专项测试（10）抛物线焦点弦—2022高考二轮复习黄金选填题（解析几何篇）

2022高考二轮解析几何黄金选填题专项测试（10）——抛物线焦点弦

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·广西南宁市·南宁三中）已知AB是抛物线的一条焦点弦，|AB|=16，则AB中点C的横坐标是（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】设，根据抛物线的定义，得到，求得，进而求得点C的横坐标.

【详解】由题意，设，因为是抛物线的一条焦点弦，且，

根据抛物线的定义，可得，又由，所以，所以点C的横坐标是.

2．（2022·北京东城区·高三期末）已知抛物线（）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，则点A到y轴的距离为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出，再由焦半径公式表示出，得到，结合这两个关系式可求解

【详解】已知焦点F到准线的距离为2，得，可得设，

与抛物线方程联立可得：，①，又，，②，根据①②解得点A到y轴的距离为

3．（2022·上海高三专题练习）已知为抛物线的焦点，、是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“、、三点共线”等价的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，将韦达定理逐一代入各选项中的等式，求出的值，进而可得出结论.

【详解】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，.抛物线的焦点的坐标为，若、、三点共线，则.对于A选项，，解得；对于B选项，，解得；对于C选项，，

整理得，即，解得；对于D选项，，整理得，解得或.

4．（2022·贵州安顺市·）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，则的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】B

【分析】将直线的方程和抛物线的方程联立，消去得到关于的一元二次方程， 将用，表示出来，再利用韦达定理化简即可．

【详解】由得，．可得直线方程为，联立，消去得．设，，，，则，．又，，所以．

故．

5．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于､两点，若，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设点､的坐标分别为，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及焦半径公式，结合题中条件，列出方程求解，即可得出直线斜率，进而可得直线方程.

【详解】设点､的坐标分别为，，由题意，点的坐标为，设直线的方程为，联立方程.消去后整理为，有，由抛物线的性质，有，可得，

解得，有，解得，故直线的方程为.

6．（2020·长沙市·湖南师大附中）过抛物线焦点F的直线，与抛物线交于A、B两点，设，，则 （    ）

A．-4 B．4 C．4 D．-4

【答案】A

【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，化为，利用根与系数的关系即可得出

【详解】设直线的方程为，设，联立，消去化为，所以，所以

，所以，

7．（2020·福建高三其他模拟）设抛物线C：的焦点为F，点A、B在C上，若，，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出准线，过作，垂直于准线，垂足分别为，利用，，在直角梯形中可求得的斜率．

【详解】如图，l为抛物线的准线，分别过点A，B作垂线垂直l于，，由抛物线的定义可知，，.所以.过A作垂直于H，在中，，，所以，，由对称可知也满足题意，点A，B其他情形亦同法可得该结果，

8．（2020·山西太原市·太原五中高三）已知抛物线C方程为，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设直线l的方程为：，，与抛物线联立求出，再利用导数的几何意义分别求出抛物线在A，B两点处的切线方程，得到的坐标，即可得到的表达式，然后根据基本不等式即可求出．

【详解】因为抛物线C方程为，所以其焦点为，所以可设直线l的方程为：，，（斜率不存在的直线显然不符合题意），联立抛物线方程可得，，所以，又，所以抛物线在A处的切线方程为：，即，令，可得点的坐标为，同理可得，点的坐标为，所以

，当且仅当时取等号，即的取值范围为．

二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全对得5分，对而不全得3分，否则得0分）．

9．（2020·河北石家庄市·高三月考）已知抛物线的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点S，与准线l交于点T，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】是抛物线的准线，作于，作于，与轴交于点，则轴，抛物线的对称轴与准线的交点为，由平行线的性质，结合抛物线的定义可求得上各线段长，从而判断各选项．

【详解】如图，是抛物线的准线，作于，作于，与轴交于点，则轴，抛物线的对称轴与准线的交点为，由抛物线方程知，即，∵，∴，，即，∴，设，则，在直角梯形中，，即，解得，又，∴，∴，又，∴，∴．

10．（2020·全国高三专题练习）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．若直线过点，则

C．若，则的最小值为

D．若，则线段的中点到轴的距离为

【答案】BCD

【分析】由抛物线标准方程写出焦点坐标判断A，根据焦点弦性质判断B，由向量共线与焦点弦性质判断C，利用抛物线定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合中点坐标公式判断D．

【详解】易知点的坐标为，选项A错误；根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；若，则过点，则的最小值即抛物线通经的长，为，即，选项C正确，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别做准线的垂直线，，，垂足分别为，，，所以，.

所以，所以线段，所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．

11．（2020·长沙市·湖南师大附中）已知抛物线：的准线经过点，过的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的最小值为16

C．四边形的面积的最小值为64 D．若直线的斜率为2，则

【答案】ABD

【分析】由准线的概念可得，设直线的斜率为得直线的方程，与抛物线方程联立方程组消元后，应用韦达定理得，由抛物线焦点弦长公式可得，直线斜率为，同理可得，利用基本不等式可判断B，C，计算，代入可判断D．

【详解】由题可知，所以，故A正确.设直线的斜率为，则直线的斜率为.设，，，，直线：，直线：.联立

，消去整理得，所以，

.所以.同理，

从而，当且仅当时等号成立，故B正确.因为，当且仅当时等号成立，故C错误.，将，与，代入上式，得，所以，故D正确.

【点睛】抛物线焦点弦的几个常用结论

设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：

（1），；（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，弦长，（为直线的倾斜角）；

（3）；（4）以为直径的圆与准线相切；（5）以或为直径的圆与轴相切.

12．（2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，为线段的中点，则（   ）

A．以线段为直径的圆与直线轴相离             B．以线段为直径的圆与轴相切

C．当时，                      D．的最小值为

【答案】CD

【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，设、、在准线上的射影为、、，由抛物线的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系，可判断A选项的正误；设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出以线段为直径的圆的半径长，以及圆心到轴的距离，比较和的大小关系可得出结论，进而可判断B选项的正误；由B选项知，根据知，结合韦达定理求得的值，可判断C选项的正误；由可判断D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】对于A选项，的焦点，准线方程为，设、、在准线上的射影为、、，

由，， ，可知以线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故A错；对于B选项，设直线的方程为，设点、，联立，得，由韦达定理得，，

则，则，所以，以为直径的圆的半径为，设，则，则线段的中点到轴的距离为，则.当时，；当时，.

所以，以线段为直径的圆不一定与轴相切，故B错；对于C选项，，，，，则，，则，

所以，，故C正确；对于D选项，由B选项知，，当且仅当时，取最小值.故D正确.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·山东济南市·高三）过抛物线的焦点且斜率大于0的直线交抛物线于点(点于第一象限)，交其准线于点，若，则直线的斜率为___________.

【答案】

【分析】过作于（是准线），可得，与直线倾斜角相等，求出即可得结论．

【详解】如图，作于（是准线），则，由题意，∴，

，由知轴，与直线倾斜角相等，∴的斜率为．

14．（2020·四川高三其他模拟）已知点为抛物线的焦点，经过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，点，线段的垂直平分线与轴相交于点.则的值为______.

【答案】2

【分析】先写出过点且倾斜角为的直线方程，然后与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系得到线段的中点坐标，从而可得到线段的垂直平分线方程，进而可求出点的坐标，于是就得到的值，即可得结果.

【详解】抛物线的焦点，则经过点且倾斜角为的直线为，设，线段为，由，得，

所以，所以线段的垂直平分线方程为，

令，得，所以，所以，所以，

15．（2020·全国高三专题练习）设F为抛物线的焦点，经过点的直线与抛物线交于A，B两点，且，则 __________．

【答案】

【分析】根据题意，直线设为，然后，联立方程，利用韦达定理求出，进而求出，，再利用抛物线的性质求解即可

【详解】由题意知，经过点的直线要满足，所以，该直线的斜率必存在，且该直线必不平行于轴，设为，且，抛物线的焦点为，设，，，，，联立方程得，，消去，可得，，又由，可得，由抛物线方程得，，，

16．（2020·福建厦门市·厦门双十中学）过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则p＝________．

【答案】1

【分析】利用抛物线的性质，得到|AF|＝3|BF|，进而得到|AB|＝|AF|＋|BF|＝，最后，联立方程和|AB|＝x1＋x2＋p＝，利用韦达定理消参，进而求出即可

【详解】

过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E，∵A，B两点在抛物线上，∴|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.∵BE⊥AC，∴|AE|＝|AF|－|BF|，∵直线AB的倾斜角为60°，

∴在Rt△ABE中，2|AE|＝|AB|＝|AF|＋|BF|，即2(|AF|－|BF|)＝|AF|＋|BF|，∴|AF|＝3|BF|.

∵|AF|＝2，∴|BF|＝，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝.设直线AB的方程为y＝，代入y2＝2px，

得3x2－5px＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝，∴p＝1。