专题02 函数的对称性、周期性与奇偶性-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

专题02  函数的对称性、周期性与奇偶性

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知定义域为的函数满足：①图象关于原点对称；②；③当时，.若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【解析】由①可知函数为奇函数，又，

故，即函数的周期为3，

∴，解得.故选：B.

2．已知是定义在上的奇函数，且，.数列满足，其中是数列的前项和，则（    ）

A． B． C． D．

【解析】由数列满足，，

当，，即，

所以数列是首项，公比的等比数列，，

由知函数对称轴为，又是奇函数，所以函数周期为.

.故选：D.

3．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ）

A． B． C．0 D．1

【解析】因为是上的偶函数，所以，

又的图象关于点对称，则，

所以，则，得，

即，所以是周期函数，且周期，

由时，，则，，

，，

则，

则.故选：D.

4．已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】因为为奇函数，所以，

所以，所以对称轴为，

因为，所以，所以周期为4，

所以对称轴，故不符合，所以①不正确；

，

因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以②正确；

因为且时，都有，

所以，即，

所以在上为增函数，所以在上为增函数，

所以在上为增函数，所以③不正确；

因为，，

所以，所以④不正确，即正确的个数为1个，故选：A.

5．已知定义在上的函数满足条件，且函数为偶函数，当，时，，则方程在，上的实根之和为（    ）

A．4 B．3 C． D．

【解析】由，得，则是周期为2的周期函数.

又函数为偶函数，的图象关于轴对称，则的图象关于直线对称.又当，时，，作出函数的图象如图：

由图可知，函数的图象与的图象有4个交点，且两两关于直线对称，

方程在，上的实根之和为4.故选：A.

6．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：

①对任意的，当时，都有；

②；

③是偶函数；

若，，，则的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【解析】根据题意，若对任意的，，，当时，都有，

则函数在区间，上为增函数，

若，则，即函数的周期为8，

若是偶函数，则函数的图象关于直线对称，

，，，

又由函数在区间，上为增函数，则有；故选：．

7．设的定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【解析】因为对任意，都有，

所以函数是一个周期函数，且周期为，

当时，，且函数是上的偶函数，

若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，

则函数与函数在区间上的图象恰有个不同的交点，

如下图所示：

又，所以，解得.

因此，实数的取值范围是.故选：D.

8．定义域为的已知奇函数满足对任意恒成立，且当时，，则函数在上的零点个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解析】因为，所以函数的图象关于直线对称.

由题得，

所以，

所以函数的最小正周期为4.由于函数是上的奇函数，所以，

所以.

令.

如图所示，作出函数（实线图象）和函数（虚线图象）的图象，

从图中可以看出两个函数的图象有6个交点，

所以函数在上的零点个数为6.故选：D

9．定义在上的奇函数满足，且在上为增函数，若方程在区间上有四个不同的根，，，，则的值为（    ）

A．8 B．-8 C．0 D．-4

【解析】因为，所以，所以，周期为8，

又因为是奇函数，在上为增函数，作出函数的大致图象如图所示：

由图象可知在区间上的四个不同的根，，，，两个关于直线对称，两个关于直线对称，所以+++，故选：B

10．已知是定义在上的函数，对任意都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（    ）

A．2 B．3 C． D．

【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，故有．对任意，都有，

，．即函数的周期为4．．故选：A．

11．若，，，关于函数的以下结论：

①                   ②对称轴方程为，

③值域为         ④在区间单调递减

其中正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④

【解析】

.

因为都是周期为的函数，所以的周期为，①错误；

如下图所示（一个周期内图象）：

的对称轴方程为：，，②正确；

由图直接得知③正确；

当，

在区间单调递减，④正确.故选：D.

12．已知定义在R上的偶函数满足，且当时，.若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（    ）

A．（） B．（）

C．（） D．（）

【解析】定义在R上的偶函数满足，

所以的图像关于对称，且为周期是2的偶函数，

当时，，所以画出函数图像如下图所示：

①当时，结合图像可知与（）有两个公共点；

②当与（）相切时，满足，即，令，解得.

当时，结合图像可知与（）有两个公共点；

由图像可知， 时，直线与（）有三个公共点；

又因为周期，可知（）. 故选：B.

二．填空题

13．已知定义在R上的偶函数满足：，对，，当时，，且，则不等式在上的解集为______．

【解析】因为对，，当时，，

所以在上单调递减，而，由偶函数得当时，；

又可得周期，因为，

所以当时，；于是的解集为．

14．某学生对函数进行研究后，得出如下四个结论：

（1）函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）存在常数，使对一切实数均成立；

（3）点是函数图像的一个对称中心；

（4）函数图像关于直线对称；

其中正确的是______（把你认为正确命题的序号都填上）

【解析】定义域为R，，所以是奇函数，在关于原点对称的区间上单调性相同，所以（1）错误；

，令，成立，所以（2）正确；

，

所以点不是函数图像的一个对称中心，所以（3）不正确；

，，

函数图像不关于直线对称，所以（4）不正确.故答案为：（2）

15．若偶函数的图像关于对称，当时，，则函数在上的零点个数是______

【解析】令，定义域为非零的实数集，，

所以该函数为偶函数，又是偶函数，是偶函数，且，

由得，当时有，

偶函数的图象关于对称，且，

，是的周期函数，

，为的对称轴，当时，，

，

当，，在同一坐标系中的图象如下:

可知与在上有13个交点即在上有13个零点，

是偶函数，在上共有26个零点.

16．已知定义在上的函数满足，当时，则关于函数有如下四个结论：①为偶函数；②的图象关于直线对称；③方程有两个不等实根；④其中所有正确结论的编号是_______．

【解析】对于①，由题意知，所以是周期为2的函数；

当时，，

所以为偶函数，①正确；

对于②，是偶函数，对称轴是，又是周期为2的函数，

所以的图象关于直线对称，②正确；

对于③，方程化为，

设，则方程化为；

由函数和的图象知，图象没有交点，方程无实数根，③错误；

对于④，是周期为2的函数，且为偶函数，在上是单调递减函数；

所以；又，所以，

即，所以④错误．综上知，正确的命题序号是①②．

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知是定义在上的函数，满足．

（1）证明：2是函数的周期；

（2）当，时，，求在，时的解析式，并写出在，时的解析式；

（3）对于（2）中的函数，若关于的方程恰好有20个解，求实数的取值范围．

【解析】（1）因为，令取得，

所以，所以，2是函数的周期．

（2）当，时，，，则，

又，即，解得．

所以，当，时，．

所以，

因为的周期为2，所以当，时，

，

（3）由（2）作出函数的图象，则方程解的个数：

就是函数的图象与直线的交点个数．

若，则都是方程的解，不合题意．

若，则是方程的解．

要使方程恰好有20个解，在区间，上，有9个周期，每个周期有2个解，

在区间，上有且仅有一个解．则解得，．

若，同理可得．

综上，．

18．已知函数.

（1）当时，若，求的取值范围；

（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的解析式；

（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）原不等式可化为，

∴，且，且，得.

（2）∵是奇函数，∴，得，

当时，，.

当时， ， .

∴

（3）∵ ，

,即周期为4，

因为为奇函数，且当时，，

所以当时，，因为，

所以当时，，

当时，，所以

在一个周期内，，

记，当时，，

因为关于的不等式在上恒成立，

∴，解得.

当时，，

因为关于的不等式在上恒成立，

所以，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

19．如果函数的定义域为R,且存在实常数,使得对于定义域内任意,都有成立,则称此函数为“完美函数”.

(1)判断函数是否为“完美函数”.若它是“完美函数”,求出所有的的取值的集合；若它不是,请说明理由.

(2)已知函数是“完美函数”,且是偶函数.且当0时，.求的值.

【解析】(1) 假设函数是“完美函数”,于是有：

(舍去),

所以函数是“完美函数”, 的取值集合为：；

(2) 因为函数是“完美函数”,所以,所以是奇函数,

是偶函数,因此函数关于纵轴对称,而函数的图象向右平移一个单位长度得到的图象,因此的图象关于直线对称,

即有.

因此有,所以函数是4为周期的函数.,

所以

20．如果函数的定义域为，对于定义域内的任意存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”.

（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，写出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由.

（2）设函数具有“性质”，且当时，，求当时函数的解析式；若与交点个数为1001个，求的值.

【解析】（1）由得，

根据诱导公式得．具有“（a）性质”，其中．

（2）具有“性质”，，，

，从而得到是以2为周期的函数．

又，则，．

再设，当，则，则，

；

当，则，则

；

，；.

对于，，都有，而，

，

是周期为1的函数．

①当时，要使与有1001个交点，只要与在，有1000个交点，而在，有一个交点．

过，，从而得

②当时，同理可得

③当时，不合题意．

综上所述