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    方法技巧专题17 函数不等式的证明-2022年高考数学满分之路方法技巧篇
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    方法技巧专题17 函数不等式的证明-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

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    这是一份方法技巧专题17 函数不等式的证明-2022年高考数学满分之路方法技巧篇,文件包含方法技巧专题17函数不等式的证明解析版docx、方法技巧专题17函数不等式的证明原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共50页, 欢迎下载使用。

     方法技巧专题  函数不等式的证明

    学生篇

           一、 函数不等式的证明知识框架                

                  二、构造辅助函数证函数

    1.例题

    【例1已知函数,求证:当时,恒有

     

     

     

     

     

     

    【例2证明当

     

    [来源:学科网ZXXK]

     

     

    【例3证明:对任意的正整数n,不等式 都成立.

     

     

     

     

    [来源:学科网ZXXK]

     

     

     

    2.巩固提升综合练

    【练习1已知函数 求证:在区间上,函数的图象在函数

    图象的下方;

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    练习2若函数上可导且满足不等式恒成立,且常数满足,求

    证:  

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    【练习3已知函数,设,证明 .[来源:&&]

     

     

     

     

     

                        函数不等式的变形原理                 

    【一】幂函数与lnx的积商形式

    1.例题

    【例1已知函数,曲线 在点处的切线方程为y=2

    1)求a,b的值;

    2)当时,求证:

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2.巩固提升综合练习

    【练习1已知函数.

    1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;

    2)在(1)条件下,求函数的单调区间和极值;

    3)当,且时,证明:.

     

     

     

     

     

     

     

     

    【二】幂函数exlnx的混合形式

    1.例题

    【例1设函数.

    1)求在区间[12]上的最小值;

    2)证明:对任意的,都有.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    【例2已知函数.

    (1)上存在极值,求实数的取值范围;

    (2)求证:当时,

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2.巩固提升综合练习

    【练习1已知函数

    1)求函数的单调区间;

    2)若,证明:

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    【练习2已知函数.

    1)当,求函数的单调区间;

    2)证明:当时,.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    函数不等式的单零点—隐零点问题

    1.例题

    【例1已知函数在点处的切线方程为

    1)求ab的值;

    2)求证:

     

     

     

     

    【例2设函数e为自然对数的底数.

    1)若上单调递增,求的取值范围;

    2)证明:若,则

     

    [来源:学。科。网ZXXK]

     

     

     

     

    【例3已知函数

    1)若曲线处切线与坐标轴围成的三角形面积为,求实数的值;

    2)若,求证:

     

     

     

     

    2.巩固提升综合练习

    【练习1已知.

    的导函数分别为,令,判断上零点个数;

    )当时,证明.

     

     

     

     

     

    【练习2已知函数,曲线在点处的切线方程为:.

    1)求的值;

    2)设,求函数上的最大值.

     

     

     

     

     

    【练习3已知函数,其中a为非零常数.

    讨论的极值点个数,并说明理由;

    证明:在区间内有且仅有1个零点;

     

     

     

     

     

     

     

    函数不等式的双零点问题               

    【一】双零点是二次函数的零点 

    1.例题

    【例1已知函数

    处取得极值,求函数的单调区间

    是函数的两个极值点,,求证:

     

     

     

     

    【例2已知函数.

    1)讨论函数的极值点的个数;

    2)若有两个极值点,证明:.

     

     

     

     

    【例3已知函数的导函数为.

    1)若曲线处的切线与直线垂直,求的值;

    2)若的两个零点从小到大依次为,证明:.

     

     

     

     

     

     

     

    2.巩固提升综合练习

    【练习1已知函数

    1)若在点处的切线与直线平行,求在点的切线方程;

    2)若函数在定义城内有两个极值点,求证:

     

     

     

    【练习2已知函数

    1)讨论的单调性;

    2)若的两个极值点,证明:.

     

     

     

     

    【二】极值点偏移问题 

    1.例题

    【例1已知.若有两个极值点,且,求证:为自然对数的底数).

     

     

     

     

    2.巩固提升综合练习

    【练习12016年全国已知函数有两个零点.

    I)求a的取值范围;

    II)设的两个零点,证明:

     

     

     

     

     

    【练习2已知函数 为自然对数的底数.

    1)讨论的单调性;

    2)若函数的图象与直线交于两点,线段中点的横坐标为,证明: 为函数的导函数)

     

     

     

     

     

    【练习3已知函数有两个不同的零点,其极值点为

    1)求的取值范围;   

    2)求证:

    3)求证:

     

     

     

     

     

     

     

    六、课后自我检测                        

    1.已知函数,若曲线与曲线的一个公共点是,且在点处的切线互相垂直.

    1)求的值;

    2)证明:当时,

     

     

     

     

     

     

    2.已知定义在上的函数满足,且恒成立,则不等式的解集为(   )

    A     B     C     D

     

    3设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是(  

    A     B     C     D

     

    4.已知函数,.

    1)若曲线在点处的切线斜率为,求实数的值;

    2)若有两个零点,求的取值范围;

    3)当时,证明:.

     

     

     

     

    5.已知函数,其中为自然对数的底数.

    1)求函数的最小值;

    2)若都有,求证:.

     

     

     

     

    6.已知函数.

    1)若在定义域内单调递增,求的取值范围;

    2)若有两个极值点,证明:.

     

     

     

    7.已知函数

    讨论函数的极值点的个数;

    若函数有两个极值点,证明:

     

     

     

     

     

    8.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

    1)求的取值范围.

    2)设的两个极值点为,证明.

     

     

     

    9.已知函数.

    (1)的单调区间;

    (2)若函数 是函数的两个零点, 是函数的导函数,证明: .

     

     

     

     

    [来源:Z.xx.k.Com]

    11.已知函数.

    1)求函数的单调区间;

    2)证明对一切,都有成立.

     

     

     

     

     

    12.已知函数.

    1)若上是增函数,求实数的取值范围;

    2)证明:当时,.

     

     

     

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