专题27立体几何与空间向量C辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

专题27立体几何与空间向量C辑

1．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，有下列结论：

①平面A1D1P⊥平面A1AP；

②多面体的体积为定值；

③直线D1P与BC所成的角可能为；

④APD1能是钝角三角形.

其中结论正确的序号是___________(填上所有序号).

2．设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点与点间的距离的最小值为_______.

3．如图正方体中，为中点，为中点，为线段上一动点(不含)，过与正方体的截面为，则下列说法正确的是___________.

①当时，为五边形

②截面为四边形时，为等腰梯形

③截面过时，

④为六边形时在底面投影面积为五边形时在底面投影面积，则

4．如图，四棱锥中，底面为四边形.其中为正三角形，又.设三棱锥，三棱锥的体积分别是，三棱锥，三棱锥的外接球的表面积分别是.对于以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确命题的序号为______.

5．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长度分别为.点在底面内的射影为，点所对面的面积分别为.在下列所给的命题中，正确的有_________________.（请写出所有正确命题的编号）

①三棱锥外接球的表面积为；

②；

③；

④若三条侧棱与底面所成的角分别为，则；

⑤若点是面内一个动点，且与三条侧棱所成的角分别为，则.

6．如图，在直角梯形中，∥，，，将直角梯形沿对角线折起，使点到点位置，则四面体的体积的最大值为________，此时，其外接球的表面积为________．

7．如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为      .

8．《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马，平面，，，.上有一点，使截面的周长最短，则与所成角的余弦值等于______.

9．已知四棱锥中，底面是梯形，且，，，，且，，则三棱锥外接球的表面积为________.

10．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为________．参考数据：；；）

11．在正方体盒子里放入四个半径为1的球，恰好使得两个球在下方，另外两个在上方，每个球都和其他球相切，且它们都和正方体的三个面相切．则这个正方体的棱长为________．

12．三棱锥对棱相等，且，，，点分别是线段，的中点，直线平面，且与平面、平面、平面、平面均有交线，若这些交线围成一个平面区域，则的面积的最大值为______.

13．已知三棱锥A﹣BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两垂直，其长度分别为a，b，c.点A在底面BCD内的射影为O，点A，B，C，D所对面的面积分别为SA，SB，SC，SD.在下列所给的命题中，正确的有______.（请写出所有正确命题的编号）

①三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（a2+b2+c2）π；

②SA•S△BCO＝SD2；

③SA3＜SB3+SC3+SD3；

④若三条侧棱与底面所成的角分别为α1，β1，γ1，则sin2α1+sin2β1+sin2γ1＝1；

⑤若点M是面BCD内一个动点，且AM与三条侧棱所成的角分别为α2，β2，γ2，则cos2α2+cos2β2+cos2γ2＝1.

14．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1＝2，AD＝3，点E，F分别为棱BC，CC1上的动点．若四面体A1B1EF的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）

①存在点，使得；

②不存在点，使得；

③当点E为BC中点时，满足条件的点F有3个；

④当点F为CC1中点时，满足条件的点E有3个；

⑤四面体A1B1EF四个面所在平面，有4对相互垂直．

15．如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点，下列四个结论：

①存在点M，使得平面；

②存在点M，使得直线与直线所成的角为；

③存在点M，使得三棱锥的体积为；

④存在点M，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线所成的角.

则上述结论正确的有____________.（填上正确结论的序号）

16．我国古代数学名著《九章算术》中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱）.如图，棱柱为一个“堑堵”，底面的三边中的最长边与最短边分别为，，且，，点在棱上，且，则当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为________.

17．如图，在矩形中，，为的中点，将沿翻折成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中给出以下四个结论：

①与平面垂直的直线必与直线垂直；

②线段的长为；

③异面直线与所成角的正切值为；

④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积是.

其中正确结论的序号是_______.（请写出所有正确结论的序号）

18．已知四边形为矩形，，E为的中点，将沿折起，连接，，得到四棱锥，M为的中点，与平面所成角为，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是________．

①平面；

②三棱锥的体积最大值为；

③点M的轨迹是圆的一部分，且；

④一定存在某个位置，使；

19．在四面体中，，，平面，，分别为线段，的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面内投影长度的取值范围是__________.

20．如图，在矩形中，已知，E是的中点，将沿直线翻折成，连接.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则______.

21．四面体P﹣ABC中，PA，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，动点Q在△ABC的内部（含边界），设∠PAQ＝α，二面角P﹣BC﹣A的平面角的大小为β，△APQ和△BCQ的面积分别为S1和S2，且满足，则S2的最大值为_____.

22．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，记B1与F的轨迹构成的平面为α.

①∃F，使得B1F⊥CD1

②直线B1F与直线BC所成角的正切值的取值范围是[，]

③α与平面CDD1C1所成锐二面角的正切值为2

④正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个.

其中正确命题的序号是_____.（写出所有正确的命题序号）

23．在棱长为1的正方体中，MN分别是棱的中点，P是体对角线上一点，满足，则平面MNP截正方体所得截面周长为_______

24．已知四边形是边长为5的菱形，对角线（如图1），现以为折痕将菱形折起，使点达到点的位置，棱，的中点分为，，且四面体的外接球球心落在四面体内部（如图2），则线段长度的取值范围为________．

25．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，点是正方形内的动点.若平面，则点的轨迹长度为________.

26．在正方体中,,点为中点,点在平面内（正方体上）,且,则三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为______.

27．已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，该四面体外接球的表面积为，则四面体的体积为______.

28．如下图①，在直角梯形中，，，，点在线段上运动.如下图②，沿将折至，使得平面平面，则的最小值为______.

29．已知正四棱锥中，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面，平面与截面PAC交线段的长度为2，则平面与正四棱椎表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________.（请将可能的结果序号填到横线上）①2；②；③3； ④.

30．已知正四棱锥的底面边长为高为其内切球与面切于点，球面上与距离最近的点记为，若平面过点，且与平行，则平面截该正四棱锥所得截面的面积为______.