专题09分段函数及其应用C辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

这是一份专题09分段函数及其应用C辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑），文件包含专题09分段函数及其应用C辑解析版docx、专题09分段函数及其应用C辑原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）专题09分段函数及其应用C辑1．已知，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是_____（结果用区间表示）．【答案】解：由，可得：在的图象关于直线对称，有2个不同的实根等价于的图象与直线的交点个数为2，的图象与直线的位置关系如图所示，设过原点的直线与相切与点，由，则此切线方程为：，又此直线过原点，则求得，即切线方程为：，由图可知：当的图象与直线的交点个数为2时，实数的取值范围是，故答案为．2．已知函数，若命题“，且，使得”是假命题，则实数的取值范围是      .【答案】.【解析】根据题意分析可知，问题等价于命题“，且，使得”是真命题，当时，问题等价于，设，∴，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，当时，问题等价于，若：，∵，∴，故不等式显然成立，若：则，综上实数的取值范围是.3．已知函数，（e＝2.71828…是自然对数的底数），若存在，使得成立，则实数的取值范围是____.【答案】；当时，，则，即在递减，得，当时，在递增，则，综合得的值域为.由题若存在，使得成立，则，在有解，即在在有解，令，，，则，在递减，的最小值，又，在递减，的最大值，则.故答案为：4．已知，函数，．若关于的方程有个解，则的取值范围为__________．【答案】.【解析】令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1．且4个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，  则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，x2﹣4x+1+4λ=均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0， 即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，同理也恒成立；故λ的取值范围为（0，）．故答案为（0，）．5．已知函数(且)在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是________.【答案】.解：∵ 函数(且)在上单调递减，∴ ，解得：，∵ 关于的方程恰好有两个不相等的实数解，∴ 与的图象恰好有两个不同的交点，∵过点，当与有一交点，当，时，与有一交点，即在只有一个根，所以有一正根和一负数根，此时，得或方程有一根为0，则此时方程的另一根为，满足题意，综上：，故答案为：6．已知函数是定义域为 的偶函数，，都有，当时，，则________.【答案】5解：由可知，关于对称，又因为是偶函数，所以周期为2，则， .故答案为:5.7．定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】根据已知，当时，，则当时，在处取到最小值，当时，在处取到最小值，所以在时在处取到最小值,又因为，可知当时，在时取到最小值，且，则.为使当时，恒成立，需，当时，可整理为，解得；当时，可整理为，解得.综上，实数的取值范围是故答案为：8．已知函数（且a为常数）和（且k为常数），有以下命题:①当时，函数没有零点；②当时，若恰有3个不同的零点，则；③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列.其中的真命题是_____（写出所有真命题的序号）【答案】②①因为，，由得，函数的零点，即是函数图像与直线交点的横坐标，当时，恒成立，因为，所以时，函数显然没有零点；当时，由得，即，即，因为，所以恒成立，若时，函数可能有零点；若，函数没有零点；故①错；②当时，因为恰有个不同零点，令，则关于的方程有两个不同的实数解，记作，不妨令；做出函数的图像如下：由图像可得：当时，与有个交点；当时，与有个交点；因为函数恰有个不同零点，则有个根，记作；有个根，记作（不妨令）；所以只需，，因此，，所以；，，因此；故②正确；③由，得；所以函数与图像交点个数，即为函数的零点个数；由②中图像可知：当时，与在上有个交点，即函数在上有个零点；当时，若，则函数在上单调递增，因此函数与在上最多只有个交点，即函数在上最多只有个零点；不满足存在实数，使得有4个不同的零点；若，由基本不等式可得：，即时，；若，则函数与在上最多只有个交点，也不满足对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点.故③错.故答案为：②.9．已知函数若方程有四个解，且，则的取值范围为_________.【答案】由题知方程有4个解，即与的图象有4个不同的交点.作出2个函数的图象，如图所示，易知当时，有4个不同的交点，则，即，，所以，可看作关于的函数，记为，又当时，，当时，，所以函数的定义域为.由题得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以时，，即的取值范围是.故答案为：10．已知函数，若有两个零点，则的取值范围______.【答案】当时,, , , 
当, 
综上可知：,则，有两个根，,(不妨设, 
当时,，当时,, 
令,则，，，，，, 
设，, 所以, ，函数单调递减, , 
的值域为, 取值范围为, 
故答案为：.11．已知，若对任意，不等式恒成立，则非零实数的取值范围是_____.【答案】.，，对任意，，不等式恒成立，即对任意，，不等式恒成立，在上是增函数，，即，又，，当时，取最小值，，解得，又，即，故，故答案为：，．12．已知函数，若实数满足，，则的取值范围为___________ .【答案】画出的图像如图所示，可知为R上的单调递增函数，由于，不妨设，可知故 不妨设故在单调递减，在单调递增，故可得的最小值为故答案为：13．设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________.【答案】当时，，由得：，解得，由得：，解得，即当时，函数取得极大值，同时也是最大值，（e），当，，当，，作出函数的图象如图，设，由图象知，当或，方程有一个根，当或时，方程有2个根，当时，方程有3个根，则，等价为，当时，，若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，则，即（1） 解得：，故答案为：14．设实数，若函数的最大值为，则实数的最大值为______.【答案】因为，又当时，，即.当时，显然成立；当时，由等价于，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，则，又，得，因此的最大值为.故答案为：15．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.【答案】设，则在是偶函数，当时，，由得，记，，，故函数在增，而，所以在减，在增，，当时，，当时，，因此的图象为因此实数的取值范围是.16．已知函数，数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数t的取值范围是_________.【答案】数列的通项公式为,若数列是单调递减数列函数当时, .由复合函数单调性性质可知为单调递增函数.则;当时,为单调递减,则 ,解得 当时,当时, .因为数列是单调递减数列所以满足恒成立而当时,, 单调递减,单调递增由函数性质可知的解集为 由以上可得满足,所以.即故答案为:17．已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数满足，且，则的取值范围为_____．【答案】【解析】解：记，由，知在和单调，所以有， 时，，，所以，所以，即，故，设，，，则，令，得，当时，，单调递增，当，时，，单调递减，；所以当时，取极大值也是最大值，即，所以最大值为．故答案为：，．18．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】当时，函数在区间上单调递增，很明显，且存在唯一的实数满足，当时，由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，考查函数在区间上的性质，由二次函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数有6个零点，即方程有6个根，也就是有6个根，即与有6个不同交点，注意到函数关于直线对称，则函数关于直线对称，绘制函数的图像如图所示，观察可得：，即.综上可得，实数的取值范围是.故答案为．19．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为______________.【答案】当时，，当时，若时，在上是单调递增函数，所以，满足则，所以，，又，所以.若时，则，在上是单调递增函数，此时，在上是单调递减函数，此时满足 则 又，所以，综上，，故答案为.20．定义在R上的奇函数，当时, 则函数的所有零点之和为_____．【答案】∵当x≥0时，f（x）＝即x∈[0，1）时，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y＝a，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a＝0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）＝（﹣x+1），又f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a，解得x＝1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故答案为1﹣2a．21．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.【答案】.当时，即又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.  当时，函数与的图象有个交点；当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.22．已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】当时，，令，则或；，则，函数在上单调递减，在单调递增，函数在处取得极大值为，在出的极小值为.当时，，综上所述，的取值范围为23．已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．【答案】解：A，B是函数f（x）（其中a＞0）图象上的两个动点，当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．当点A，B分别位于分段函数的两支上，且直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，设PA与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），∴f′（x）＝e﹣x，∴kAP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，∵•的最小值为0，∴⊥，∴kPA＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，∴a＝1，∴f（x）max．故答案为24．已知函数 满足：①当时，方程无解；②当时，至少存在一个整数使.则实数的取值范围为___．【答案】绘制函数的图像如图所示，函数恒过点，（1）当时，方程无解，考查临界情况，当时，，，设切点坐标为，切线斜率为，故切线方程为，切线过点，则：，解得：，故切线的斜率，据此可得，（2）当x≥0时时，点两点连线的斜率，时，，点两点连线的斜率，据此可得，综上可得，实数的取值范围为.25．已知函数，函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是_______．【答案】则当时，抛物线的对称轴为，若函数有三个不同的零点，不妨设，
即有三个不同的根，  的图象有三个交点，作出的图象，由图可知，,即,当时，，即，则，当时，由,得 ,即，则，设，则导数,则当时, 恒成立，即此时函数为减函数，
则，，即，即，即的取值范围是，故答案为.26．已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是__【答案】﹣≤a≤2画出函数的图像如下图所示，而，是两条射线组成，且零点为.将向左平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.将向右平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.根据图像可知27．已知定义在R上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为______．【答案】∵，∴函数的周期为2．又，∴函数图象的对称中心为．在同一个坐标系中画出函数和的图象，如下图所示．由图象可得两函数的图象交于A,B,C三点，且点A,C关于点对称，∴点A,C的横坐标之和为．又由图象可得点B的横坐标为，∴方程在区间上的所有实根之和为.故答案为．28．已知函数，，均为一次函数，若实数满足，则__________．【答案】2详解：设三个函数的一次项系数都是大于零的，结合题中所给的函数解析式，并且的零点分别是，再进一步分析，可知，解得，结合零点以及题中所给的函数解析式，可求得，所以可以求得，故答案是2.29．已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．【答案】.【解析】作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）=（c﹣6）lnc，则=lnc+1﹣，显然在（，e2]上单调递增，∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．故答案为2e2﹣1230．已知函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】若存在三个互不相等的实数，使得成立，等价为方程存在三个不相等的实根，当时，，，解得，当时，，只有一个根.当时，方程存在两个不相等的实根，即.设，，令，解得，当，解得，在上单调递增；当，解得，在上单调递减；又，，存在两个不相等的实根，.故答案为.