专题2—基本不等式-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题2—基本不等式

考试说明：1、了解基本不等式的证明过程；

2、会用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题

高频考点：1、利用基本不等式求最大值、最小值问题；

2、以函数应用题为载体，结合新背景考查基本不等式的实际应用。

在高考中本专题一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现在解答题的某一问中，有一定的难度。同学们在学习过程中注意总结题型及其方法。

一、典例分析

1．（2020•上海）下列不等式恒成立的是　　

A． B． C． D．

分析：利用恒成立，可直接得到成立，通过举反例可排除．

解答：解：．显然当，时，不等式不成立，故错误；

．，，，故正确；

．显然当，时，不等式不成立，故错误；

．显然当，时，不等式不成立，故错误．

故选：．

点评：本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．

2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是　　

A． B． C． D．

分析：利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项，利用基本不等式求出最值，即可判断选项，利用特殊值验证，即可判断选项．

解答：解：对于，，

所以函数的最小值为3，故选项错误；

对于，因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

因为，所以等号取不到，

所以，故选项错误；

对于，因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

所以函数的最小值为4，故选项正确；

对于，因为当时，，

所以函数的最小值不是4，故选项错误．

故选：．

点评：本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．

3．（2015•上海）已知，，若，则　　

A．有最小值 B．有最小值 

C．有最大值 D．有最大值

分析：根据基本不等式的性质判断即可．

解答：解：，，且，

，

有最小值，

故选：．

点评：本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．

4．（2015•福建）若直线过点，则的最小值等于　　

A．2 B．3 C．4 D．5

分析：将代入直线得：，从而，利用基本不等式求出即可．

解答：解：直线过点，

，

所以，

当且仅当即时取等号，

最小值是4，

故选：．

点评：本题考查了基本不等式的性质，求出，得到是解题的关键．

5．（2015•湖南）若实数，满足，则的最小值为　　

A． B．2 C． D．4

分析：由，可判断，，然后利用基础不等式即可求解的最小值

解答：解：，

，，

（当且仅当时取等号），

，

解可得，，即的最小值为，

故选：．

点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题

6．（2014•重庆）若，则的最小值是　　

A． B． C． D．

分析：利用对数的运算法则可得，，再利用基本不等式即可得出

解答：解：，，

．

，

，，．

，

，

则，当且仅当取等号．

故选：．

点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．

7．（2013•山东）设正实数，，满足．则当取得最大值时，的最大值为　　

A．0 B．1 C． D．3

分析：依题意，当取得最大值时，代入所求关系式，利用配方法即可求得其最大值．

解答：解：，

，又，，均为正实数，

（当且仅当时取“” ，

，此时，．

，

，当且仅当时取得“”，满足题意．

的最大值为1．

故选：．

点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到是关键，考查配方法求最值，属于中档题．

8．（2020•天津）已知，，且，则的最小值为　4　．

分析：由，利用基本不等式即可求出．

解答：解：，，且，则，

当且仅当，即，或， 取等号，

故答案为：4

点评：本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．

9．（2020•江苏）已知，则的最小值是　　．

分析：方法一、由已知求得，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值；

方法二、由，运用基本不等式，计算可得所求最小值．

解答：解：方法一、由，可得，

由，可得，，

则

，当且仅当，，

可得的最小值为；

方法二、，

故，

当且仅当，即，时取得等号，

可得的最小值为．

故答案为：．

点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．

10．（2019•天津）设，，，则的最小值为　　．

分析：利用基本不等式求最值．

解答：解：，，，

则；

，，，

由基本不等式有：，

，

，

故：；

（当且仅当时，即：，时，等号成立），

故的最小值为；

故答案为：．

点评：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．

二、真题集训

1．（2013•福建）若，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

2．（2012•浙江）若正数，满足，则的最小值是　　

A． B． C．5 D．6

3．（2012•陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为和，其全程的平均时速为，则　　

A． B． C． D．

4．（2020•山东）（多选）已知，，且，则　　

A． B． 

C． D．

5．（2019•上海）若，，且，则的最大值为　　．

6．（2018•天津）已知，，且，则的最小值为　　．

7．（2017•天津）若，，，则的最小值为　　．

8．（2011•湖南）设，，且，则的最小值为　　．

9．（2014•浙江）已知实数，，满足，，则的最大值是　　．

10．（2011•浙江）设，为实数，若，则的最大值是　　．

11．（2011•浙江）若实数，满足，则的最大值是　　．

12．（2011•重庆）若实数，，满足，，则的最大值是　　．

真题集训 答案

1．解：，

变形为，即，当且仅当时取等号．

则的取值范围是，．

故选：．

2．解：正数，满足，

当且仅当时取等号，

，即的最小值是5．

故选：．

3．解：设小王从甲地到乙地按时速分别为和，行驶的路程

则

综上可得，

故选：．

4．解：①已知，，且，所以，则，故正确．

②利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故正确．

③，故错误．

④由于，，且，

利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故正确．

故选：．

5．解：，；

故答案为：

6．解：，，且，

可得：，

则，

当且仅当．即时取等号．

函数的最小值为：．

故答案为：．

7．解：【解法一】，，，

，

当且仅当，

即，

即，或，时取“”；

上式的最小值为4．

【解法二】，，，

，

当且仅当，

即，

即，或，时取“”；

上式的最小值为4．

故答案为：4．

8．解：，，且，

当且仅当时等号成立，

的最小值为9．

故答案为9．

9．解：，，

，，

、是方程：的两个实数根，

△

即

即的最大值为

故答案为：．

10．解：

令则

即

△

解得

的最大值是

故答案为

12．解：

，整理求得

的最大值是

故答案为：

12．解：由基本不等式得，即，所以，

令，由可得，所以

因为，所以，即，所以

故答案为：