方法技巧专题21 排列组合与二项式定理-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

 方法技巧专题 21 排列组合与二项式定理

学生篇

             一、 排列组合与

                    与排列相关的常见问题                

【一】特殊元素、特殊位置的排列问题

1.例题

【例1】有名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.

（1）甲不在两端；

（2）甲、乙相邻；

（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；

（4）甲不在排头，乙不在排尾。

【例2】毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：

（1）、两人不排在一起，有几种排法？

（2）、两人必须排在一起，有几种排法？

（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？

2.巩固提升综合练习

【练习1】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．

（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；

【练习2】7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？

其中甲不站排头，乙不站排尾；

其中甲、乙、丙3人两两不相邻；

其中甲、乙中间有且只有1人；

其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列

【二】相邻元素的排列问题

1.例题

【例1】7人排成一排

（1）甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？

（2）甲、乙相邻，丙、丁相邻，共有多少种排法？

（3）甲、乙、丙排在一起，且都不在两端，共有多少种排法？

（4）甲、乙、丙排在一起，且甲在两端，共有多少种排法？

（5）甲、乙之间恰有2人，共有多少种排法？

（6）甲、乙之间是丙，共有多少种排法？

2.巩固提升综合练习

【练习1】有本互不相同的书，其中数学书本，英语书本，语文书本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起的排法共有______种.（用数值回答）

【练习2】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（   ）

A．60种 B．48种 C．30种 D．24种

【练习3】“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智信”相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【练习4】某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，

剩余3个车位连在一起的概率为_______（结果用最简分数表示）.

【三】不相邻元素的排列问题

1.例题

【例1】】7人排成一排

（1）甲、乙、丙互不相邻，共有多少种排法？

（2）甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有多少种排法？

（3）甲、乙不相邻，丙、乙不相邻，共有多少种排法？

【例2】老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共7人要排成一排拍散伙纪念照.

（1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？

（2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？

（3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？

2.巩固提升综合练习

【练习1】某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（    ）

A．720 B．520 C．600 D．264

【练习2】有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（    ）种

A．48 B．72 C．78 D．84

【练习3】2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国

家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个

展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种.

【练习4】现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是______.

【四】含定序元素的排列问题

1.例题

【例1】4男3女排成一排，且4男不等高，4男自左向右从高到矮的顺序排列，有多少种排法？

【例2】某工程队有5项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进行那么安排这5项工程的不同排法种数是_____________.（用数字作答）

2.巩固提升综合练习

【练习1】用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？

(1)偶数不相邻；

(2)偶数一定在奇数位上；

(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；

(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．

【练习2】7人站成一排．

(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；

(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法．

                   与组合相关的常见问题                

【一】有限制条件的抽(选)取问题

1.例题

【例1】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

【例2】10双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，求各有多少种情况出现如下结果．

（1）4只袜子没有成双；

（2）4只袜子恰好成双；

（3）4只袜子2只成双，另两只不成双．

2.巩固提升综合练习

【练习1】男运动员名,女运动员名,其中男女队长各人,选派人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法.

（1）任选人

（2）男运动员名,女运动员名

（3）至少有名女运动员

（4）队长至少有一人参加

（5）既要有队长,又要有女运动员

【练习2】从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：

(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？

(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？

(3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？

【二】分组分配问题

1.例题

【例1】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?

（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;

（3）平均分成三份,每份2本;

（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;

（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;

（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;

【例2】将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．

(1)每个盒子都不空；

(2)恰有一个空盒子；

(3)恰有两个空盒子．

2.巩固提升综合练习

【练习1】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?

（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;

（3）平均分成三份,每份2本;

（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;

（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;

（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;

（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.

【练习2】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)

A．4种          B．10种          C．18种            D．20种

【练习3】（2018·黑龙江鹤岗一中高二月考（理））按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)

(1) 个不同的小球放入个不同的盒子；

(2) 个不同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；

(3) 个相同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；

(4) 个不同的小球放入个不同的盒子,恰有个空盒.

                   排列与组合综合问题                

1.例题

【例1】在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.

【例2】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．

（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?

（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?

（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?

2.巩固提升综合练习

【练习1】（1）五人站一排，必须站右边，则不同的排法有多少种；

（2）晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这2 个节目插入原节目单中，则不同的插法有多少种．

（3）有四个编有1、2、3、4的四个不同的盒子，有编有1、2、3、4的四个不同的小球，现把小球放入盒子里．

①小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；

②恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；

③恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法．

【练习2】有4个不同的球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内．

(1)共有几种放法？

(2)恰有一个盒不放球，共有几种放法？

                   二项式定理                

【一】通项及二项式系数

1.例题

【例1】在二项式的展开式中，含的项的系数是          。

（2）二项式的展开式的常数项是___________．

（3）在二项式的展开式中，的系数为        。

【例2】（1）的展开式中项的系数为（    ）

A．                B．             C．             D．

（2）（2019·重庆八中高三月考（理））的展开式中的系数为（　  　）

A． B． C．、 D．

2.巩固提升综合练习

【练习1】展开式中的常数项为______．

【练习2】展开式中含的项的系数为（    ）

A．              B．           C．         D．

【练习3】二项式的二项展开式中第3项的二项式系数为________.

【练习4】的展开式中的系数是（   ）

A．58 B．62 C．52 D．42

【练习5】的展开式中的系数为_____.

测              

【二】二项式系数和问题

1.例题

【例1】若.

求：（1）；

（2）；

（3）.

【例2】在二项式的展开式中，求：

(1)二项式系数之和；

(2)各项系数之和；

(3)所有奇数项系数之和．

2.巩固提升综合练习

【练习1】设.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值

【练习2】我设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值．

(1)求a0；

(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；

(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；

(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；

(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.

【三】系数的最值问题

1.例题

【例1】已知二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.

（1）求正整数的值；

（2）求展开式中二项式系数最大的项；

（3）求展开式中系数最大的项.

2.巩固提升综合练习

【练习1】（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）在的展开式中，[来源:学|科|网Z|X|X|K]

（1）求展开式中所有的有理项；

（2）展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项

【练习2】我已知的展开式前三项的三项式系数的和等于37 ，求：

（1）展开式中二项式系数最大的项的系数．

（2）展开式中系数最大的项．

                    六、课后自我检测                

1.一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．

(1)共有多少种不同的取法？

(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？

(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？

2.把6本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答）

(Ⅰ)甲得2本；

(Ⅱ)每人2本；

(Ⅲ)有1人4本，其余两人各1本．

3.一次游戏有10个人参加，现将这10人分为5组，每组两人。

（1）若任意两人可分为一组，求这样的分组方式有多少种？

（2）若这10人中有5名男生和5名女生，要求各组人员不能为同性，求这样的分组方式有多少种？

（3）若这10人恰为5对夫妻，任意两人均可分为一组，问分组后恰有一对夫妻在同组的概率是多少？

4.从8名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？

（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；

（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；

（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；

（4）甲不在第一棒.

5.有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.

（1）甲不在两端；

（2）甲、乙相邻；

（3）甲不在排头，乙不在排尾；

（4）甲、乙两人之间有且只有1人.

6.在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）

（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？

（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？

（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？

（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）

（5）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？[来源:学+科+网Z+X+X+K]

（6）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？

7.现有5名男生和3名女生站成一排照相，

（1）3名女生站在一起，有多少种不同的站法？

（2）3名女生次序一定，但不一定相邻，有多少种不同的站法？

（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻，有多少种不同的站法？

（4）3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻，有多少种不同的站法？

8．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．

试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？

（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？

（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）

9．现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．

（1）共有多少种不同的方法？

（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？

（3）若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？

（4）若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？

10.展开式中含x的项的系数为（    ）

A．-112 B．112 C．-513 D．513

11.展开式中的系数为（    ）

A．15 B．20 C．30 D．35

12.，求 （    ）

A．1024 B．243 C．32 D．24

13.二项式的展开式中常数项为60，则（    ）

A． B． C．2 D．3

14.的展开式中，系数最小的项为（    ）

A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项

15.设，那么的值为（    ）

A． B． C． D．-1

16.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（  ）

A．110 B．114 C．124 D．125

17.设，若，则实数________.

18. 被7除后的余数为_____．

19.若展开式中前三项系数成等差数列，求：

（1）展开式中含x的一次幂的项；

（2）展开式中所有x 的有理项；

（3）展开式中系数最大的项．