专题09 构造函数法解决导数问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

专题09  构造函数法解决导数问题

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【解析】设，所以，

因为，所以，

所以在上单调递减，且，

又因为等价于，所以解集为，故选：C.

2．已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（    ）

A．， 

B．，

C．， 

D．，

【解析】设，则，，

，即在上单调递减，，即，

即，故选项A不正确；，

即，即，故选项D不正确；

，即，即．

故选项B不正确；故选：C．

3．已知函数，若对任意，有， 则（    ）

A． B． C． D．

【解析】由题意得，

因为，所以在x=1处取得最小值，即为x=1是的极小值点，

所以，即，

所以，

令，则，

令，解得，

当时，，所以为增函数，

当时，，所以为减函数，

所以，

所以，即.故选：A

4．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B． 

C． D．

【解析】构造函数，该函数的定义域为，

由于函数为奇函数，则，

所以，函数为偶函数.

当时，，所以，函数在上为减函数，

由于函数为偶函数，则函数在上为增函数.

，则且，所以，.

不等式等价于或，解得或.因此，不等式的解集为.故选：C.

5．设是奇函数，是的导函数，．当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【解析】令，所以，

当当时，，所以，

所以可知的在的单调递增，

又是奇函数且，所以，则，

由，

所以函数为的偶函数且在单调递减，，

当时，的解集为，

当时，的解集为，

综上所述：的解集为：，故选：D

6．已知函数，当时，恒成立，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【解析】由题意，若显然不是恒大于零，故.

（由4个选项也是显然可得）

，则在上恒成立；

当时，等价于，

令在上单调递增.

因为，所以，

即,再设，令，

时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，从而，所以.故选：D．

7．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【解析】设，由，

得：，故函数在递减，

由为奇函数，得，

∴，即，∵不等式，

∴，即，结合函数的单调性得：，

故不等式的解集是，故选：A.

8．设是定义在的奇函数，其导函数为，当时，，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【解析】令，，

当时，，

所以在上为单调递减函数，

又是定义在的奇函数，所以为偶函数， 在上为单调递增函数，当时，，所以等价于，即，因为在上为单调递减函数，

所以，当时，，所以等价于，即，因为在上为单调递增函数，所以，

综上所述：关于的不等式的解集为.

故选：B

9．已知为自然对数的底数，为实数，且不等式对任意的恒成立.则当取最大值时，的值为（    ）

A． B． C． D．

【解析】设，则，

当时，，所以在上递增，不符合条件，

故，令得，

所以在上递增，上递增，

故有，即，

则有，令，，

则在上递减，且

，所以在上递增，上递减，所以，此时取得最大值，且，所以.故选：D

10．已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【解析】不妨设可得

令则在区间上单调递减，

所以在区间上恒成立，

当时，当时，，

而，所以在区间上单调递减，则，所以.故选：A

11．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【解析】因为，所以，则可化为，

整理得，因为，所以，

令，则函数在上递减，

则在上恒成立，

所以在上恒成立，

令，则在上恒成立，

则在上递减，所以，

故只需满足：.故选：A.

12．定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，下列不等式中：①；②；③；④；一定成立的有（    ）

A．①②③ B．②④ C．②③ D．③

【解析】依题意的定义域为，且，

即.

构造函数，则，

所以单调递减，故，

即，

化简得，所以②正确；

由于，故，即，故③正确；

由于

同理，相加得，故①正确；

取，它符合题意，但是，所以④不成立.

综上一定成立的有①②③.故选：A

二．填空题

13．已知定义在上的函数满足，且对于任意的，恒成立，则不等式的解集为________.

【解析】，设，

则，是上的减函数，且，

不等式，即为，所以，

得，解得或，原不等式的解集为.

14．设是函数在的导函数，对，，

且，，．若，则实数的取值范围为__．

【解析】，，

令，，

函数为奇函数．时，．

时，，

故函数在上是增函数，故函数在上也是增函数，

由，可得在上是增函数．

，等价于，

即，，解得．故答案为：，．

15．已知函数的定义域为，导函数为，若，且，则满足的的取值范围为______．

【解析】令， 又，

则，即，故函数为奇函数.

，故函数在上单调递减，

则，即，即，即，

故，所以x的取值范围为.

16．已知偶函数的导函数为，，当时，，则使成立的x的取值范围是___________.(其中e为自然对数的底数)

【解析】令，则，

因为当时，，所以当时，，单调递增，

又是偶函数，所以，所以是偶函数，

而，所以，即，所以，又在单调递增，所以，解得或，故答案为：.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，求的取值范围.

【解析】（1）由，

得，

当或，，当时，，

所以，在和上递增，在上递减；

（2）因为在上递减，在上递增，所以，

因为，所以恒成立，

令，则，即：在上恒成立，

令，则，

所以在上递增，在上递减，所以，

故的取随范围的.

18．设函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）设对于任意，且，都有恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）易知的定义域为R，

，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减．

的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）当，时，恒成立，即恒成立，设，由题意可知，在上单调递减，

即在上恒成立；

，

设，则在上单调递减，

，即

19．已知函数的定义域为.

（1）当取得最小值时，记函数在处的切线方程为.若恒成立且，求的最大值；

（2）若有两个极值点和，求证：.

【解析】（1）由题意函数定义域为，所以，即的最小值为，所以，，，所以，因为恒成立，即恒成立，当时，显然成立，令，则，因为且，所以的最大值为.

（2）令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由，故和是方程的实根，

所以，

所以

令，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，则

所以得证.

20．已知函数．

（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；

（2）已知，若方程有两个不相等的实数根，，且，证明：．

【解析】（1）因为，所以．

因为函数在处取得极值，所以，即．

因为，所以．

因为，所以所求切线的方程为．

（2）证明：由，可得．

令，，

则．

当时，在上单调递增，至多一个根，不符合题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，且．

不妨设，

要证，即证，只需证．

因为，所以只需证，即证．

因为在上单调递增，所以只需证．

因为，所以只要证，．

令，则

，

即证．

令

．

当时，，在上单调递减．因为，

所以当时，，即，

于是，

所以，即恒成立．

21．已知函数.

（1）若函数的图象在处的切线为，求的极值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

【解析】（1），

由题意可得：，解得：，此时函数，

函数的图象在处的切线为成立，

所以，，

由可得，由可得，

所以在上单调递增，在 上单调递减.

所以的极大值为，不存在极小值.

由可得

分离可得：

令

令

所以在上单调递增，

存在唯一的，使得

当时，，即，

当时，，即，

故在上单调递减，在上单调递增.

，

由于，得，

再对两边取对数可得：

所以，

所以 即实数的取值范围

22．已知函数.

（1）求曲线上一点处的切线的方程；

（2）设函数的两个极值点为，求的最小值.

【解析】对求导得：，故切线斜率为，

因此切线方程为，即，

故切线的方程为；

（2）函数，定义域为，

，

因为是函数的两个极值点，所以是方程的两不等正根，

则有，

∴，故，

且有，

，

，

令，则，

，，

当时，单调递减，当时，单调递增，

所以，，

所以，的最小值为.