专题8—导数小题-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题8—导数小题

考试说明：1、了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义；

2、能利用基本初等函数的额导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；

3、了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，回求函数的单调区间；

4、了解函数在某点取得极值时的充要条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最大值和最小值。

高频考点：1、求切线方程和已知切线方程求参数值；

2、利用导数求函数的单调区间；

3、导数与方程、不等式的综合应用。

导数在数学中的作用不用再多说，在选择题和填空题中对导数的考查，基础题、中档题、难题都有可能出现，低、中档题主要考查基础知识，难题主要出现在选择或填空的最后一题，有模块综合与跨学科综合命题的趋势，难度较大。

一、典例分析

1．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（　　）

A．eb＜a B．ea＜b C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea

分析：画出函数的图象，判断（a，b）与函数的图象的位置关系，即可得到选项．

解答：解：函数y＝ex是增函数，y′＝ex＞0恒成立，

函数的图象如图，y＞0，即取得坐标在x轴上方，

如果（a，b）在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．

点（a，b）在x轴或下方时，只有一条切线．

如果（a，b）在曲线上，只有一条切线；

（a，b）在曲线上侧，没有切线；

由图象可知（a，b）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0＜b＜ea．

故选：D．

点评：本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．

2．（2021•乙卷）设，若为函数的极大值点，则　　

A． B． C． D．

分析：分及，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现，的大小关系，进而得出答案．

解答：解：令，解得或，即及是的两个零点，

当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，

则；

当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，

则；

综上，．

故选：．

点评：本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．

3．（2021•乙卷）设，，，则　　

A． B． C． D．

分析：构造函数，，，利用导数和函数的单调性即可判断．

解答：解：，，

，

令，，

令，则

，

，

，

在上单调递增，

（1），

，

，

同理令，

再令，则

，

，

，

在上单调递减，

（1），

，

，

．

故选：．

点评：本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．

4．（2016•新课标Ⅰ）若函数在单调递增，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

分析：求出的导数，由题意可得恒成立，设，即有，对讨论，分，，，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．

解答：解：函数的导数为，

由题意可得恒成立，

即为，

即有，

设，即有，

当时，不等式显然成立；

当时，，

由在，递增，可得时，取得最大值，

可得，即；

当时，，

由在，递增，可得时，取得最小值1，

可得，即．

综上可得的范围是，．

另解：设，即有，

由题意可得，且，

解得的范围是，．

故选：．

点评：本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．

5．（2016•四川）设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则的面积的取值范围是　　

A． B． C． D．

分析：设出点，的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线与的斜率，由两直线垂直求得，的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得，两点的纵坐标，得到，联立两直线方程求得的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得的面积的取值范围．

解答：解：设，，，，

当时，，当时，，

的斜率，的斜率，

与垂直，且，

，即．

直线，．

取分别得到，，

．

联立两直线方程可得交点的横坐标为，

．

函数在上为减函数，且，

，则，

．

的面积的取值范围是．

故选：．

点评：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．

6．（2015•福建）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是　　

A． B． C． D．

分析：根据导数的概念得出，用代入可判断出，即可判断答案．

解答：解；

，

，

即，

当时，，

即

故，

所以，一定出错，

另解：设，

，且，

在上递增，

，对选项一一判断，可得错．

故选：．

点评：本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．

7．（2015•新课标Ⅱ）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则　　．

分析：求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△得到的值．

解答：解：的导数为，

曲线在处的切线斜率为，

则曲线在处的切线方程为，即．

由于切线与曲线相切，

故可联立，

得，

又，两线相切有一切点，

所以有△，

解得．

故答案为：8．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．

8．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，则的最小值是　　．

分析：由题意可得是的一个周期，问题转化为在，上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．

解答：解：由题意可得是的一个周期，

故只需考虑在，上的值域，

先来求该函数在，上的极值点，

求导数可得

，

令可解得或，

可得此时，或；

的最小值只能在点，或和边界点中取到，

计算可得，，，，

函数的最小值为，

故答案为：．

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．

9．（2016•新课标Ⅲ）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是　　．

分析：由偶函数的定义，可得，即有时，，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．

解答：解：为偶函数，可得，

当时，，即有

时，，，

可得（1），（1），

则曲线在点处的切线方程为，

即为．

故答案为：．

点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．

10．（2020•江苏）在平面直角坐标系中，已知，，、是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是　　．

分析：求得圆的圆心和半径，作所在直径，交于点，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．

解答：解：圆的圆心，半径为6，

如图，作所在直径，交于点，

因为，，所以，为垂径，

要使面积最大，则，位于的两侧，

并设，可得，故，，

可令，

，，

设函数，，

，

由，解得舍去），

显然，当，，递减；当时，，递增，

结合在递减，故时，最大，此时，

故，

则面积的最大值为．

故答案为：．

点评：本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．

二、真题集训

1．（2020•新课标Ⅰ）函数的图象在点，（1）处的切线方程为　　

A． B． C． D．

2．（2017•天津）已知奇函数在上是增函数，．若，，（3），则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

3．（2016•山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是　　

A． B． C． D．

4．（2015•安徽）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是　　

A．，，， B．，，， 

C．，，， D．，，，

5．（2015•新课标Ⅰ）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

6．（2015•新课标Ⅱ）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

7．（2016•新课标Ⅲ）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是　　．

8．（2016•新课标Ⅱ）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则　　．

9．（2019•江苏）在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是　　．

10．（2017•全国）若曲线的切线与直线平行，则的方程为　　．

真题集训 答案

1．解：由，得，

（1），

又（1），

函数的图象在点，（1）处的切线方程为，

即．

故选：．

2．解：奇函数在上是增函数，当，，且，

，则，

在单调递增，且偶函数，

，

则，，

由在单调递增，则（3），

，

故选：．

3．解：函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，

则函数的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为，

当时，，满足条件；

当时，恒成立，不满足条件；

当时，恒成立，不满足条件；

当时，恒成立，不满足条件；

故选：．

4．解：，排除，

当时，，，排除，

函数的导数，

则有两个不同的正实根，

则且，，

，，

方法，

由图象知当当时函数递增，当时函数递减，则对应的图象开口向上，

则，且且，，

，，

故选：．

5．解：设，，

由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，

，

当时，，当时，，

当时，取最小值，

当时，，当时，（1），

直线恒过定点且斜率为，

故且，解得

故选：．

6．解：设，

则的导数为：，

当时总有成立，

即当时，恒小于0，

当时，函数为减函数，

又，

函数为定义域上的偶函数

又，

函数的图象性质类似如图：

数形结合可得，不等式

或，

或．

故选：．

7．解：已知为偶函数，当时，，

设，则，

，

则，

（1）．

曲线在点处的切线方程是．

即．

故答案为：．

8．解：设与和的切点分别为，、，；

由导数的几何意义可得，得

再由切点也在各自的曲线上，可得

联立上述式子解得；

从而得出．

9．解：由，得，

设斜率为的直线与曲线切于，，

由，解得．

曲线上，点到直线的距离最小，

最小值为．

故答案为：4．

10．解：设切点为，

可得，

的导数为，

由切线与直线平行，可得

，解得，

即有切点为，

可得切线的方程为，

即为．

故答案为：．