专题05 利用导数解决零点、交点与根的问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

专题05  利用导数解决零点、交点与根的问题

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知函数，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围为（    ）．

A． B．

C． D．

【解析】当时，，，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以在处取得极大值为，

当时，，，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以在处取得极小值为，又，

因为函数仅有一个零点，所以的图象与直线仅有一个交点，作出函数的图象，如图：

由图可知：或.故实数的取值范围为.故选：C

2．已知函数，当且时，方程的根的个数是（    ）

A．7 B．6 C．9 D．8

【解析】设，，与均为奇函数，

∴只需求与在上的交点个数.

∵，所以在和上单调递增，在和上单调递减，且；

又单调递减且，

∴在上有4个交点，故在上也有4个交点，

故方程在且上有8个根，故选：D.

3．若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【解析】由题意得，设切点坐标为：，

则过原点的切线斜率：，

整理得：， ，

存在两条过原点的切线，，，存在两个不同解，

设，，则问题等价于与存在两个不同的交点

又，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

，的大致图象如下：

若与存在两个不同的交点，则，解得：，故选：B

4．已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【解析】由题可知：等价于在区间内只有一个根，

即在区间内只有一个根，令，

令，，函数在区间单调递增，，所以，函数在区间单调递增，

所以有，即，故选：B.

5．已知函数的图象上存在关于直线对称的不同两点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【解析】依题意，函数的图象上存在关于对称的不同两点，

则存在，，且，使得，则，

因此，设，，

故问题转化为存在，使得函数与有交点，

又在上恒成立，

所以函数在上单调递增，

故，因此，为使函数与有交点，

只需.故选：B.

6．已知函数，若函数图像与轴有4个不同的交点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【解析】由，

得，得或，

令，则，

当时，，递增；当时，，递减，

所以，又，当时，，当时，，

的图象如图：

因为函数图像与轴有4个不同的交点，所以与一共有四个实根，由图可知，，解得或.

所以实数的取值范围为.故选：C

7．已知，若函数存在两个零点，，且，则下列结论可能成立的是（    ）．

A． B． C． D．

【解析】当时，函数只有一个零点，故，

因为函数存在两个零点，，且

所以方程在上有两个不相等的实数根.

令，，

所以当时，时，

故函数在上单调递增，在上单调递减；

所以，所以，

当时，，当时，.故选：D.

8．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，函数，若关于的函数恰有2个零点，则实数的取值范围为（ ）．

A． B．

C． D．

【解析】或，

时，，，

时，，递减；时，，递增，

∴的极小值为，又，因此无解．

此时要有两解，则，

又是奇函数，∴时，仍然无解，

要有两解，则．

综上有．故选：C．

9．已知，，，若函数有且只有两个零点，则实数k的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【解析】因为，所以，

因为，所以，所以，

所以，

令，则.

令，得，令，得或，

所以在上单调递增，在，上单调递减，

所以的极大值为，极小值为.

因为函数有且只有两个零点，所以方程有且只有两个实数根，即方程和共有两个实数根.又，

所以或或，解得或.故选：A.

10．已知函数.若函数有三个零点，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【解析】因为

所以

要使函数有三个零点，则必定有两个正实数根，即，，所以，解得，此时，，

令，解得或，即函数在和上单调递增，令，

解得或，即函数在上单调递减，

所以在处取得极大值，在处取得极小值；

因为当时，；当时，，要使函数函数有三个零点，

则，，

即

且，

因为，所以，，所以，，

所以，

又，所以，故选：B

11．已知函数，则函数零点的个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解析】因为的零点个数与图象的交点个数，

当时，，所以，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值为，

又因为当时，，且，

所以时，；

当时，，所以，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值为，

又当时，，当时，，

所以时，，作出的函数图象如下图所示：

由图象可知有个交点，所以有个零点，

故选：A.

12．设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且 则的值是（    ）

A．81 B．-81 C．9 D．-9

【解析】由有三个不同的零点知：有三个不同的实根，

即有三个不同实根，

若，则，整理得，

若方程的两根为，∴，而，

∴当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增；即当时有极小值为，又，，有，

即.∵方程最多只有两个不同根，

∴，即，，

∴.故选：A

二．填空题

13．已知函数在区间内有零点，则的取值范围为_____

【解析】，（1）当时，在区间内，，

在区间内单调递减，只要满足；，无解；

（2）当时，，

①若，即时，在单调递减，在区间单调递增；

只要，所以

令，

当时，恒成立，所以，.

②当或时，在上单调，且，

所以函数在上没有零点；故答案为：.

14．已知函数，若且，则的最大值是___________.

【解析】因为，作出函数的图象如下图所示：

设，则，

由，可得，由，可得.

令，其中，，可得.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减.

所以，.因此，的最大值为.

15．已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为________.

【解析】，因为，

所以，.

，又因为，

所以，，所以，，

所以.令，，则，

所以.设，，

则，在上单调递增，

所以，，故.

故答案为：

16．已知函数.若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________.

【解析】令，则方程化为，解得或，

由时，，可得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

若时，，可得，函数单调递增，

所以在递增，在递减，在上递增，

则函数的图象，如图所示，

又由关于x的方程恰有4个不相等的实数根，

转化为有3个解，且只有1个解，

即满足，解得，即实数的取值范围为.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数， ．

（1）若对任意给定的，总存在唯一一个，使得成立，求实数的取值范围．

（2）若对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，使得成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）由题意知，，因为，

所以由解得或，由解得，

故的单调递增区间为，单调递减区间为和 ，

，，所以的值域为．

又因为在上单调递增，所以的值域为．

问题转化为直线和曲线的图象只有一个交点，结合图象，有解得a的取值范围是．

（2）由（1）可知，问题转化为与曲线，二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有，解得a的取值范围是．

18．已知函数．

（1）设函数，当时，证明：当时，；

（2）若有两个不同的零点，求的取值范围.

【解析】（1），，

所以在上为单调递增函数，且，

当时，.

（2）设函数，则，

令，当时，当时，，

当时，，得，

所以当时，，

在上为单调递增函数，此时至多有一个零点，

至多一个零点不符合题意舍去.

当时，有，

此时有两个零点，设为，且．

又因为，，所以.

得在，为单调递增函数，在上为单调递减函数，且，

所以，，又因为，，

且图象连续不断，所以存在唯一，使得，

存在唯一，使得，又因为，

所以，当有两个不同的零点时，.

19．已知函数（…是自然对数的底数）．

（1）若在内有两个极值点，求实数a的取值范围；

（2）时，讨论关于x的方程的根的个数．

【解析】（1）由题意可求得，

因为在内有两个极值点，所以在内有两个不相等的变号根，即在上有两个不相等的变号根．

设，则，

①当时，，

所以在上单调递增，不符合条件．

②当时，令得，

当，即时，，

所以在上单调递减，不符合条件；

当，即时，，

所以在上单调递增，不符合条件；

当，即时，在上单调递减，上单调递增，

若要在上有两个不相等的变号根，则，

解得． 综上所述，．

（2）设，

令，则，

所以在上单调递增，在上单调递减．

（ⅰ）当时，，则，所以．

因为，所以，因此在上单调递增．

（ⅱ）当时，，则，

所以．

因为即，又 所以，因此在上单调递减．

综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时，，

当，即时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0，

当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，

当，即时，

①当时，，

要使，可令，即；

②当时，，

要使，可令，即，

所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2，

综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，

当时，关于x的方程根的个数为1，

当时，关于x的方程根的个数为2．

20．已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若 在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.

【解析】（1）函数的定义域为，

当时，函数无极值，当时，，

若，令，则；令，则，

所以函数在单调递增，在单调递减，

所以的极小值为，无极大值，

若，令，则；令，则，

所以函数在单调递增，在单调递减，

所以的极大值为，无极小值，

（2）令，，

当时，，所以在单调递增，

所以，所以，

由题可知：在上有且只有一个零点，

即在上有且只有一个根，

等价于在上有且只有一个根，

等价于函数与函数的图象在只有一个交点，

，令，

则，，

当时，，所以在单调递增，

则，所以在单调递增，

则，所以在单调递增，

所以，所以

21．已知函数，.

（1）求函数的极值点；

（2）若关于的方程至少有两个不相等的实根，求的最大值.

【解析】（1）函数的定义域为.

.

令，得或(舍).

当时，，∴单调递增；

当时，，∴单调递减，则当时，函数取得极大值，

故函数的极大值点为，不存在极小值点.

（2）由可得，∴.

设，则.令.

则，令，可得或(舍).

所以在上，，单调递减；

在上，，单调递增，

所以函数的最小值为.

又，所以当时，，

又当时，，

因此必存在唯一，使得，

当变化时，，，的变化情况如表：

当时，有极大值，当时，有极小值.

又，，且当时，，

所以，可得时，直线与函数至少有两个交点，所以的最大值为.

22．已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设是函数的导函数，讨论函数在上的零点个数.

【解析】（1）的定义域为.，

令，则.

当时，.

令，解得，在上，在上，

所以在 单调递减，在上单调递增，且，

所以在上恒成立，所以函数在上单调递增.

（2）①当时，即时，

当时，，故在上单调递减.

，.

当，即，即时，在上恒成立，

所以时，在上无零点.

当，即，即时，.

由零点存在性定理可知，此时在上有零点.

又因为函数在上单调递减，所以此时在上有一个零点.

②当时，即时，

当时，，所以在上单调递增.

，.

当，即时，.

由零点存在性定理，知此时在上有零点.

因为在上单调递增，故在上仅有1个零点.

当时，，此时在上无零点.

③当，即时，

则时，，当时，，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

故.

令，则，

所以在上单调递减，且，，

所以在上选增后减.又，

所以，故，此时在上无零点.

综上所述，当或时，在上有1个零点；

当时，在上无零点.