②知函数g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故③正确，；
④由②知函数在x＝﹣2处取得极小值，极小值为g（﹣2）＝e﹣2（﹣2+1）＝﹣e﹣2，
根据奇函数的对称性可知在x＝2处取得极大值，极大值为g（2）＝e﹣2，故④错误；
⑤当x＜0时，g（x）＝ex（x+1），则当x→0时，g（x）→1，
当x＞0时，g（x）＝e﹣x（x﹣1），则当x→0时，g（x）→﹣1，
即当x＜0时，﹣1＜﹣e﹣2＜g（x）＜1，
即当x＞0时，﹣1＜g（x）＜e﹣2＜1，
故有对∀x1，x2∈R，|g（x2）﹣g（x1）|＜2恒成立，即⑤正确．
故正确的命题是①③⑤，
故答案为：①③⑤

26．若函数y＝f（x）满足f（a+x）+f（a﹣x）＝2b（其中a，b不同时为0），则称函数y＝f（x）为“准奇函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：
①函数f（x）＝sinx+1是准奇函数；
②函数f（x）＝x3是准奇函数；
③若准奇函数y＝f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）＝f（x+a）﹣f（a）为R上的奇函数；
④已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6x﹣2是准奇函数，则它的“中心点”为（1，2）；
其中正确的命题是　　．（写出所有正确命题的序号）
【解析】解：对于①，函数f（x）＝sinx+1有f（﹣x）+f（x）＝sin（﹣x）+1+sinx+1＝﹣sinx+sinx+2＝2，
则y＝f（x）为“准奇函数”，且（0，1）为f（x）的“中心点”，则①正确；
对于②，函数f（x）＝x3，由f（﹣x）+f（x）＝0，则a＝b＝0，不满足条件，则②不正确；
对于③，若准奇函数y＝f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），即有f（a+x）+f（a﹣x）＝2f（a），
F（﹣x）+F（x）＝f（a﹣x）﹣f（a）+f（x+a）﹣f（a）＝2f（a）﹣2f（a）＝0，则函数F（x）＝f（x+a）﹣f（a）
为R上的奇函数，则③正确；
对于④，已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6x﹣2是准奇函数，则f（a+x）+f（a﹣x）
＝（a+x）3﹣3（a+x）2+6（a+x）﹣2+（a﹣x）3﹣3（a﹣x）2+6（a﹣x）﹣2＝（6a﹣6）x2+（2a3﹣6a2+12a﹣4）＝2b，
即有6a﹣6＝0且2a3﹣6a2+12a﹣4＝2b，解得a＝1，b＝2，．则它的“中心点”为（1，2），则④正确．
故答案为：①③④．
27．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）＝0；②f(x3)=12f(x)；③f（1﹣x）＝1﹣f（x）．则f(16)=　　；f(14)+f(17)=　　．
【解析】解：依题意知，f（1﹣1）＝1﹣f（1）＝f（0）＝0，
∴f（1）＝1；
令1﹣x＝x，得x=12，
由③f（1﹣x）＝1﹣f（x）得f（12）=12；
∴f（16）＝f（123）=12f（12）=14，
∴f（56）=34；
令x=14，则f（34）＝1﹣f（14），
又f（343）=12f（34），即f（14）=12f（34）=12[1﹣f（14）]，
∴3f（14）＝1，解得f（14）=13；
同理可得：f（13）=12，f（19）=14，f（89）=34；
∵56＜67＜89，f（56）＝f（89）=34，函数f（x）在[0，1]上为非减函数，
∴f（67）=34，故f（17）＝1-34=14，
∴f（14）+f（17）=13+14=712．
故答案为：14，712．
28．已知定义在R上的函数f（x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣3）＝f（x），当x∈（0，32）时，f（x）＝ln（x2﹣2x+2），则函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数是　　．
【解析】解：令-32＜x＜0，则0＜﹣x＜32，
由于当x∈（0，32）时，f（x）＝ln（x2﹣2x+2），
f（x）＝0，则x1＝1；
则f（﹣x）＝ln（x2+2x+2），
又f（﹣x）＝﹣f（x），
则-32＜x＜0时，f（x）＝﹣ln（x2+2x+2），f（x）＝0，则x2＝﹣1；
令﹣2≤x＜-32，则1≤x+3＜32，f（x+3）＝ln（（x+3）2﹣2（x+3）+2），
由于f（x﹣3）＝f（x），即有f（x+3）＝f（x），
则﹣2≤x＜-32，f（x）＝ln（x2+4x+5），f（x）＝0，x3＝﹣2；
则32＜x≤2时，f（x）＝﹣ln（x2﹣4x+5），f（x）＝0，x4＝2
当x=32时，f（-32）＝f（32）＝﹣f（32），即f（-32）＝f（32）＝0，
故函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数为6．
故答案为：6．
29．函数y＝f（x）为定义在R上的增函数，对任意的x∈R都有f（x）+f（﹣x）＝0，设z＝x+2y，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≥0，则当1≤x≤4时，z的取值范围是　　．
【解析】解：∵对任意的x∈R都有f（x）+f（﹣x）＝0，
∴﹣f（x）＝f（﹣x），
∵f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≥0，即f（x2﹣2x）≥﹣f（2y﹣y2），
∴f（x2﹣2x）≥f（﹣2y+y2），
∵函数y＝f（x）为定义在R上的增函数，
∴x2﹣2x≥y2﹣2y，即（x﹣y）（x+y﹣2）≥0，
在同一直角坐标系中，作出1≤x≤4，且（x﹣y）（x+y﹣2）≥0的可行域，
画出目标函数z＝x+2y＝0的图象，将其平移观察，
经过点A（4，﹣2），z取最小值0；
经过点B（4，4），z取最大值12．
∴当1≤x≤4时，z的取值范围是[0，12]．
故答案为：[0，12]．

30．已知函数f（x）＝10x，对于实数m、n、p有f（m+n）＝f（m）+f（n），f（m+n+p）＝f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于　　．
【解析】解：由f（x）＝10x得：f（m+n）＝f（m）f（n），
∵f（m+n）＝f（m）+f（n），
∴f（m）f（n）＝f（m）+f（n），
设f（m）f（n）＝f（m）+f（n）＝t，
则f（m）、f（n）是x2﹣tx+t＝0的解，
∵△＝t2﹣4t≥0，
∴t≥4或t≤0（舍去）．
又f（m+n+p）＝f（m）f（n）f（p）＝f（m）+f（n）+f（p），
∴tf（p）＝t+f（p），
∴f（p）=tt-1=1+1t-1（t≥4），
显然t越大，f（p）越小，
∴当t＝4时，f（p）取最大值43，又f（p）＝10p，
∴f（p）取到最大值时，p也取到最大值，即pmax＝lg43=2lg2﹣lg3．