专题04 利用导数解决恒成立、能成立问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

专题04  利用导数解决恒成立、能成立问题

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数p的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【解析】∵，∴，

∴，∵在上为“凸函数”，

∴在上恒成立，即在上恒成立，

令，，∴，

∴在上单调递增，∴，

∴，即，故选：C.

2．已知为自然对数的底数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【解析】由题得对任意的恒成立，

设，所以，

当时，，所以函数在R上单调递增，此时函数没有最小值，不符合题意.

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以函数在单调递增，在单调递减.

所以，所以的最大值为.故选：B

3．已知函数，若时，，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【解析】当，时，

有在上恒成立，令，

则

令，则在上恒成立，

由，所以在上有一根，

设，即，

则在上成立，在上成立，

所以函数在上递增，在上递减，

故，

又由可得，即，则，

所以，所以.故选：B.

4．设、，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【解析】令，则对任意的恒成立，

所以，.

①     当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合乎题意；

②当时，令，可得.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

即，

，

设，令，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增.

所以，，因此，的最小值是.故选：C.

5．已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【解析】由解析式可得是奇函数，

，在R上为减函数，

由得

，

，即在恒成立，

令，则，设，

则，在单调递减，

，，即.故选：A.

6．已知两个实数、满足，在上均恒成立，记、的最大值分别为、，那么（    ）

A． B． C． D．

【解析】设，该函数的定义域为，则.

当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增.

所以，，即，

令，则函数在上为增函数，

且，，

所以，存在使得，

令，其中，.

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

所以，，又，

所以，存在使得.

，

当且仅当时，等号成立；

，

当且仅当时，等号成立.

所以，，即．故选：B.

7．设函数.若不等式对恒成立，则的最大值为（     ）

A． B． C． D．

【解析】由不等式对恒成立，

即为，即对恒成立，

设，由，

可得在上递增，且，

当时，；，，作出的图象，

再设，

可得表示过，斜率为的一条射线（不含端点），

要求的最大值，且满足不等式恒成立，可得的最大值，

由于点在轴上移动，

只需找到合适的，且切于点，如图所示：

此时，即的最大值为.故选：D

8．设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【解析】当时，由，，

令，.

当或时，；当时，.

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数的极大值为，极小值为，且，，，如下图所示：

设，若存在唯一的正整数使得，即，

可得，即，解得.

因此，实数的取值范围是.故选：C.

9．设函数，其中，若有且仅有一个整数n，使得，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【解析】函数，其中，

设，，

∵有且仅有一个整数n，使得，

∴有且仅有一个整数n，使得在直线的下方，

∵，∴当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

∴当时，，

当时，，当时，，

直线恒过，斜率为，

故，且，解得，

∴的取值范围是：，故选：D.

10．设是正实数，若存在，使成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【解析】据题意 即，，

，，

令 即当 时单调递增，

当时 单调递减,

若即时，在上单调递减。

所以 满足题意，

若当 即时，在上先减后增。

。

令得，即,即满足题意。

综上所述，的取值范围为，故选：A.

11．已知函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【解析】因为对于，恒成立，所以当时，恒成立，

令，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值，所以，

当时，恒成立，

因为时，，所以，

当时，恒成立，所以，

当时，等价于恒成立，所以

综上：k的取值范围是，故选：A

12．设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【解析】设，则，

当或时，递增；当时，递减；

当时，，所以在上递减；

所以在上递减；所以

因为任意，都有，所以，

即，

即，解得或，又，

所以实数的取值范围为，故选：B

二．填空题

13．已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是______.

【解析】∵，∴在时，，

在时，，，

若，则，单调递减，成立，，，∴，

若，则当时，，递减，时，，递增，因此时，，

所以，显然成立，∴．

综上的取值范围是．

14．若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数a的取值范围为___________.

【解析】由，知，令，

则，即为奇函数，

当时，，故，

所以在上单调递减，所以由奇函数的对称性可知，在上单调递减.

因为存在，即，

则

故，则，即.

因为为函数一个不动点，所以在时有解，

令，

因为当时，，

所以函数在时单调递减，且时，，

所以只需，得.

15．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________

【解析】,当时，，所以，

所以在单调递减，

不妨设，则，，

所以等价于，

即，

设，则，

所以在单调递增，

对于恒成立，

所以，可得对于恒成立，

设，只需，，

当时，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，所以，故答案为：

16．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是___________.

【解析】因为在曲线上，，∴.

由于在定义域内是增函数，

所以若，则，与矛盾，

若，则，与矛盾，所以，

则问题转化为在内有解，即方程在内有解，

得方程在内有解，令，

则，∴时，，

即在上单调递增，所以.

故答案为：

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数，．

（1）求函数的单调区间．

（2）若，对都有成立，求实数的取值范围．

【解析】（1），所以，

当时，，在上单调递增．

当时，由得；

由得；由得．

综上所述，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）若，则．

对都有成立，

等价于对都 ，

由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，

，，

函数在上是增函数，，

所以，解得，又，所以 .

18．已知函数，其中e是自然对数的底数．

（1）设直线是曲线的一条切线，求的值；

（2）若，使得对恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）设切点为，其中，

有，且

得，所以，易解得：，则；

（2）记，有，

当，恒成立，则函数在上递增，无最小值，不符合题意；

当时，当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，，

则有，记，有，

易知在单调递增，在单调递减，

则，所以，得.

19．已知函数.

（1）当时，函数的极小值为5，求正数b的值；

（2）若，，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围.

【解析】（1）函数的定义域为.当时，，则，

，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的极小值为，∴.

（2）当时，，，

则.

①当，即时，，

所以在上单调递增，所以；

②当，即时，设的两根分别为，，

则，，∴，，

所以在区间上，，

所以在上单调递增，所以.

综上，当时，在区间上的最大值为，

∴，所以实数a的取值范围是.

20．已知函数.

（1）若恒成立，求实数的值；

（2）若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围.

【解析】（1），，

又，故是的极大值点，所以，；

另一方面，当时，，，在区间单调递减，

故在单调递增，单调递减，

所以，恒成立

（2）当时，，， 

当时，，在区间单调递减，又，

故在区间有唯一实根，

① 若，，

当时，，在区间单调递减，

故在区间至多有一个实根，不符合题意，

② 若，令，（）是方程的两不同实根，

则，则

故在区间，上单调递减，在区间上单调递增.

（），，，，同理可证.

取，.

取，，

.

故在，，各存在一个零点，

实数的取值范围是.

21．已知函数．

（1）讨论函数在区间上的最小值；

（2）当时，求证：对任意，恒有成立．

【解析】（1）解：函数的定义域是，．

①当时，，则，

则函数在上单调递减，即函数在区间上单调递减，

故函数在区间上的最小值为．

②当时，令，得；令，得；

故函数在上单调递减，在上单调递增．

（i）当，即时，函数在区间上单调递增，故函数在区间上的最小值为；

（ii）当，即时，函数在区间上单调递减，故函数在区间上的最小值为；

（iii）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为．

综上，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为．

（2）证明：当时，，

要证，即证，

因为，所以两边同时乘x，得，

即证．

当时，，而，

所以成立，即成立．

当时，令，

则．

设，，则因为．

因为，所以，

所以当时，单调递增， 所以，即，

所以在上单调递增，

所以，即成立．

综上，对任意，恒有成立．

22．已知函数，其中.

（1）若在区间上单调递减，求的取值范围；

（2）若不等式对恒成立，证明：.

【解析】（1）函数，其中，，

.令得.

令，解得.

（2）函数，其中，，

.令得，

当时，，是增函数：

当时，，是减函数，.

所以当时，既是极大值也是最大值，

.

令，所以成立.

记，，

，当时，是增函数，，，

所以存在使.

当时，，是减函数：当时，，是增函数，

所以当时，既是极小值也是最小值，.

又，所以，则成立，

当时，是减函数，所以，则，

所以.