专题17 圆锥曲线中的中点弦问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

专题17  圆锥曲线中的中点弦问题

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

2．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，在双曲线上，且点为线段的中点，，双曲线的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数b的值为（    ）

A．0或 B．0 C． D．

4．过点作直线与双曲线交于A，B两点，使点P为中点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知斜率为3的直线与抛物线：交于，两点，当弦的中点到焦点的距离最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

6．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（  ）

A． B．

C． D．

7．已知双曲线：，若存在斜率为1的直线与的左､右两支分别交于点，，且线段的中点在圆：上，则的离心率的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．

8．过抛物线的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M，若，则线段FM的长度为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．已知圆与椭圆相交于两点，若是圆的直径，则椭圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

10．已知抛物线，直线交抛物线于两点，是的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，且，若，则k为（        ）

A． B． C． D．2

11．已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则的值是（   ）

A． B． C． D．

12．已知抛物线C1：和圆C2：(x-6)2+(y-1)2=1，过圆C2上一点P作圆的切线MN交抛物线C，于M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k>1时的直线方程为（    ）

A．4x-3y-22=0 B．4x-3y-16=0 C．2x-y-11+5=0 D．4x-3y-26=0

二．填空题

13．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．

14．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为__________.

15．若直线交椭圆于，两点，则线段的中垂线在轴上的截距的取值范围是________．

16．已知椭圆C：，A，B是椭圆C上两点，且关于点对称，P是椭圆C外一点，满足，的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是___________.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知斜率为的的直线与椭圆交于点，线段中点为，直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点，设直线的斜率分别为，，线段的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.

18．抛物线上任取两点，.已知的垂直平分线分别交轴、轴于点，.

（1）若的中点坐标为，求直线的斜率；

（2）若的中点恰好在抛物线上，且，求直线的斜率.

19．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线不垂直坐标轴，与椭圆交于两点，M是的中点．

（1）若点M的横坐标为，求点M的纵坐标；

（2）记的斜率分别为，是否存在直线使得成等差数列，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

20．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的左顶点与上顶点的距离为，且经过点.

（1）求椭圆C的方程.

（2）直线与椭圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点.若椭圆上存在点N满足，求证：△PQN的面积S为定值.

21．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，且线段的长为，为椭圆异于顶点，的点，过点，分别作，，直线，交于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：当在椭圆上运动时，点恒在一定椭圆上；

（3）已知直线过点，且与（2）中的椭圆交于不同的两点，，若为线段的中点，求原点到直线距离的最小值．

22．已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为.证明：

（）直线的斜率与的斜率的乘积为定值.

（）若过点，延长线段与交于点，当四边形为平行四边形时，则直线的斜率.