方法技巧专题17 函数不等式的证明-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

 方法技巧专题  函数不等式的证明

学生篇

       一、 函数不等式的证明知识框架                

              二、构造辅助函数证函数

1.例题

【例1】已知函数，求证：当时，恒有

【例2】证明当

[来源:学科网ZXXK]

【例3】证明：对任意的正整数n，不等式 都成立.

[来源:学科网ZXXK]

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知函数 求证：在区间上，函数的图象在函数的

图象的下方；

【练习2】若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，求

证：  

【练习3】已知函数，设,证明 ：.[来源:学&科&网]

                    函数不等式的变形原理                 

【一】幂函数与lnx的积商形式

1.例题

【例1】已知函数,曲线 在点处的切线方程为y=2

（1）求a,b的值；

（2）当且时，求证：

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；

（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；

（3）当，且时，证明：.

【二】幂函数、ex与lnx的混合形式

1.例题

【例1】设函数.

（1）求在区间[1，2]上的最小值；

（2）证明：对任意的，都有.

【例2】已知函数.

(1)若上存在极值，求实数的取值范围；

(2)求证：当时，．

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若，证明：

【练习2】已知函数.

（1）当，求函数的单调区间；

（2）证明：当时，.

函数不等式的单零点—隐零点问题

1.例题

【例1】已知函数在点处的切线方程为．

（1）求a，b的值；

（2）求证：．

【例2】设函数，e为自然对数的底数.

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）证明：若，则．

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

【例3】已知函数．

（1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值；

（2）若，求证：．

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知，.

（Ⅰ）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；

（Ⅱ）当时，证明.

【练习2】已知函数，曲线在点处的切线方程为：.

（1）求，的值；

（2）设，求函数在上的最大值.

【练习3】已知函数，其中a为非零常数．

讨论的极值点个数，并说明理由；

若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为

函数不等式的双零点问题               

【一】双零点是二次函数的零点 

1.例题

【例1】已知函数

若在处取得极值,求函数的单调区间

若是函数的两个极值点,且,求证：

【例2】已知函数.

（1）讨论函数的极值点的个数；

（2）若有两个极值点，证明：.

【例3】已知函数的导函数为.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若的两个零点从小到大依次为，，证明：.

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知函数

（1）若在点处的切线与直线平行，求在点的切线方程；

（2）若函数在定义城内有两个极值点，，求证：．

【练习2】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若为的两个极值点，证明：.

【二】极值点偏移问题 

1.例题

【例1】已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．

2.巩固提升综合练习

【练习1】【2016年全国Ⅰ】已知函数有两个零点．

（I）求a的取值范围；

（II）设，是的两个零点，证明：．

【练习2】已知函数， 为自然对数的底数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明： （为函数的导函数）

【练习3】已知函数有两个不同的零点，，其极值点为．

（1）求的取值范围；   

（2）求证：；

（3）求证：．

六、课后自我检测                        

1.已知函数，若曲线与曲线的一个公共点是，且在点处的切线互相垂直．

（1）求的值；

（2）证明：当时，．

2.已知定义在上的函数满足，且恒成立，则不等式的解集为(   )

A．     B．     C．     D．

3、设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（   ）

A．     B．     C．     D．

4.已知函数,.

（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；

（2）若在有两个零点，求的取值范围；

（3）当时，证明：.

5.已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的最小值；

（2）若都有，求证：.

6.已知函数.

（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；

（2）若有两个极值点，，证明：.

7.已知函数．

讨论函数的极值点的个数；

若函数有两个极值点，，证明：．

8.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围.

（2）设的两个极值点为，证明.

9.已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若函数， 是函数的两个零点， 是函数的导函数，证明： .

[来源:Z.xx.k.Com]

11.已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明对一切，都有成立.

12.已知函数.

（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，.