方法技巧专题18 三角函数的图像和性质-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

 方法技巧专题18  三角函数的图像和性质

解析版

              一、 三角函数的图像和性质知识框架                

                 根据解析式研究三角函数性质                 

【一】化为同角同函型

1.例题

【例1】函数的单调递增区间是（   ）

A．       B．

C．          D．

【答案】B

【解析】整理函数的解析式有：

结合三角函数的性质可知，函数的单调递增区间满足：，

求解不等式可得函数的单调递增区间是 .

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知函数.

①的最大值为________ ；

②设当时，取得最大值，则______.

【解析】①， (其中 ，)

当，即时，取最大值

②由题意可知

【练习2】已知函数，求函数的最小正周期和单调增区间；      

【解析】

∴函数的最小正周期为.

由得

∴函数的单调增区间为

【练习3】已知，求的最小正周期及单调递增区间．

【解析】由与得．

所以的最小正周期是．由正弦函数的性质得，

解得，所以，的单调递增区间是．

【二】化为二次函数型

1.例题

【例1】函数的最大值为 ____________．   

【解析】∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋，

又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.

【例2】函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域为_______

【解析】设t＝sin x＋cos x，则sin xcos x＝(－≤t≤)，

y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1，当t＝时，y取最大值为＋，当t＝－1时，y取最小值为－1.

所以函数值域为.

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知函数，则的最小值是_____________．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

【解析】，

所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，

所以当时，函数取得最小值，此时，

所以，故答案是.

【答案】

【练习2】求函数的最大值与最小值.

【解析】

令，

所以，，

【练习3】函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________．

【解析】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，

即sin xcos x＝，且－1≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.

当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．

                 根据图像和性质确定解析式                 

【一】图像型

1.例题

【例1】已知函数的部分图象如图所示，其中分别是函数的图象的一个最低点和一个最高点，则（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】解题思路

第一步：观察所给图像及其图像特征：振幅，周期，与x轴的交点坐标等。

由题意，A=1,,T=12，故，这时

第二步：利用特殊点代入函数解析式计算出中的值。

在图像上，故,即，

解的。

第三步：从图像的升降情况找准第一零点的位置，并进一步确定参数（一般情况，取最高最低点，方便判断）。

∵，，

第四步，得出最终结论

，所有,故选A

【例2】函数的图象如图所示，则（   ）

A． 在上是增函数   B． 在上是增函数

C． 在上是増函数  D． 在上是增函数

【答案】A

【例3】已知函数， 的部分图像如图所示，已知点， ，若将它的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数图像的一条对称轴方程为（  ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】，所以，

所以，移动后得，

所以对称轴满足，解得，

所以满足条件的一条对称轴方程为。故选A。

2.巩固提升综合练习

【练习1】函数 (其中， )的部分图象如图所示,将函数的图象（    ）可得的图象

A． 向右平移个长度单位       B． 向左平移个长度单位

C． 向左平移个长度单位       D． 向右平移个长度单位

【答案】D

【练习2】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.

【答案】8

【二】性质型

1.例题

【例1】已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为(     )

（A）11          （B）9        （C）7           （D）5

【例2】设函数，，若在区间上单调，且，则的最小正周期为（    ）

A．         B．2π        C．4π       D．π

【解析】

【例3】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（    ）

（A），  （B）， （C）， （D），

【答案】

2.巩固提升综合练习

【练习1】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．

【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，

所以，因为，所以当时，ω取最小值为.

【练习2】若函数的图象关于轴对称，则的一个值为（  ）

A．       B．      C．      D．

                       图像变换问题                 

1.例题

【例1】已知曲线，，则下面结论正确的是（）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

【例2】设函数，其中.已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.

从而.

根据得到，进一步求最小值.

试题解析：（Ⅰ）因为，

所以

即时，取得最小值.

2.巩固提升综合练习

【练习1】函数（， ）的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（    ）

A． 关于点对称      B． 关于直线对称

C． 关于点对称      D． 关于直线对称

【答案】B

【解析】由于函数最小正周期为,所以,即.

向左平移得到为奇函数,故,

所以. ,故为函数的对称轴,选B.

【练习2】已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，若函数的图象在，两处的切线都与x轴平行，则的最小值为（    ）

A．          B．          C．           D．

【解析】根据变换得到：，图象如图：

由图可知，取到的最小可能为，

因为，，所以最小值为4，

故选：B

                三角函数值域（最值）

1.例题

【例1】 已知函数，则在上的最大值与最小值之差为        ．

【答案】

第三步，利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值：

当时，，故，

即函数的值域为，故答案为．

【例2】函数的最小值为            ．

【解析】

第一步，先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数：

令，所以

第二步，利用函数单调性求解三角函数的最值：

所以在上为增函数，在上为减函数

第三步，得出结论：

所以，故填．

【例3】函数的最小值是__________．

【答案】[来源:Z&xx&k.Com]

【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈，

化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1

设sinx+cosx=t，则t=sin（x）x+，

那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈

∴x+∈[0， ]，所以： ．∵函数g（t）=t2+t﹣1．

开口向上，对称轴t=－，∴是单调递增．

当t=0时，g（t）取得最小值为-1．

【例4】求函数的值域

【解析】函数的值域可看作：求过点作单位圆的切线的斜率的最大、最小值

设切线，即

原点到切线的距离：，解得：

所以，所求函数的值域为：

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知的定义域为[].求的最小值.

【解析】

【练习2】函数（）的最大值是          。

【解析】

【练习3】求函数的值域

【解析】

            平面向量为载体的三角函数综合问题                 

1.例题

【例1】 设向量， .

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的单调递减区间.

【答案】(1) ;(2) .

（2）第一步，先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数的正负：

由题意可得：

第二步，利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间：

所以

第三步，运用三角函数的图像与性质确定其单调区间：

令，

求得，

故函数的减区间为.

再根据，可得函数的减区间为

【例2】 已知向量

（1）若a∥b，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

【解析】（1）因为，，a∥b，所以．

若，则，与矛盾，故．

于是．又，所以．

（2）．

因为，所以，从而．

于是，当，即时，取到最大值3；

当，即时，取到最小值．

【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值．

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知， ，设函数．

（1）求函数的单调增区间；

（2）设的内角， ， 所对的边分别为， ， ，且， ， 成等比数列，求的取值范围．

【答案】(1) ， ．(2) .

【解析】，

令，则， ，

所以函数的单调递增区间为， ．

[来源:学科网ZXXK]

【练习2】已知， ，记函数

（1）求函数的最小正周期；

（2）如果函数的最小值为，求的值,并求此时的最大值及图像的对称轴方程.

【答案】（1）；（2）；对称轴方程为（）

【解析】（1）

所以最小正周期

（2）的最小值为，所以，故

所以函数的最大值等于

由（），即（）

故函数的图象的对称轴方程为（）

[来源:Zxxk.Com]

课后自我检测                        

1.函数 的部分图象如图所示,则__________；函数在区间上的零点为__________．

【答案】   

【解析】由图得,即最小正周期又因为,且,解得，由图得时, ，又因为,所以， 的零点即的图象与轴交点的横坐标，则,解得，因为,得到，所以零点为，故答案为.

2.已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）已知在中， 的对边分别为，若， ，求面积的最大值.

【答案】（1）单调递增区间为（）；（2）.

【解析】（1）

令（），

解得（），所以的单调递增区间为（）.

3.已知函数部分图象如图所示.

（1）求值及图中的值；

（2）在中，角的对边分别为，已知 ，求的值．   

【答案】（1）,（2）

【解析】（1）由图象可以知道： .∴

又∵∴          

∵∴， , 从而.

由图象可以知道, 所以

4.，函数.

（1）求的对称中心；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值.

【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.

【解析】

（2）由（1）得，

因为，所以，

所以时，即， 的最大值为，

当时，即时， 的最小值为.[来源:学科网ZXXK]

5.函数 的最大值是__________．

6.已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（    ）

A．        B．       C．        D．

【答案】C

【解析】如图所示，

因为，且，

又在区间内只有最小值，没有最大值，

所以在处取得最小值，

所以，所以，

当时，，此时函数在区间内存在最大值，

7.已知函数对任意都满足，则函数的最大值为

A． 5       B． 3        C．        D．

8．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法不正确的是　　

A． B．在区间上是增函数

C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心

【解析】把函数的图像向平左移个单位，
得到函数图象的解析式

故A正确；
当时，在区间是增函数，故B正确；不是图象的一条对称轴，故C正确； ，∴是图像的一个对称中心，故D错误．故选D．

9．已知,将的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的得到的图象，下列关于函数的说法中正确的个数为（   ）

①函数的周期为;②函数的值域为;③函数的图象关于对称;④函数的图象关于对称.

A． B． C． D．

【解析】，

.

即：且.

且.

①因为函数的周期为，因此①正确.

②因为，故因此②错误.

③令，得.故③正确

④因为.故图象不是中心对称图形,故④错误..

综上,正确的个数为.故选：

10.函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________．

【解析】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，

即sin xcos x＝，且－1≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.

当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．

11.已知向量， ，

 ，且为锐角．

（1）求角的大小；

（2）求函数 ()的值域．

【答案】(1) (2)

【解析】

12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且满足．

（1）求角A的大小；

（2）若，试判断的形状．

【解析】由，得，

即，

所以，因为，

所以；

因为，所以，

所以，

即，，

因为，所以，或，

则，或，

所以时，，

时，，

所以为直角三角形．