方法技巧专题05 立体几何中平行与垂直证明-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

方法技巧专题5  立体几何中平行与垂直证明 解析版

【一】“平行关系”常见证明方法

1.1 直线与直线平行的证明

1.1.1 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等

1.1.2 利用三角形中位线性质

1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理4）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质：

在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.8 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

1.2 直线与平面平行的证明

1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论：

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

1.2.3 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点

1.3 平面与平面平行的证明

1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等

1.3.3 利用定义：两个平面没有公共点

1.例题

【例1】 如图，已知菱形，其边长为2，，绕着顺时针旋转得到，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

证明（1）连结AC交BD于点O，连结OM

在菱形中，O为AC中点，M为的中点

OM为APC的中位线，

OM∥AP    ---------------（利用1.1.2中位线性质）

又OM面，且PA面

平面  ----------------（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）

【例2】 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

证明：DN//平面PMB。

证明：取PB中点为E，连结ME、NE

点M、N分别是棱AD、PC的中点

NE  BC ,又MD  BC

NE   MD，即四边形ABCD为平行四边形．　ME//DN   ----------（利用1.1.1平行四边形性质）

又 ME面PMB，且DN面PMB， DN//平面PMB

----------（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）

【例3】如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，上的点且，求证：平面．        

证明：过E作EM//AD交PD于点M ,连结MF

=     =

=  PB//MF，

又AD//BC，EM//BC

BC面PBC，且EM面PBC，

EM//面PBC，同理MF//面PBC，----------（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）

FM面EFM，EM面EFM，EM MF于点M,  

 面EMF//面PBC,       ------------（利用1.3.1 平面与平面平行的判定定理)

EF//面PBC          ------------ (利用1.2.2平面与平面平行的性质)

2.巩固提升综合练习

【练习1】如图，在六面体中，平面∥平面，⊥平面，,,∥,且,．

   求证： ∥平面； 

证明：取DG的中点为M连结FM、AM，∴DM=MG=EF=1

又∵∥

∴四边形EFMD为平行四边形，

∴EF    DE

∵⊥平面,且平面∥平面

∴AD⊥DE,AD⊥AB,

又∵AB、DE面ABED, AB=DE=2 ∴AB   DE

∴AB    FM,即四边形ABFM为平行四边形，∴BF∥AM，又∵BF 面，AM面

∴∥平面

【练习2】如图，，，，分别是正方体的棱，，，的中点．

求证：（1）平面；

（2）平面平面．

【解析】证明（1）如图，取的中点，连接，，[来源:学&科&网Z&X&X&K]

因为，所以，

所以四边形为平行四边形，故，

因为平面，平面，

所以平面．

（2）由题意可知．连接，，

因为，所以四边形是平行四边形，故

又，，所以平面平面．

【练习3】在如图所示的五面体中，四边形为菱形，且， 平面， ， 为中点.

求证： 平面.

【解析】证明：取中点，连接，

因为分别为中点，所以，

又平面，且平面，所以平面，

因为平面， 平面，平面平面，

所以．

又， ，

所以， .

所以四边形为平行四边形.

所以.

又平面且平面，所以平面，

又，所以平面平面.

又平面，所以平面.

【二】“垂直关系”常见证明方法[来源:Zxxk.Com]

2.1直线与直线垂直的证明

2.1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。

2.1.2 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。

2.1.3 利用直线与平面垂直的性质：

如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

2.1.4 利用平面与平面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

2.1.5 利用常用结论：

①     如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。

②     如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。

2.2 直线与平面垂直的证明

2.2.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面 等

2.2.2 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。

2.2.3 利用直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。

2.2.4 利用平面与平面垂直的性质定理：

   两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

2.2.5 利用常用结论：

①       一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。

②       两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。

2.3 平面与平面垂直的证明

2.3.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等

2.3.2 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。

2.3.3 利用平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

1.例题

【例1】如图,四边形ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC= CF=2a，P为AB的中点.求证：平面PCF⊥平面PDE.

证明：ABCD为矩形，AB=2BC, P为AB的中点，

PBC为等腰直角三角形，

∠BPC=45°.同理可证∠APD=45°. ∠DPC=90°，即PC⊥PD.   ----------- （利用2.1.1）

又DE⊥面ABCD，PC面ABCD，PC⊥DE.     ----------- （利用2.1.3）

DE∩PD=D ，PC ⊥面PDE .     ----------- （利用2.2.3）

又PC面PCF，面PCF⊥面PDE。----------- （利用2.3.3）

【例2】如图，在四棱锥中，ABCD是矩形，，，点是的中点，点在上移动。

求证：。

【证明】

，  ----------- （利用2.1.3）

 ，----------- （利用2.1.1）

 ，----------- （利用2.2.3）

  ，点是的中点  ----------- （利用2.1.1）

     又   

       ----------- （利用2.1.3）

【例3】如图，在四边形中，，，点为线段上的一点.现将沿线段翻折到，使得平面平面，连接，.

证明：平面.

【证明】(Ⅰ)连结，交于点,

在四边形中，

∵，

∴，

∴,∴

又∵平面平面，且平面平面=

∴平面----------- （利用2.2.4）

2.巩固提升综合练习

【练习1】 如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为，且AD=2，SA=1。

求证：PD平面SAP；

【证明】∵SA⊥面ABCD，

∴SBA为SB与面ABCD的夹角，∴SBA =，

且SA⊥AB，∴AB=1

在矩形ABCD中，P为BC边的中点，∴AB=BP=1, ∴AP=, 同理DP=

又∵AD=2，∴APD=,即AP⊥PD

∵SA⊥面ABCD, ∴SA⊥PD,  且SA、AP面SAP，SAAP于点A,

∴PD平面SAP

【练习2】 如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

【解析】（1）证明：连接与，两线交于点，连接．

在中，∵，分别为，的中点，∴，

又∵平面，平面，∴平面．

（2）证明：∵侧棱底面，平面，∴，

又∵为棱的中点，，∴．

∵，，平面，∴平面，∴

∵，∴．又∵，∴在和中，，

∴，

即，∴

∵，，平面，∴平面．

【练习3】如图，四棱锥中，，，，为正三角形．

且．

证明：平面平面．

【解析】（1）证明：∵，且，∴，

又为正三角形，∴，

又∵，，∴，

又∵，，∴，，

∴平面，又∵平面，

∴平面平面．

1．如图，四边形为正方形，平面，，，，．

（1）求证：；

（2）若点在线段上，且满足，求证：平面；

（3）求证：平面．

【解析】（1）∵，∴与确定平面，

∵平面，∴．由已知得且，

∴平面．又平面，∴．

（2）过作，垂足为，连接，则．

又，∴．又且，

∴且，∴四边形为平行四边形，∴．

又平面，平面，∴平面．

（3）由（1）可知，．

在四边形中，，，，，

∴，则．

设，∵，

故，则，即．

又∵，∴平面．

2．直三棱柱中， ， ， ，点是线段上的动点.

（1）当点是的中点时，求证： 平面；

（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，则点是的中点，

又点是的中点，由中位线定理得，

因为平面， 平面，

所以平面.

（2）当时平面平面.

证明：因为平面， 平面，所以．

又， ，所以平面，

因为平面，所以平面平面，

故点满足.

因为， ， ，所以，

故是以角为直角的三角形，

又，所以.

3.如图， 为等边三角形， 平面， ， ， 为的中点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求证：平面平面.

【解析】

（1）证明：取的中点，连结

∵在中， ，

∵， ∴，

∴四边形为平行四边形 ∴

又∵平面 ∴平面

（2）证：∵面， 平面，∴，

又∵为等边三角形，∴，

又∵，∴平面，

又∵，∴面，

又∵面，∴面面[来源:Z§xx§k.Com]

4. 已知平面四边形中， 中， ，现沿进行翻折，得到三棱锥，点， 分别是线段， 上的点，且平面.

求证：（1）直线平面；[来源:学*科*网]

（2）当是中点时，求证：平面平面.

【解析】（1）证明：因为平面， 平面，

平面平面，所以

因为平面， 平面，所以 //平面

（2）因为是的中点， ，所以为的中点.[来源:学科网]

又因为，所以

又， ，所以，

， 平面， ，所以平面.

因为平面，所以平面平面.