方法技巧专题29 极坐标与参数方程的应用-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

 方法技巧专题29  极坐标与参数方程的应用

学生篇

1.例题

【例1】在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动．以极点为直角坐标系原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．

（1）求圆的参数方程；

（2）若点在线段上，且，求动点轨迹的极坐标方程．

【例2】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）过极点作直线与圆交于点，求的中点所在曲线的极坐标方程.

【例3】已知圆C经过点P，圆心C为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

2.巩固提升综合练习

【练习1】 （2019年高考全国Ⅱ卷理数）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

【练习2】在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin(θ－)＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

【练习3】 （2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．

（1）分别写出，，的极坐标方程；

（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．

【例1】已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

【练习1】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求．

1.例题

【例1】 已知点是圆上的动点.

(1)求的取值范围；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【例2】已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为 为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为，．

（Ⅰ）求曲线直角坐标方程，并说明方程表示的曲线类型；

（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的最大值．

【例3】在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙的极坐标方程为.

(Ⅰ)写出⊙的直角坐标方程；

(Ⅱ)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标.

【例4】 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.

【例5】在直角坐标系中，圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的

斜率．

2.巩固提升综合练习

【练习1】在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点，求的最大值.

【练习2】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，直线的参数方程为(为参数).

(1)若，求与的交点坐标；

(2)若上的点到距离的最大值为，求.

【练习3】在平面坐标系中中，已知直线的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.

【练习4】已知直线（为参数），曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程，直线的普通方程；

（2）把直线向左平移一个单位得到直线，设与曲线的交点为，，为曲线上任意一点，求面积的最大值．

【练习5】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设，直线交曲线于，两点，是直线上的点，且，当最大时，求点的坐标．

1．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程；

(Ⅱ)设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标.

2．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且、、、依逆时针次序排列，点的极坐标为.

(Ⅰ)求点、、、的直角坐标；

(Ⅱ)设为上任意一点，求的取值范围.

3．已知在直角坐标系内，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的直角坐标方程及直线经过的定点的坐标；

（2）设直线与曲线相交于两点，求点到两点的距离之和的最大值．

4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

5．在极坐标系中，已知点，圆的方程为，求过点且与圆相切的直线的极坐标方程。

6．已知曲线：，直线：(为参数).

(Ⅰ) 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.

7． 已知抛物线，点在轴的正半轴上，过的直线与相交于两点，为坐标原点.

(1)若时，的斜率为，求以为直径的圆的方程；

(2)若存在直线使得成等比数列，求实数的取值范围.

8．在直角坐标系中，曲线：(为参数，≠0)其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：.

(Ⅰ)求与交点的直角坐标；

(Ⅱ)若与相交于点A，与相交于点B，求的最大值.

9．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为.

(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.

10．在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线的参数方程为  （t为参数），直线与圆C相交于A，B两点，已知定点,求|MA|·|MB|。