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方法技巧专题23 期望、方差及正态分布的实际应用-2022年高考数学满分之路方法技巧篇
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方法技巧专题23 期望、方差及正态分布的实际应用
解析篇
一、 期望、方差及正态分布
期望与方差的实际应用
1、离散型随机变量的期望：
（1）若离散型随机变量的概率分布为
---
---
---
---
则称为的数学期望（平均值、均值）简称为期望。
① 期望反映了离散型随机变量的平均水平；② 是一个实数，由的分布列唯一确定；
③ 随机变量是可变的，可取不同值； ④ 是不变的，它描述取值的平均状态.
（2）期望的性质：
①
②
③ 若，则
2．离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量可能取的值为 且这些值的概率分别为，则称……为 的方差。
① 反映随机变量取值的稳定与波动；
② 反映随机变量取值的集中与离散的程度；
③ 是一个实数，由的分布列唯一确定；
④ 越小，取值越集中，越大，取值越分散；
⑤ 的算术平均数叫做随机变量的标准差，记作.
（2）方差的性质：
①
②
③ 若，则
④
3、在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。
1.例题
【例1】（产品检验问题）已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4
个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求:
（Ⅰ）取得的4个元件均为正品的概率；
（Ⅱ）取得正品元件个数的数学期望.
【解析】（I）从甲盒中取两个正品的概率为P（A）=
从乙盒中取两个正品的概率为P（B）=
∵A与B是独立事件 ∴P（A·B）=P（A）·P（B）=
（II）的分布列为
0
1
2
3
4
P
【例2】（比赛问题）A、B两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中A队胜的概率为，设各场比赛的胜负相互独立.
（1）求A队夺冠的概率；
（2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求Eξ.
【解析】（1）A队连胜3场的概率为，
打4场胜3场的概率为，
打5场胜3场的概率为
又以上事件是互斥的，
∴A队获胜的概率为P=P1+P2+P3=
（2），（A队连胜3场或B队连胜3场），
；
；
【例3】（射击，投篮问题）甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，
若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求：
（1）乙投篮次数不超过1次的概率；
1.3.5
（2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
【解析】记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B。
解法一“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，
所求的概率是P = P（A+
=
解法二：“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，所以，所求的概率是
=
（2）甲、乙投篮总次数ξ的取值1，2，3，4，
1.3.5
甲、 乙投篮次数总和ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
甲、乙投篮总次数ξ的数学期望为
【例4】（选题，选课，做题，考试问题）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。求：
（1）求该题被乙独立解出的概率。
（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。
【解析】（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙独立解出此题的概率为P2.
则P（A）=P1=0.6，P（B）=P2
P（A+B）=1－P（）
=1－(1－P1)(1－P2)=P1+P2－P1+P2=0.92
∴0.6+P2－0.6P2=0.92
则 0.4P2=0.32即P2=0.8.
（2）P（ξ=0）=P（）·P（）=0.4×0.2=0.08
P(ξ=1)=P(A)P()+P()P(B)=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44
P(ξ=2)=P(A)·P(B)=0.6×0.8=0.48
ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4Dξ=(0－1.4)2·0.08+(1－1.4)2·0.44+(2－1.4)2·0.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4
∴解出该题的人数ξ的数学期望为1.4，方差为0.4。
【例5】（试验，游戏，竞赛，研究性问题）某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元.
（I）求ξ的所有可能取值；
（II）求ξ的分布列；
（III）求ξ的期望Eξ.
【解析】解法一（I）ξ的所有可能取值为3400，2400，1400，400
（II）
ξ的分布列为：
ξ
3400
2400
1400
400
（III）
解法二 设该顾客中奖奖券η张，则
（II）
（III）
所以η的数学期望Eη=0×P（η=0）+6×P（η=3）+9×（η=9）=2.5
2.巩固提升综合练习
【练习1】（旅游，交通问题）春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
（Ⅰ）随机变量的分布列；
（Ⅱ）随机变量的期望.
【解析】解法一：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4，
由等可能性事件的概率公式得
从而的分布列为
0
1
2
3
4
P
（II）由（I）得的期望为
解法二：（I）考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验.
解法三：（II）由对称性与等可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数同分布，故期望值相等。
【练习2】1,3,5
（摸球问题）甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2…、n（n≥2）的n个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为1和n的概率为
（1）求n的值；
（2）现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，
则得分为1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的2个小球得分之和为，求的数学期望E.
【解析】（1）由得n=4
1 2 3 4
1 2 3
（2） 甲盒 乙盒
是被抽取的2个小球得分之和
则有P（=1）= ，P（=2）=
P（=3）=，P（=4）=
1
2
3
4
P
的分布列为：
∴E=
【练习3】（摸卡片，数字问题）在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.
（I）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；
（II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值
是否相等？请说明理由.
【解析】（I）取到的两张卡片上数字之积大于12的事件为3，4，5，6四个数中取出两个，且应除去3，4两个数字。
故所求事件概率.
（II）若每次取出后不再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字随机变量ξ，ξ=2，3，4，5，6.
若每次取出后再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字是随机变量，η，
η=1，2，3，4，5，6.
∴在每次取出后再放回和每次取出后不再取回这两种取法中，得到的两张卡上的数字中最大数字的期望值不相等.
【练习4】（入座问题）编号1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一
个座位，设与座位编号相同的学生的个数是.
（1）求随机变量的概率分布；
（2）求随机变量的数学期望和方差.
【解析】
0
1
2
3
P
0
（Ⅰ）
∴概率分布列为：
（Ⅱ）
【练习5】
（信息问题）如图，A、B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2，现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为.
（Ⅰ）写出最大信息总量的分布列；
（Ⅱ）求最大信息总量的数学期望.
【解析】（1）由已知，的取值为7，8，9，10.
的概率分布列为
7
8
9
10
P
（2）
【练习6】（路线问题）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）. 在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.
（I）求点P恰好返回到A点的概率；
（II）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，
C
D
A
B
求ξ的数学期望.
【解析】（I）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为
因为只投掷一次不可能返回到A点；
若投掷两次点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：
（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为
若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：
（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为
若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）
其概率为
所以，点P恰好返回到A点的概率为
（II）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种，
因为，
所以，Eξ=2·+3·+4·=
正态分布的实际应用
1.例题
【例1】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为（ ）
(参考数据：若，则； ；.)
A．0.9544 B．0.6826 C．0.9974 D．0.9772
【答案】D
【解析】由于随机变量X服从正态分布，故有μ=800，σ=50，则.由正态分布的对称性，可得
.
【例2】设随机变量X~N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个
点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若X~N(μ,σ2)，则Pμ-σ
A．7539 B．7028 C．6587 D．6038
【解析】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为S=1，
又由随机变量服从正态分布X~N1,1，
所以正态分布密度曲线关于x=1对称，且σ=1，
又由Pμ-σ
由面积比的几何概型可得概率为P=S1S=0.6587，
所以落入阴影部分的点的个数的估计值是10000×0.6587=6587，故选C.
【例3】在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85
分为良好，85分及以上为优秀.
经计算样本的平均值，标准差.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩
为，并根据以下不等式进行评判：
①；②；
③.
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格
试卷；其他情况，则被评为不合格试卷. 试判断该份试卷被评为哪种等级；
【解析】，
，
，
因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷.
【例4】某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个
同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则
在事件发生的条件下事件发生的概率__________．（结果用分数表示）
附参考数据：；；．
【答案】
【解析】由题意可知，，事件为，
，，
，[来源:学|科|网]
，
由条件概率的公式得，故答案为.
【例5】随机变量服从正态分布，，，则的
最小值为__________．
【答案】
【解析】随机变量服从正态分布，∴，
由，得，
又，
∴，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
∴的最小值为．
【例6】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.
附：
若则，．
【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．
【解析】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误
差落在区间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，
.）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【解析】用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：
.
故选B.
【练习2】在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布的密
度曲线)的点的个数的估计值为
A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772
附：若X~N(μ，σ2)，则.
【解析】由题意可得，，设落入阴影部分的点的个数为n，则P=，则n=3 413.
故选C.
【练习3】每个国家身高正常的标准是不一样的，不同年龄、不同种族、不同地区身高都是有差异的，我们国家会定期进行0～18岁孩子身高体重全国性调查，然后根据这个调查结果制定出相应的各个年龄段的身高标准.一般测量出一个孩子的身高，对照一下身高体重表，如果在平均值标准差以内的就说明你的孩子身高是正常的，否则说明你的孩子可能身高偏矮或偏高了.根据科学研究0～18岁的孩子的身高服从正态分布.在某城市随机抽取100名18岁男大学生得到其身高（）的数据.
（1）记表示随机抽取的100名18岁男大学生身高的数据在之内的人数，求及的数学期望.
（2）若18岁男大学生身高的数据在之内，则说明孩子的身高是正常的.
（i）请用统计学的知识分析该市18岁男大学生身高的情况；
（ii）下面是抽取的100名18岁男大学生中20名大学生身高（）的数据：
1.65
1.62
1.74
1.82
1.68
1.72
1.75
1.66
1.73
1.67
1.86
1.81
1.74
1.69
1.76
1.77
1.69
1.78[来源:学科网]
1.63
1.68
经计算得，，其中为抽取的第个学生的身高，.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计，剔除之外的数据，用剩下的数据估计和的值.（精确到0.01）
附：若随机变量服从正态分布，则，.
【答案】（1）概率为，期望为（2）（i）在该市中，18岁男大学生的身高是正常的比例为.（ii）的估计值为1.71，的估计值为0.1.
【解析】（1）抽取的名岁男大学生身高的数据在之内的概率为
在之外的概率为：，
故
，
（2）（i）由（1）知，岁男大学生的身高是正常的概率为
在该市中，岁男大学生的身高是正常的比例为
（ii）当，时，区间为，故除去的数据为
剩下数据的平均数为： 的估计值为
又，剔除
剩下数据的样本方差为： 其标准差为
的估计值为
【练习4】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95
经计算得，
，其中为抽取的第个零件的尺寸，=1，2，…，16．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到0．01)．
附：若随机变量服从正态分布，则=0．997 4，，．
【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0．9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0．0026，故．
因此．
的数学期望为．
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ii）由，，得的估计值为，的估计值为
，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据9．22，剩下数据的平均数为，
因此的估计值为10．02．
，
剔除之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为
，
因此的估计值为．
课后自我检测
1.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体
重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为__________.
（附：若随机变量服从正态分布，则，.）
【答案】683
【解析】由题意，P（58.5＜X＜62.5）=0.683，
∴在这1000名男生中不属于正常情况的人数约是1000×0.683≈683，
故答案为683．
2.在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩
在90分以上（含90分）的学生有16名．
（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人?
（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人?
附：
【解析】由题知参赛学生的成绩为X，
因为，
所以，
则
，
（人）．
因此，此次参赛学生的总数约为696人．
（2）由
，
（人）．
3.某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.
（I）求第一天通过检查的概率；
（II）求前两天全部通过检查的概率；
（III）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.
【解析】（I）∵随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品，∴第一天通过检查的概率为
（II）同（I），第二天通过检查的概率为
因第一天，第二天是否通过检查相互独立。
所以，两天全部通过检查的概率为：
（II）记得分为ξ，则ξ的值分别为0，1，2，
因此，
4.两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员
组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数为.
（Ⅰ）求的概率分布；
（Ⅱ）求E.
【解析】（Ⅰ）=3，4，5.
的概率分布为
3
4
5
P
0.2800
0.3744
0.3456
（Ⅱ）E=3×0.2800+4×0.3744+5×0.3456=4.0656.
5.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，
只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
（Ⅰ）记“函数为上的偶函数”为事件，求事件的概率；
（Ⅱ）求的分布列和数学期望.
【解析】设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z
依题意得
（Ⅰ）若函数为R上的偶函数，则=0
当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.
=0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24
∴事件A的概率为0.24
（II）依题意知=0.2
则的分布列为
0
2
P
0.24
0.76
∴的数学期望为E=0×0.24+2×0.76=1.52
6.某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.
（1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；
（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组没有参加过天文研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望E.
【解析】（Ⅰ）记“恰好选到12个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A，则其概率为
（Ⅱ）随机变量=2，3，4
P（=2）=P（=3）=
P（=4）=∴随机变量的分布列为
2
3
4
P
∴E=2×+3×+4×=
7.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率
（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.
（3）求选择甲线路旅游团数的期望.
【解析】（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=
（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2=
（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）=
ξ
0
1
2
3
P
∴ξ的分布列为
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
8.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。
（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.
【解析】解法一 “有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A，
∵“两球恰好颜色不同”共2×4+4×2=16种可能，
解法二 “有放回摸取”可看作独立重复实验
∵每次摸出一球得白球的概率为
∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为
（2）设摸得白球的个数为，依题意得
9.袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相
等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）随机变量的概率分布和数学期望；
【解析】(Ⅰ)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则PA．=.
（Ⅱ）由题意得，有可能的取值为：2，3，4，5.
，
20070212
，
所以随机变量的概率分布为[来源:学。科。网]
2
3
4
5
因此的数学期望为
20070515
10.有编号为1，2，3，……n的n个学生，入座编号为1，2，3，……n的n个座位，每个学生规定坐一个
座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知=2时，共有6种做法，
（1）求n的值；
（2）求随机变量的概率分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）当时，有种坐法，
，即，
，或（舍去）．
．
（Ⅱ）的可能取值是，
又， ，
，，
的概率分布列为：
P
则．
11.如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.
（I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的
概率；
（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
【解析】（I）
（II）
∴线路通过信息量的数学期望
12.把圆周分成四等份，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按逆时针方向前进。现在投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字。P从A点出发，按照正四面体底面上数字前进几个分点，转一周之前连续投掷.
（1）求点P恰好返回A点的概率；
（2）在点P转一周恰能返回A点的所有结果中，用随即变量表示点P能返回A点的投掷次数，求的分数列和期望.
【解析】（1）投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的，概率为，则：①若投掷一次能返回A点，则底面数字应为4，此时概率为；
②若投掷两次能返回A点，则底面数字一次为（1，3），（3，1），（2，2）三种结果，
其概率为；
③若投三次，则底面数字一次为（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三种结果，
其概率为；
④若投四次，则底面数字为（1，1，1，1），其概率为；
（以上每一种情况1分，共4分）
则能返回A点的概率为：
（2）的分布列为：
1
2
3
4
所以，期望
13.黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况单位：百元，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
组别
频数
10
390
400
188
12
求所得样本的中位数精确到百元；
根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；
若年旅游消费支出在百元以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考数据：，；
【答案】百元；万；分布列见解析，．
【解析】设样本的中位数为x，则，
解得，所得样本中位数为百元；
，，，
旅游费用支出在7500元以上的概率为，，估计有万市民旅游费用支出在7500元以上；
由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，X可能取值为3，4，5，6．
，，，，
故其分布列为：
X
3
4[来源:学科网ZXXK]
5
6
P
．
14.近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．
现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表．
猪生长的三个阶段
阶段
幼年期
成长期
成年期
重量（Kg）
根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布.
由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，．
（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元．记为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．
（参考数据：若，则，，）
【答案】（1）甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头；（2）分布列见解析，135450元.
【解析】（1）由于猪的体重近似服从正态分布，设各阶段猪的数量分别为
∴，
∴（头）；
同理，，
∴（头）；
，
∴（头）.
所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头。
（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，，随机变量可能取值为，，.
，，，
所以的分布列为：
所以（元），
由于各养猪场均有头成年猪，一头猪出售的利润总和的期望为元，则总利润期望为（元）.
15.某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70. 经计算得，，生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%.
（1）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；
（2）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？
附：若，则，.
【解析】（1）10件样品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为，
则，.
（2）记这种产品的质量指标为，
由题意知，
则，
∵，
∴有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求.
16.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；
①；②；
③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；
（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.
【解析】（1）由题意知：，，，，，，[来源:学科网ZXXK]
所以由图表知道：，
，
，
所以该设备的性能为丙级别.
（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件.
（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，
依题意，
故.
（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数的可能取值为0，1，2，
，，，
故.
解析篇
一、 期望、方差及正态分布
期望与方差的实际应用
1、离散型随机变量的期望：
（1）若离散型随机变量的概率分布为
---
---
---
---
则称为的数学期望（平均值、均值）简称为期望。
① 期望反映了离散型随机变量的平均水平；② 是一个实数，由的分布列唯一确定；
③ 随机变量是可变的，可取不同值； ④ 是不变的，它描述取值的平均状态.
（2）期望的性质：
①
②
③ 若，则
2．离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量可能取的值为 且这些值的概率分别为，则称……为 的方差。
① 反映随机变量取值的稳定与波动；
② 反映随机变量取值的集中与离散的程度；
③ 是一个实数，由的分布列唯一确定；
④ 越小，取值越集中，越大，取值越分散；
⑤ 的算术平均数叫做随机变量的标准差，记作.
（2）方差的性质：
①
②
③ 若，则
④
3、在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。
1.例题
【例1】（产品检验问题）已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4
个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求:
（Ⅰ）取得的4个元件均为正品的概率；
（Ⅱ）取得正品元件个数的数学期望.
【解析】（I）从甲盒中取两个正品的概率为P（A）=
从乙盒中取两个正品的概率为P（B）=
∵A与B是独立事件 ∴P（A·B）=P（A）·P（B）=
（II）的分布列为
0
1
2
3
4
P
【例2】（比赛问题）A、B两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中A队胜的概率为，设各场比赛的胜负相互独立.
（1）求A队夺冠的概率；
（2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求Eξ.
【解析】（1）A队连胜3场的概率为，
打4场胜3场的概率为，
打5场胜3场的概率为
又以上事件是互斥的，
∴A队获胜的概率为P=P1+P2+P3=
（2），（A队连胜3场或B队连胜3场），
；
；
【例3】（射击，投篮问题）甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，
若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求：
（1）乙投篮次数不超过1次的概率；
1.3.5
（2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
【解析】记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B。
解法一“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，
所求的概率是P = P（A+
=
解法二：“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，所以，所求的概率是
=
（2）甲、乙投篮总次数ξ的取值1，2，3，4，
1.3.5
甲、 乙投篮次数总和ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
甲、乙投篮总次数ξ的数学期望为
【例4】（选题，选课，做题，考试问题）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。求：
（1）求该题被乙独立解出的概率。
（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。
【解析】（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙独立解出此题的概率为P2.
则P（A）=P1=0.6，P（B）=P2
P（A+B）=1－P（）
=1－(1－P1)(1－P2)=P1+P2－P1+P2=0.92
∴0.6+P2－0.6P2=0.92
则 0.4P2=0.32即P2=0.8.
（2）P（ξ=0）=P（）·P（）=0.4×0.2=0.08
P(ξ=1)=P(A)P()+P()P(B)=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44
P(ξ=2)=P(A)·P(B)=0.6×0.8=0.48
ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4Dξ=(0－1.4)2·0.08+(1－1.4)2·0.44+(2－1.4)2·0.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4
∴解出该题的人数ξ的数学期望为1.4，方差为0.4。
【例5】（试验，游戏，竞赛，研究性问题）某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元.
（I）求ξ的所有可能取值；
（II）求ξ的分布列；
（III）求ξ的期望Eξ.
【解析】解法一（I）ξ的所有可能取值为3400，2400，1400，400
（II）
ξ的分布列为：
ξ
3400
2400
1400
400
（III）
解法二 设该顾客中奖奖券η张，则
（II）
（III）
所以η的数学期望Eη=0×P（η=0）+6×P（η=3）+9×（η=9）=2.5
2.巩固提升综合练习
【练习1】（旅游，交通问题）春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
（Ⅰ）随机变量的分布列；
（Ⅱ）随机变量的期望.
【解析】解法一：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4，
由等可能性事件的概率公式得
从而的分布列为
0
1
2
3
4
P
（II）由（I）得的期望为
解法二：（I）考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验.
解法三：（II）由对称性与等可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数同分布，故期望值相等。
【练习2】1,3,5
（摸球问题）甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2…、n（n≥2）的n个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为1和n的概率为
（1）求n的值；
（2）现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，
则得分为1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的2个小球得分之和为，求的数学期望E.
【解析】（1）由得n=4
1 2 3 4
1 2 3
（2） 甲盒 乙盒
是被抽取的2个小球得分之和
则有P（=1）= ，P（=2）=
P（=3）=，P（=4）=
1
2
3
4
P
的分布列为：
∴E=
【练习3】（摸卡片，数字问题）在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.
（I）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；
（II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值
是否相等？请说明理由.
【解析】（I）取到的两张卡片上数字之积大于12的事件为3，4，5，6四个数中取出两个，且应除去3，4两个数字。
故所求事件概率.
（II）若每次取出后不再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字随机变量ξ，ξ=2，3，4，5，6.
若每次取出后再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字是随机变量，η，
η=1，2，3，4，5，6.
∴在每次取出后再放回和每次取出后不再取回这两种取法中，得到的两张卡上的数字中最大数字的期望值不相等.
【练习4】（入座问题）编号1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一
个座位，设与座位编号相同的学生的个数是.
（1）求随机变量的概率分布；
（2）求随机变量的数学期望和方差.
【解析】
0
1
2
3
P
0
（Ⅰ）
∴概率分布列为：
（Ⅱ）
【练习5】
（信息问题）如图，A、B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2，现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为.
（Ⅰ）写出最大信息总量的分布列；
（Ⅱ）求最大信息总量的数学期望.
【解析】（1）由已知，的取值为7，8，9，10.
的概率分布列为
7
8
9
10
P
（2）
【练习6】（路线问题）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）. 在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.
（I）求点P恰好返回到A点的概率；
（II）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，
C
D
A
B
求ξ的数学期望.
【解析】（I）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为
因为只投掷一次不可能返回到A点；
若投掷两次点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：
（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为
若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：
（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为
若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）
其概率为
所以，点P恰好返回到A点的概率为
（II）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种，
因为，
所以，Eξ=2·+3·+4·=
正态分布的实际应用
1.例题
【例1】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为（ ）
(参考数据：若，则； ；.)
A．0.9544 B．0.6826 C．0.9974 D．0.9772
【答案】D
【解析】由于随机变量X服从正态分布，故有μ=800，σ=50，则.由正态分布的对称性，可得
.
【例2】设随机变量X~N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个
点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若X~N(μ,σ2)，则Pμ-σ
A．7539 B．7028 C．6587 D．6038
【解析】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为S=1，
又由随机变量服从正态分布X~N1,1，
所以正态分布密度曲线关于x=1对称，且σ=1，
又由Pμ-σ
由面积比的几何概型可得概率为P=S1S=0.6587，
所以落入阴影部分的点的个数的估计值是10000×0.6587=6587，故选C.
【例3】在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85
分为良好，85分及以上为优秀.
经计算样本的平均值，标准差.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩
为，并根据以下不等式进行评判：
①；②；
③.
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格
试卷；其他情况，则被评为不合格试卷. 试判断该份试卷被评为哪种等级；
【解析】，
，
，
因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷.
【例4】某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个
同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则
在事件发生的条件下事件发生的概率__________．（结果用分数表示）
附参考数据：；；．
【答案】
【解析】由题意可知，，事件为，
，，
，[来源:学|科|网]
，
由条件概率的公式得，故答案为.
【例5】随机变量服从正态分布，，，则的
最小值为__________．
【答案】
【解析】随机变量服从正态分布，∴，
由，得，
又，
∴，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
∴的最小值为．
【例6】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.
附：
若则，．
【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．
【解析】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为
，
．
（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误
差落在区间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，
.）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【解析】用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：
.
故选B.
【练习2】在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布的密
度曲线)的点的个数的估计值为
A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772
附：若X~N(μ，σ2)，则.
【解析】由题意可得，，设落入阴影部分的点的个数为n，则P=，则n=3 413.
故选C.
【练习3】每个国家身高正常的标准是不一样的，不同年龄、不同种族、不同地区身高都是有差异的，我们国家会定期进行0～18岁孩子身高体重全国性调查，然后根据这个调查结果制定出相应的各个年龄段的身高标准.一般测量出一个孩子的身高，对照一下身高体重表，如果在平均值标准差以内的就说明你的孩子身高是正常的，否则说明你的孩子可能身高偏矮或偏高了.根据科学研究0～18岁的孩子的身高服从正态分布.在某城市随机抽取100名18岁男大学生得到其身高（）的数据.
（1）记表示随机抽取的100名18岁男大学生身高的数据在之内的人数，求及的数学期望.
（2）若18岁男大学生身高的数据在之内，则说明孩子的身高是正常的.
（i）请用统计学的知识分析该市18岁男大学生身高的情况；
（ii）下面是抽取的100名18岁男大学生中20名大学生身高（）的数据：
1.65
1.62
1.74
1.82
1.68
1.72
1.75
1.66
1.73
1.67
1.86
1.81
1.74
1.69
1.76
1.77
1.69
1.78[来源:学科网]
1.63
1.68
经计算得，，其中为抽取的第个学生的身高，.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计，剔除之外的数据，用剩下的数据估计和的值.（精确到0.01）
附：若随机变量服从正态分布，则，.
【答案】（1）概率为，期望为（2）（i）在该市中，18岁男大学生的身高是正常的比例为.（ii）的估计值为1.71，的估计值为0.1.
【解析】（1）抽取的名岁男大学生身高的数据在之内的概率为
在之外的概率为：，
故
，
（2）（i）由（1）知，岁男大学生的身高是正常的概率为
在该市中，岁男大学生的身高是正常的比例为
（ii）当，时，区间为，故除去的数据为
剩下数据的平均数为： 的估计值为
又，剔除
剩下数据的样本方差为： 其标准差为
的估计值为
【练习4】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95
经计算得，
，其中为抽取的第个零件的尺寸，=1，2，…，16．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到0．01)．
附：若随机变量服从正态分布，则=0．997 4，，．
【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0．9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0．0026，故．
因此．
的数学期望为．
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ii）由，，得的估计值为，的估计值为
，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据9．22，剩下数据的平均数为，
因此的估计值为10．02．
，
剔除之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为
，
因此的估计值为．
课后自我检测
1.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体
重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为__________.
（附：若随机变量服从正态分布，则，.）
【答案】683
【解析】由题意，P（58.5＜X＜62.5）=0.683，
∴在这1000名男生中不属于正常情况的人数约是1000×0.683≈683，
故答案为683．
2.在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩
在90分以上（含90分）的学生有16名．
（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人?
（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人?
附：
【解析】由题知参赛学生的成绩为X，
因为，
所以，
则
，
（人）．
因此，此次参赛学生的总数约为696人．
（2）由
，
（人）．
3.某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.
（I）求第一天通过检查的概率；
（II）求前两天全部通过检查的概率；
（III）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.
【解析】（I）∵随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品，∴第一天通过检查的概率为
（II）同（I），第二天通过检查的概率为
因第一天，第二天是否通过检查相互独立。
所以，两天全部通过检查的概率为：
（II）记得分为ξ，则ξ的值分别为0，1，2，
因此，
4.两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员
组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数为.
（Ⅰ）求的概率分布；
（Ⅱ）求E.
【解析】（Ⅰ）=3，4，5.
的概率分布为
3
4
5
P
0.2800
0.3744
0.3456
（Ⅱ）E=3×0.2800+4×0.3744+5×0.3456=4.0656.
5.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，
只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
（Ⅰ）记“函数为上的偶函数”为事件，求事件的概率；
（Ⅱ）求的分布列和数学期望.
【解析】设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z
依题意得
（Ⅰ）若函数为R上的偶函数，则=0
当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.
=0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24
∴事件A的概率为0.24
（II）依题意知=0.2
则的分布列为
0
2
P
0.24
0.76
∴的数学期望为E=0×0.24+2×0.76=1.52
6.某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.
（1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；
（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组没有参加过天文研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望E.
【解析】（Ⅰ）记“恰好选到12个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A，则其概率为
（Ⅱ）随机变量=2，3，4
P（=2）=P（=3）=
P（=4）=∴随机变量的分布列为
2
3
4
P
∴E=2×+3×+4×=
7.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率
（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.
（3）求选择甲线路旅游团数的期望.
【解析】（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=
（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2=
（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）=
ξ
0
1
2
3
P
∴ξ的分布列为
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
8.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。
（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.
【解析】解法一 “有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件A，
∵“两球恰好颜色不同”共2×4+4×2=16种可能，
解法二 “有放回摸取”可看作独立重复实验
∵每次摸出一球得白球的概率为
∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为
（2）设摸得白球的个数为，依题意得
9.袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相
等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）随机变量的概率分布和数学期望；
【解析】(Ⅰ)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则PA．=.
（Ⅱ）由题意得，有可能的取值为：2，3，4，5.
，
20070212
，
所以随机变量的概率分布为[来源:学。科。网]
2
3
4
5
因此的数学期望为
20070515
10.有编号为1，2，3，……n的n个学生，入座编号为1，2，3，……n的n个座位，每个学生规定坐一个
座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知=2时，共有6种做法，
（1）求n的值；
（2）求随机变量的概率分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）当时，有种坐法，
，即，
，或（舍去）．
．
（Ⅱ）的可能取值是，
又， ，
，，
的概率分布列为：
P
则．
11.如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.
（I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的
概率；
（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
【解析】（I）
（II）
∴线路通过信息量的数学期望
12.把圆周分成四等份，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按逆时针方向前进。现在投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字。P从A点出发，按照正四面体底面上数字前进几个分点，转一周之前连续投掷.
（1）求点P恰好返回A点的概率；
（2）在点P转一周恰能返回A点的所有结果中，用随即变量表示点P能返回A点的投掷次数，求的分数列和期望.
【解析】（1）投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的，概率为，则：①若投掷一次能返回A点，则底面数字应为4，此时概率为；
②若投掷两次能返回A点，则底面数字一次为（1，3），（3，1），（2，2）三种结果，
其概率为；
③若投三次，则底面数字一次为（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三种结果，
其概率为；
④若投四次，则底面数字为（1，1，1，1），其概率为；
（以上每一种情况1分，共4分）
则能返回A点的概率为：
（2）的分布列为：
1
2
3
4
所以，期望
13.黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况单位：百元，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：
组别
频数
10
390
400
188
12
求所得样本的中位数精确到百元；
根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；
若年旅游消费支出在百元以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考数据：，；
【答案】百元；万；分布列见解析，．
【解析】设样本的中位数为x，则，
解得，所得样本中位数为百元；
，，，
旅游费用支出在7500元以上的概率为，，估计有万市民旅游费用支出在7500元以上；
由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，X可能取值为3，4，5，6．
，，，，
故其分布列为：
X
3
4[来源:学科网ZXXK]
5
6
P
．
14.近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．
现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表．
猪生长的三个阶段
阶段
幼年期
成长期
成年期
重量（Kg）
根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布.
由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，．
（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元．记为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．
（参考数据：若，则，，）
【答案】（1）甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头；（2）分布列见解析，135450元.
【解析】（1）由于猪的体重近似服从正态分布，设各阶段猪的数量分别为
∴，
∴（头）；
同理，，
∴（头）；
，
∴（头）.
所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头。
（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，，随机变量可能取值为，，.
，，，
所以的分布列为：
所以（元），
由于各养猪场均有头成年猪，一头猪出售的利润总和的期望为元，则总利润期望为（元）.
15.某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70. 经计算得，，生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%.
（1）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；
（2）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？
附：若，则，.
【解析】（1）10件样品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为，
则，.
（2）记这种产品的质量指标为，
由题意知，
则，
∵，
∴有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求.
16.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；
①；②；
③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；
（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.
【解析】（1）由题意知：，，，，，，[来源:学科网ZXXK]
所以由图表知道：，
，
，
所以该设备的性能为丙级别.
（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件.
（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，
依题意，
故.
（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数的可能取值为0，1，2，
，，，
故.
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