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方法技巧专题17 函数不等式的证明-2022年高考数学满分之路方法技巧篇
展开方法技巧专题 函数不等式的证明
学生篇
一、 函数不等式的证明知识框架
二、构造辅助函数证函数
1.例题
【例1】已知函数,求证:当时,恒有
【例2】证明当
[来源:学科网ZXXK]
【例3】证明:对任意的正整数n,不等式 都成立.
[来源:学科网ZXXK]
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知函数 求证:在区间上,函数的图象在函数的
图象的下方;
【练习2】若函数在上可导且满足不等式恒成立,且常数满足,求
证:
【练习3】已知函数,设,证明 :.[来源:学&科&网]
函数不等式的变形原理
【一】幂函数与lnx的积商形式
1.例题
【例1】已知函数,曲线 在点处的切线方程为y=2
(1)求a,b的值;
(2)当且时,求证:
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;
(2)在(1)条件下,求函数的单调区间和极值;
(3)当,且时,证明:.
【二】幂函数、ex与lnx的混合形式
1.例题
【例1】设函数.
(1)求在区间[1,2]上的最小值;
(2)证明:对任意的,都有.
【例2】已知函数.
(1)若上存在极值,求实数的取值范围;
(2)求证:当时,.
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若,证明:
【练习2】已知函数.
(1)当,求函数的单调区间;
(2)证明:当时,.
函数不等式的单零点—隐零点问题
1.例题
【例1】已知函数在点处的切线方程为.
(1)求a,b的值;
(2)求证:.
【例2】设函数,e为自然对数的底数.
(1)若在上单调递增,求的取值范围;
(2)证明:若,则.
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
【例3】已知函数.
(1)若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为,求实数的值;
(2)若,求证:.
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知,.
(Ⅰ)和的导函数分别为和,令,判断在上零点个数;
(Ⅱ)当时,证明.
【练习2】已知函数,曲线在点处的切线方程为:.
(1)求,的值;
(2)设,求函数在上的最大值.
【练习3】已知函数,其中a为非零常数.
讨论的极值点个数,并说明理由;
若,证明:在区间内有且仅有1个零点;设为
函数不等式的双零点问题
【一】双零点是二次函数的零点
1.例题
【例1】已知函数
若在处取得极值,求函数的单调区间
若是函数的两个极值点,且,求证:
【例2】已知函数.
(1)讨论函数的极值点的个数;
(2)若有两个极值点,证明:.
【例3】已知函数的导函数为.
(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求的值;
(2)若的两个零点从小到大依次为,,证明:.
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知函数
(1)若在点处的切线与直线平行,求在点的切线方程;
(2)若函数在定义城内有两个极值点,,求证:.
【练习2】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若为的两个极值点,证明:.
【二】极值点偏移问题
1.例题
【例1】已知,.若有两个极值点,,且,求证:(为自然对数的底数).
2.巩固提升综合练习
【练习1】【2016年全国Ⅰ】已知函数有两个零点.
(I)求a的取值范围;
(II)设,是的两个零点,证明:.
【练习2】已知函数, 为自然对数的底数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数的图象与直线交于两点,线段中点的横坐标为,证明: (为函数的导函数)
【练习3】已知函数有两个不同的零点,,其极值点为.
(1)求的取值范围;
(2)求证:;
(3)求证:.
六、课后自我检测
1.已知函数,若曲线与曲线的一个公共点是,且在点处的切线互相垂直.
(1)求的值;
(2)证明:当时,.
2.已知定义在上的函数满足,且恒成立,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
3、设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知函数,.
(1)若曲线在点处的切线斜率为,求实数的值;
(2)若在有两个零点,求的取值范围;
(3)当时,证明:.
5.已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)求函数的最小值;
(2)若都有,求证:.
6.已知函数.
(1)若在定义域内单调递增,求的取值范围;
(2)若有两个极值点,,证明:.
7.已知函数.
讨论函数的极值点的个数;
若函数有两个极值点,,证明:.
8.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围.
(2)设的两个极值点为,证明.
9.已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若函数, 是函数的两个零点, 是函数的导函数,证明: .
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11.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明对一切,都有成立.
12.已知函数.
(1)若在上是增函数,求实数的取值范围;
(2)证明:当时,.