方法技巧专题19 三角恒等变换-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

 方法技巧专题19  三角恒等变换

解析版

             一、三角恒等变换问题知

     恒等变换方法技巧                 

【一】公式顺用、逆用及其变形用

1.例题

【例1】计算：

(1)cos(－15°)；                          (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.

【解析】(1)方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝.

方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.

(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.

【例2】(1)计算：cos2－sin2；

【解析】原式＝cos ＝.

(2)计算：；

【解析】　＝2·＝2·＝－2.[来源:学科网ZXXK]

(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.

【解析】原式＝·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝·sin 40°·cos 40°cos 80°

＝sin 80°cos 80°＝·sin 160°＝＝.

【例3】(1)＝________.

【解析】      原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝.

(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.

【解析】

方法一　tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°

＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°

＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.

方法二　∵tan(23°＋37°)＝，

∴＝，

∴－tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，

∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.

（3）已知sin θ＝，＜θ＜3π，求cos和tan .

【解析】　∵sin θ＝，且＜θ＜3π，∴cos θ＝－＝－.

由cos θ＝2cos2－1，得cos2＝＝.

∵＜＜，∴cos ＝－ ＝－.

tan ＝＝2.

2.巩固提升综合练习

【练习1】化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为(　　)

A.     B.    C．－    D．－

【解析】B 

cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝.

【练习2】＝________.

【解析】－1

原式＝＝＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.

【练习3】在△ABC中，A＋B≠，且tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C的值为(　　)

A.      B.     C.     D.

【解析】A

∵tan A＋tan B＋＝tan Atan B⇔tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＝(tan Atan B－1)．(*)

若1－tan Atan B＝0，

则cos Acos B－sin Asin B＝0，即cos(A＋B)＝0.

∵0<A＋B<π，∴A＋B＝与题设矛盾．

∴由(*)得tan(A＋B)＝－，即tan C＝.又∵0<C<π，∴C＝.

【练习4】若sin α＋cos α＝，则sin 2α=        .

【解析】由题意，得(sin α＋cos α)2＝，∴1＋2sin αcos α＝，即1＋sin 2α＝，

∴sin 2α＝－.

【二】拆凑角问题

1.例题

【例1】已知，则 的值为(　　)

A．－     B.    C.    D．－

【答案】A

【解析】∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.

【例2】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点. 若角β满足sin(α＋β)＝，则cos β的值为________．

【答案】　－或

【解析】　由角α的终边过点，得sin α＝－，cos α＝－.

由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.

由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，

所以cos β＝－或cos β＝.

【例3】若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知，则________.

【答案】－

【解析】tan＝tan＝tan＝－tan＝－.

【练习2】若，A∈，则sin A的值为(　　)

A.   B.

C.或   D.

【答案】B

【解析】∵A∈，∴A＋∈，

∴cos（A＋）＝－ ＝－，

∴sin A＝sin[（A＋）- ]＝sin（A＋）cos－cos（A＋）sin＝.

【练习3】已知，则（    ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为，则．故应选C．

【练习4】若sin（）=，则cos（）=（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，则，

所以，故选C．

【练习5】已知，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得：

本题正确选项：

【三】常值代换

1.例题

【例1】已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解析】（1）∵，，

∴，

∴．

（2）∵，∴，

∴，，

．

【例2】已知△ABC中,,则tanA=      .

【解析】解法一：列出方程组

由第一个方程得,,代入第二个方程得，

即， 解得或，

因为△ABC中0<A<π,

所以sinA>0,，，所以.

答案:.

解法二：由已知得sinA>0, cosA<0, |sin A|<|cos A|, tanA>-1,
由两边平方,整理得，即，

分子分母同除以得， 解得.

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知，，则（  ）

A．或 B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，所以，

所以，

所以，

即，解得或者，

当时，，

当时，，

综上所述，，故选B。

【练习2】已知，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】 则

故选A.

【四】辅助角公式

1.例题

【例1】函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为________．

【解析】　－1

f(x)＝sin，x∈.

∵－≤x－≤，∴f(x)min＝sin＝－1.

【例2】已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

【解析】(1)∵f(x)＝sin＋2sin2＝sin[2]＋1－cos

＝2＋1＝2sin＋1

＝2sin＋1，

∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，

有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)，

∴所求x的集合为.

2.巩固提升综合练习

【练习1】当函数取得最大值时，的值是______

【解析】，，

这时，即，所以

[来源:Zxxk.Com]

【练习2】如果是奇函数，则=                   .

【解析】，

其中，∵为奇函数，所以，即，所以

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

【练习3】已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合．

【解析】(1)f(x)＝·＝cos2x－sin2x

＝－＝cos 2x－，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos，

当2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，h(x)有最大值.

此时x的集合为.

                               三、课后自我检测                         [来源:Zxxk.Com]

1．已知sin α＝，且α∈，则sin的值为________．

【答案】－

【解析】因为sin α＝，且α∈，所以α∈，

所以cos α＝－＝－ ＝－.

因为sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝－.

所以sin＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝－.[来源:学科网ZXXK]

2．若，则          。

【答案】

【解析】因为，

又，所以，故选B.

3．已知，则          。

【答案】

【解析】=又,

解

又，,故故

所以故选：A

4．已知，，则    。

【答案】

【解析】因为，诱导公式可得，

，又因为

所以

5．已知sin（），则sin2x的值为（   ）

【答案】

【解析】设,则，

6．已知，则               。

【答案】

∵，

∴，．

7．若，，，，则等于           。

【答案】

【解析】，，则，

，则，所以，，

因此，

，

8．已知，为锐角，且，，则           。

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

,选C.

9．已知角的始边是轴非负半轴．其终边经过点，则的值为__________．

【答案】

【解析】由题意得:,且 ,故填.

10．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x的非负半轴重合，终边过点，则______________。

【答案】；

【解析】由题意，角的终边过点，求得，

利用三角函数的定义，求得，

又由.

11．  平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．

【答案】

【解析】由题意知：，，由，得，

，故答案为：.

12．若，则（  ）

【答案】

【解析】由题意得，，则.

，故选.

13．已知，则的值为            。

【答案】

【解析】因为，所以，

14．已知均为锐角，满足，则        。

【答案】

【解析】由已知α、β均为锐角，，

，

又cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝，

∵0＜α+β＜π，

∴α+β＝．

15．若，则         。

【答案】

【解析】令，则

由，可得

16．已知，，则________.

【答案】.

【解析】∵，，平方相加可得

即由降幂公式可得

求得.

17．若，则________．

【答案】

【解析】由题意，，

通分可得，，，，

所以本题答案为.

18．  已知，则__________．

【答案】

【解析】

因为，所以，应填答案。

19．若，则________．

【答案】

【解析】，

则

，故答案为.

20．若，则________.

【答案】

【解析】由题意可得：

，

即：，解方程可得：.

21．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.

【答案】　－

【解析】　∵α∈，∴－α∈，

又cos＝，∴sin＝－，

∵sin＝－，∴sin＝，

又∵β∈，＋β∈，∴cos（＋β）＝，

∴cos(α＋β)＝cos[-]＝coscos＋sinsin

＝×－×＝－.

22．（1）已知，求的值；

（2）已知，求的值.

【解析】（1）由题得.

（2）,所以.

23．已知是方程的根， 是第三象限角.

（1）求 的值；

（2）已知，若是第三象限角，且，求的值.

【解析】(1)∵方程5x2－7x－6＝0的根为或2，

又是第三象限角，∴sin＝，∴cos＝－＝，

，

∴原式.

(2).

，

又α是第三象限角，.

故.

24．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：

(1)＋的值；

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

【解析】(1)原式＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ.

由条件知sin θ＋cos θ＝，故＋＝.

(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，

因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋2×＝2，解得m＝.

(3)由得或

又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.

故当sin θ＝，cos θ＝时，θ＝；

当sin θ＝，cos θ＝时，θ＝.

25.已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．

(1)求f的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

【解析】(1)由题意，

故

(2)由(1)知，，则f(x)的最小正周期是π。由正弦函数的性质，

令，解得，所以

f(x)的单调递增区间是